概率论与数理统计实训02

实验二

概率密度、分布函数和分位点的数值计算

1.问题背景描述随机变量包含离散型随机变量分布律、连续型随机变量概率密度以及分布函数。利用Matlab中操作实现概率密度、概率事件、分布函数相关计算问题。在MATLAB中,对常见概率分布都有相应的概率密度函数(probabilitydensityfunction,简记为pdf);分布函数也叫累积分布函数(cumulativedistributionfunction,简记为cdf);例如,随机变量X在x处的分布函数值是p=F(x)=P{X≤x}。在MATLAB中,所有的概率密度函数都带有后缀pdf;所有的累积分布函数都带有后缀cdf;常见的离散型随机变量的概率分布有:二项分布,泊松分布;常见的连续型随机变量的概率分布有:均匀分布,指数分布,正态分布.还有统计函数(又叫抽样分布):

本实验学习一些经常使用的关于概率分布的基本操作,掌握这些基本操作将大大提高进行实验和实际应用的能力.一、实验问题

2、实验目的要求(1)会利用Matlab软件计算离散型随机变量的概率、连续性随机变量概率密度值以及产生离散型随机变量的概率分布（即分布律）（2）会利用Matlab软件计算分布函数值或计算形如事件

的概率

（3）给出概率p和分布函数，会求上

的分位点，或者求解概率表达式中的待定参数（4）写出实验步骤、实验源代码；实验测试数据结果显示及分析讨论连续型随机变量分布函数、密度函数相关计算问题讨论二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布以及抽样分布的概率密度函数、分布函数、概率问题计算，从而理解这些基本概念。二、实验内容

定义:设X()是一个随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞为随机变量X的分布函数。离散型随机变量：定义：设离散型随机变量X所有可能取的

且有则称p1,p2,…为离散型随机变量X的概率分布或分布律，也称概率函数。设离散型随机变量X的概率分布为pk=P{X=xk},k=1,2,…,X的分布函数为三、实验原理与数学模型

连续型随机变量：若X是连续型随机变量，f(x)是X的密度函数，F(x)是分布函数，则对任意x∈R，总有

即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：在f(x)的连续点，有定义：若存在非负可积函数f(x),使随机变量X取值于任一区间(a,b]的概率可表示成则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。无论是离散分布还是连续分布，在Matlab中，都用通用函数pdf或专用函数来求概率密度函数值。而对于离散型随机变量，取值是有限个或可数个，因此，其概率密度函数值就是某个特定值的概率，即利用函数pdf求输入分布的概率。1.通用概率密度函数pdf计算特定值的概率命令：pdf格式为：Y=pdf(‘name’,k,A)Y=pdf(‘name’,k,A,B)Y=pdf(‘name’,k,A,B,C)说明：返回以name为分布，在随机变量X=k处，参数为A、B、C的概率密度值；对离散型随机变量X，返回X=k处的概率值，name为分布函数名。常见的分布有：name=bino（二项分布），hyge（超几何分布），geo（几何分布），poiss（Poisson分布）。2.专用概率密度函数计算特定值的概率

（1）二项分布的概率值命令：binopdf格式：binopdf(k,n,p)说明：等同于pdf(‘bino’,k,n,p)。n—试验总次数；p—每次试验事件A发生的概率；k—事件A发生k次。（2）Poisson分布的概率值命令：poisspdf格式：poisspdf(k,Lambda)说明：等同于pdf(‘poiss’,k,Lambda)，参数Lambda=np。四、实验过程3.通用函数cdf用来计算随机变量X≤k的概率之和（累积概率值）命令：cdf格式：cdf(‘name’,k,A)cdf(‘name’,k,A,B)cdf(‘name’,k,A,B,C)说明：返回以name为分布、随机变量X≤k的概率之和（即累积概率值），name为分布函数名。4.专用函数计算累积概率值（随机变量X≤k的概率之和，即分布函数）（1）二项分布的累积概率值命令：binocdf格式：binocdf(k,n,p)（2）Poisson分布的累积概率值命令：poisscdf格式：poisscdf(k,Lambda)（3）超几何分布的累积概率值命令：hygecdf格式：hygecdf(k,N,M,n)所以，至少发生k次的概率为P_s=1-cdf(‘name’,k-1,n,p)1、伯努利概型：用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则

