山西省吕梁市石口乡中学2021年高一数学理期末试题含解析

山西省吕梁市石口乡中学2021年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知{an}的前n项和为Sn，且，则＝（）A.－3 B.1 C.4 D.6参考答案：C【分析】根据题意分别取和时带入即可计算出。【详解】由题意得:当时，。当时，【点睛】本题主要考查了前项和以及递推公式。充分理解项和以及递推公式是解决本题的关键。属于基础题。2.已知，，直线，若直线过线段AB的中点，则a=（

）A.-5 B.5 C.-4 D.4参考答案：B【分析】根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.【详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.3.已知，，，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.在等差数列{an}中，若，则（

）A.4 B.6 C.8 D.10参考答案：B【分析】由等差数列性质可得，则答案易求.【详解】在等差数列中，因为，所以.所以.故选B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.5.直线y+3=0的倾斜角是（）A．0° B．45° C．90° D．不存在参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线y+3=0与x轴平行，即可得出倾斜角．【解答】解：因为直线y+3=0与x轴平行，所以倾斜角为0°．故选：A．6.长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（

）A、B、C、D、参考答案：A略7.两地相距，且地在地的正东方。一人在地测得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地测得建筑在北偏东，建筑在北偏西，则两建筑和之间的距离为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.以下四个命题中，正确的有几个（

）①

直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b；②

两直线a∥b，直线a∥平面a，则必有b∥平面a；③

一直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④

两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面a

A0个

B1个

C2个

D3个参考答案：A略9.已知，且，则的最小值为(

)A.3 B.5 C.7 D.9参考答案：C【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?1﹣1＝[（x+1）+y]?2（）﹣1＝2（21≥3+47．当且仅当x，y＝4取得最小值7．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．10.等腰直角三角形，直角边长为.以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（

）A. B. C.π D.参考答案：B【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以．故选：．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是______________.参考答案：略12.若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是

．参考答案：

13.已知函数是偶函数，则

．参考答案：－214.在平面区域内任意取一点，则的概率是参考答案：略15.函数的定义域为

▲

．

参考答案：

16.已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为

．参考答案：﹣5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．解答： 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．故答案为：；﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能17.如图，在平面上，点，点在单位圆上，,若，四边形的面积用表示，则的取值范围为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a?2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数的图象．【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．【解答】解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）=k，则k=．（2）g（x）=log4（a?2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a?2x﹣a），

∴log4（）=log4（a?2x﹣a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a﹣1=0，即a=1时，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不满足题意若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．19.（12分）已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．参考答案：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．（2）圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0．20.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点D是AB的中点．（1）求证：；（2）求证：平面.参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用为直三棱柱，得，利用，说明，得平面，推出；（2）连接，，设，得为的中点，证得，即可证明平面．【详解】（1）直三棱柱中，底面三边长，，且，，又，平面，平面.平面

，平面，；（2）连接，，设，得为的中点，连接，且点D是AB的中点．，平面平面，平面．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与直线垂直，直线与平面平行的判定定理，属于中档题．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且·＝4，求△ABC的面