概率统计第一章5.zh

概率统计第一章第五节条件概率与独立性一、条件概率二、随机事件的独立性三、独立性在可靠性问题中的应用四、贝努利概型与二项概率一条件概率

问题的提法：（1）给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，问“事件A发生的概率”？（2）在上述前提下，问“已知某事件B已经发生了，那么事件A发生的概率是多少”？例1、盒中装有10个球，6个玻璃球其中2个红色4个兰色；4个木质球其中3个红色1个兰色，现从中任取一球

记

A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}则P（A）=6/10，

P（B）=5/10。

AB={取到兰色玻璃球}则

P（AB）=4/10

问“如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？

上述概率可以记为

p（A│B），且P（A│B）=4/5

事实上这时的样本空间已经发生变化，变成为{5个兰色球}，进一步我们发现，

P（A│B）

=P（AB）/P（B）

定义1.2给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意两个事件A、B，其中

P（B）＞0，称

P（A│B）=P（AB）/P（B）为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。

P（A│B）=P（AB）/P（B）

条件概率也是概率，满足概率的公理化定义中的三条公理，即公理1P（A│B）≥0；公理2P（Ω│B）=1；公理3P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）其中A1，A2，…为一列两两互不相容的事件．概率的其他性质也可推广到条件概率上，如…

例2、有5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，现无放回地取两次每次一个，记

A={第一次取到新球}，B={第二次取到新球}

求：P（A），P（AB），P（B│A）。解：p（A）=3/5，

p（AB）=（3×2）/（5×4）=3/10，

p（B|A）=p（AB）/p（A）=1/2。.

例3(课本第17页例1.14)

某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建筑物经历了50年之后，它将在10年内倒塌的概率有多大？解：B={该建筑物的寿命在５０年以上}，A={该建筑物的寿命在６０年以上}．p（Ā|B）=1-p（A|B）

=1-p（AB）/p（B）

=1-p（A）/p（B）

=1-0.6/0.8=1/4

注意此处p（AB）=p（A）

由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式：当P（A）＞0时，

p（AB）=p（A）p（B│A）或

当P（B）＞0时，

p（AB）=p（B）p（A│B）乘法公式可推广到多个随机事件上去，

如

p（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）

例5设10个考题中4难6易，三人参加抽题（不放回），甲先、乙次、丙最后，记事件A、B、C分别表示三人各抽到难题，试求：

P（A），P（AB），P（ABC）.解:P（A）=4/10=2/5，

P（AB）=p（A）p（B|A）=P（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）

例6、（书上P17例1.15)设袋中装有a个红球b个白球，每次随机地从袋中取1个球。然后把原球放回，并加进与取出球相同颜色的球c个，共取了3次，试求3个球都是红球的概率。思考：相互独立与与不相容有何区别？

一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张，A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A，B是相互独立的.

抛一枚均匀硬币2次，A={第一次正面向上}，B={第二次正面向上}，可以验证事件A，B是相互独立的.定理表示这四对事件的独立性是等价的。解:设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，A、B相互独立，所求概率为

P（A∪B）=p（A）+p（B）-p（AB）

=p（A）+p（B）-p（A）p（B）

=0.8或

满足前面三个式子称为A、B、C三个事件两两独立。

相互独立一定两两独立，而两两独立不一定相互独立。例如:抛一枚均匀硬币2次，A={第一次正面向上}，B={第二次正面向上}，C={恰有一次正面向上}。可检验事件A、B、C是两两独立而不是相互独立的。将以上定义推广到n个事件一般我们有

相互独立且至少有一发生的概率可表示为

解：设需要n门炮才能满足要求，Ai表示第i门炮命中目标，Ａ１，Ａ２，…，Ａn相互独立．则

≧0.99解出n≧5,即至少需要5门炮才能以99%的把握命中敌机。

例3、（书上P19例1.7）已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，且他们是否含有肝炎病毒相