称随机变量X服从参数为

(n,p)

的二项分布,记成X~B(n,p)(1)计算在x处,参数是n,p的二项分布的概率P{X=x}以及分布律在MATLAB中,二项分布的分布密度函数(分布律)是binopdf,其调用格式是:·y=binopdf(x,n,p)%计算在x处,参数是n,p的二项分布的概率.输入参数x,n,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个或两个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例1事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A恰好发生6次的概率.p=binopdf(6,10,0.3)或者p=pdf(‘bino’,6,10,0.3)例2事件A在每次试验中发生的概率是0.3,求在4次试验中A发生次数的概率分布.p=binopdf(0:4,4,0.3)或者p=(‘bino’,0:4,4,0.3)%0:4产生步长为1的等差数列0,1,2,3,4.

(2)计算在x处,参数是n,p的二项分布的分布函数值或概率P{X≤x}二项分布的分布函数是binocdf,其调用格式是:·y=binocdf(x,n,p)%计算在x处,参数是n,p的二项分布的分布函数值.输入参数x,n,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个或两个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例3事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A至少发生6次的概率.p=1-binocdf(6,10,0.3)2、泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为:0,1,2,…,概率分布为：

其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P(λ)。在MATLAB中,泊松分布的分布密度函数是poisspdf,其调用格式是:·y=poisspdf(x,lambda)%计算在x处,参数是lambda的泊松分布的概率.输入参数x,lambda可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个是标量,另一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例4设随机变量X服从参数是3的泊松分布,求概率P{X=6}.p=poisspdf(6,3)结果表明：参数是λ=3的泊松分布在x=6处的概率为0.0504.例5写出参数为3的泊松分布的前6项的概率分布p=poisspdf(0:5,3)计算的结果是,参数为λ=3的泊松分布的前6项的概率(当x=0,1,2,3,4,5时).(2)计算在x处,参数是λ的泊松分布的分布函数值或概率P{X≤x}泊松分布的分布函数是poisscdf,其调用格式是:·y=poisscdf(x,lambda)%计算在x处,参数是lambda的泊松分布的分布函数值.输入参数x,lambda可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个标量,另外一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例6设随机变量X服从参数是3的泊松分布,计算概率P{X≤6}p=poisscdf(6,3)结果表明：参数是λ=3的泊松分布在x=6处的分布函数值F(6)=P{X≤6}=0.9665连续型随机变量：如果存在一非负可积函数

，使对于任意实数X在区间

上取值的概率为：

，则函数称作随机变量X的概率密度函数。通用函数pdf和专用函数用来求密度函数

在某个点x处的值。1.利用概率密度函数值通用函数pdf计算格式：pdf(‘name’,x,A)pdf(‘name’,x,A,B)pdf(‘name’,x,A,B,C)说明：返回以name为分布的随机变量在X=x处、参数为A、B、C的概率密度函数值。name取值如下表所示。name分

布unif均匀分布密度函数exp指数分布密度函数norm正态分布密度函数chi2卡方（

）分布t或Tt分布f和FF分布密度函数专用函数概率密度函数表函数名调用形式注

释unifpdfunifpdf(x,a,b)[a,b]上均匀分布概率密度在X=x处的函数值exppdfexppdf(x,Lambda)指数分布概率密度在X=x处的函数值normpdfnormpdf(x,mu,sigma)正态分布概率密度在X=x处的函数值chi2pdfchi2pdf(x,n)卡方分布概率密度在X=x处的函数值tpdftpdf(x,n)t分布概率密度在X=x处的函数值fpdffpdf(x,n1,n2)F分布概率密度在X=x处的函数值累积概率函数值（分布函数）连续型随机变量的累积概率函数值是指随机变量X≤x的概率之和。即：P{X≤x}=也就是连续型随机变量的分布函数F(x)，F(x)既可以用通用函数，也可用专用函数来计算。通常用这些函数计算随机变量落在某个区间上的概率和随机变量X的分布函数F(x)。1.利用通用函数cdf计算累积概率值格式：cdf(‘name’,x,A)cdf(‘name’,x,A,B)cdf(‘name’,x,A,B,C)说明：返回随机变量X≤x的概率之和。name为上述分布函数名。2.利用专用函数计算累积概率值其命令函数是在上述分布后面加上cdf，其用法同专用函数计算概率密度函数值。如正态分布的累积概率值：命令函数为：normcdf(x,mu,sigma)则显示结果为

