(全国通用版)2018-2019高中数学-第二章-平面向量-2.2-平面向量的线性运算-2.2.3-向量数乘运算及其几何意

数学必修④·人教A版新课标导学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案向量相同0

相反3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝______________；(2)(λ＋μ)a＝______________；(3)λ(a＋b)＝______________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______________＝______________，λ(a－b)＝______________．(λμ)a

λa＋μa

λa＋λb

－(λa)

λ(－a)

λa－λb

4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．5．向量的线性运算向量的______、______、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_______________．b＝λa

加减数乘λμ1a±λμ2b

[知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用1．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0．1．已知非零向量a、b满足a＝4b，则 (

)A．|a|＝|b|

B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反[解析]

∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|．∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．C

B

C

B

互动探究学案命题方向1

⇨向量的线性运算[思路分析]运用向量数乘的运算律求解．典例1『规律总结』

向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．命题方向2

⇨共线向量定理及其应用典例2(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1．『规律总结』

用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．命题方向3

⇨用向量的线性运算表示未知向量典例3『规律总结』

解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．A

命题方向4

⇨单位向量的应用B

典例4B

三点共线定理典例5D

向量的起点、终点弄不清楚，导致向量表示错误典例6[点评]

在向量的线性运算中，向量的差、向量的方向都是易错点，在运算中要高度重视．另外，几何图形的性质还要会准确应用．1．(2a－b)－(2a＋b)等于 (

)A．a－2b B．－2b

C．0 D．b－a2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是 (

)A．λa与a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|[解析]

对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|．B

C

D

4．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或e1＝0[解析]

当e1＝0时，显然有a∥b；当e1≠0时，