F(x)=的值。逆累积概率值已知分布和分布中的一点，求此点处的概率值要用到累积概率函数cdf，当已知概率值而需要求对应概率的分布点时，就要用到逆累积概率函数icdf，icdf返回某给定概率值下随机变量X的临界值，实际上就是cdf的逆函数，在假设检验中经常用到。即：已知F(x)=P{X≤x}，求x逆累积概率值的计算有下面两种方法。通用函数icdf格式：icdf(‘name’,p,a1,a2,a3)说明：返回分布为name，参数为a1,a2,a3累积概率值为p的临界值，这里name与前面相同。如：p=cdf(‘name’,x,a1,a2,a3)则：x=icdf(‘name’,p,a1,a2,a3)专用函数-inv函数名调用形式注

释unifinvx=unifinv(p,a,b)[a,b]上均匀分布逆累积分布函数，X为临界值expinvx=expinv(p,lambda)指数逆累积分布函数norminvx=norminv(p,mu,sigma)正态逆累积分布函数chi2invx=chi2inv(p,n)卡方逆累积分布函数tinvx=tinv(p,n)T分布逆累积分布函数finvx=finv(p,n1,n2)F分布逆累积分布函数3、均匀分布：若随机变量X的概率密度为：则称X服从区间

[a,b]上的均匀分布，记作：X

～U[a,b](1)计算均匀分布的概率密度函数值在MATLAB中,用函数unifpdf计算均匀分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:y=unifpdf(x,a,b)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例7设随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布,求X=4时的概率密度值.y=unifpdf(4,2,6)(2)计算均匀分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数unifcdf计算均匀分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=unifcdf(x,a,b)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数(可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例8设随机变量X服从区间(2,6)上的均匀分布,求事件{X≤4}的概率.y=unifcdf(4,2,6)结果表明:对于区间(2,6)上的均匀分布,在x=4处的分布函数值F(4)=P{X≤4}=0.5000.4、指数分布：定义：若随机变量X具有概率密度则称X

服从参数为λ的指数分布，记成X~E(λ)。(1)计算指数分布的概率密度函数值在MATLAB中,用函数exppdf计算指数分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=exppdf(x,mu)%输入参数可以是标量、向量或矩阵.例9设随机变量X服从参数是6的指数分布,求X=3时的概率密度值.y=exppdf(3,6)例10设随机变量X服从参数分别为1,2,6的指数分布,求X=2时的概率密度值.y=exppdf(2,[1,2,6])结果表示:三个参数μ=1,2,6的指数分布在x=2处的概率密度函数值.(2)计算指数分布的分布函数值或概率P{X≤x}参数为μ的指数分布的分布函数是在MATLAB中,用函数expcdf计算指数分布的分布函数值.基本调用格是:·y=expcdf(x,mu)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例11设随机变量X服从参数是6的指数分布,求事件{X≤3}的概率.y=expcdf(3,6)计算结果是:参数μ=6的指数分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.3935.5、正态分布：定义：若随机变量X的概率密度函数为其中μ和σ都是常数，μ任意，σ>0，则称X服从参数为μ和σ的正态分布。(1)计算正态分布的概率密度函数值在MATLAB中,用函数normpdf计算正态分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=normpdf(x,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.注意：调用normpdf时,参数sigma是标准差σ,不是方差σ2.例12设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求X=3时的概率密度值.y=normpdf(3,6,2)计算结果是:参数μ=6,σ=2(即均值为6,方差为4)的正态分布,在x=3处的概率密度值(2)计算正态分布的分布函数值或概率P{X≤x}参数为μ,σ2的正态分布的分布函数不能用初等函数表示.在MATLAB中,用函数normcdf计算正态分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=normcdf(x,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例13设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求事件{X≤3}的概率.y=normcdf(3,6,2)结果表明:μ=6,σ=2的正态分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.0668.例14设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求三个随机事件{X≤1},{X≤3},{X≤8}的概率.y=normcdf([1,3,8],6,2)计算的结果是:参数为μ=6,σ=2的正态分布,分别在x=1,3,8处的分布函数值F(1)=P{X≤1},F(3)=P{X≤3},F(8)=P{X≤8}.(3)计算正态分布的α分位点,或求解概率表达式中的待定参数正态分布的α分位点的定义是P{X<=zα}=α.在MATLAB中没有直接计算分位点的函数,我们可以通过逆累积分布函数来计算分位点.正态分布的逆累积分布函数是norminv,其基本调用格式是:·y=norminv(p,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=α.例15求标准正态分布的0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=norminv(0.05,0,1)回车后显示:y=-1.6449结果表明:P{X<=zα}=0.05的标准正态分布α分位点zα=-1.6449.6、χ2

分布定义:设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从正态分布N(0,1),则称随机变量

服从自由度为n

的卡方分布。(1)在MATLAB中,用函数chi2pdf计算分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=chi2pdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与另一个输入参数相同的常数向量或矩阵.例16设随机变量X服从自由度分别为2,5,9的卡方分布,求x=3的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=chi2pdf(3,[2,5,9]).回车后显示:y=0.111570.154180.039646(2)计算分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数chi2cdf计算卡方分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=chi2cdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵.例17设随机变量X服从自由度为6的分布,求事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=chi2cdf(3,6)%回车后显示:y=0.1912结果表明:自由度n=6的分布,当x=3时的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.1912.(3)计算分布的α分位点,或求解概率表达式中的待定参数分布的α分位点的定义是.在MATLAB中,我们也可以通过逆累积分布函数来计算分布的分位点.分布的逆累积分布函数是chi2inv,其基本调用格式是:·y=chi2inv(p,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=α.例18求自由度为6的分布的上0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=chi2inv(0.95,6)回车后显示:y=1.6354结果表明:对于自由度n=6的

分布，

的分位点1.6354t分布定义:设X～N(0,1),Y～χn2,且X与Y相互独立，则称随机变量

为服从自由度n的t分布，记为T～tn。（1）在MATLAB中,用函数tpdf计算t分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=tpdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与另一个输入参数相同的常数向量或矩阵.例19设随机变量X服从自由度是6的t分布,求x=3的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=tpdf(3,6)(2)计算t分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数tcdf计算t分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=tcdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例20设随机变量X服从自由度是6的t分布,求事件{X≤3}的概率.y=tcdf(3,6)结果表明:自由度n=6的t分布,在x=3处的分布函数值是F(3)=P{X≤3}=0.9980.(3)计算t分布的α分位点,或求解概率表达式中的待定参数t分布的α分位点的定义是P{X<=tα(n)}=α.在MATLAB中,我们也可以通过逆累积分布函数来计算分位点.t分布的逆累积分布函数是tinv,其基本调用格式是:·y=tinv(p,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=α.例21求自由度为6的t分布的0.05分位点.y=tinv(0.05,6)结果表明:对于自由度n=6的t分布0.05的α分位点t0.05(6)=-1.9432.F分布

则称F=(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n

的F

分布。记成F~Fm,n。在MATLAB中,用函数fpdf计算F分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=fpdf(x,n1,n2)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例22设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求x=3的概率密度值.y=fpdf(3,2,6)结果表明:自由度n1=2,n2=6的F分布,在x=3处的概率密度值是0.0625.(2)计算F分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数fcdf计算F分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=fcdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例23设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求随机事件{X≤3}的概率.y=fcdf(3,2,6)结果表明:自由度n1=2,n2=6的F分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.8750.例24设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度分别是2,4,6的F分布,求事件{X≤1},{X≤3}{X≤8}的概率.y=fcdf([1,3,8],4,[2,4,6])(3)计算F分布的α分位点,或求解概率表达式中的待定参数F分布的α分位点的定义是.在MATLAB中,我们可以通过逆累积分布函数来计算F分布的分位点.F分布的逆累积分布函数是finv,其基本调用格式是:·y=finv(p,n1,n2)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例31设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度是6的F分布,求0.95分位点.解在命令窗口中输入:y=finv(0.95,4,6)回车后显示:y=4.5337结果表明:对于自由度n1=4,n2=6的F分布,满足的上α分位点F0.05(4,6)=4.5337一般连续型随机变量问题设随机变量X的概率密度为（1)确定常数k(2)求X的分布函数F(x)(3)求p{1<X<7/2}symskxuv;f_x1=k*x;f_x2=2-x/2F_x=int(f_x1,x,0,3)+int(f_x2,x,3,4)p=sym2