材料力学课件第6章 弯曲变形

第六章弯曲变形第六章弯曲变形6.1工程中的弯曲变形问题6.2挠曲线微分方程6.3弯曲变形求解——积分法6.4弯曲变形求解——叠加法6.6提高抗弯刚度的一些措施6.5简单超静定梁6.1工程中的弯曲变形问题控制弯曲变形的例子对于机械结构中的某些零部件以及土木工程中的某些结构，若变形过大，也会引起结构的失效。目录利用弯曲变形的例子工程实际中有一些情况是希望在结构满足强度要求下，尽量产生较大的弹性位移，以达到一定的功能效果。6.1工程中的弯曲变形问题对于某些结构，若变形过大同样会严重影响结构功能，引起结构失效。对结构变形量的限制则体现了材料力学的另一设计要求，即刚度要求。6.1工程中的弯曲变形问题6.2挠曲线微分方程1.基本概念2）转角θ：截面绕中性轴转过的角度。1）挠度w：截面形心在y方向的位移。挠度规定：当位移与坐标正向一致时取正。转角规定：逆时针旋转为正，反之为负。挠曲线转角3）变形后的梁轴线变为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。4）在图示坐标系中，各点挠度和转角可用挠曲线方程和转

角方程来表示：6.2挠曲线微分方程2.梁弯曲变形下的几何关系挠曲线转角由高等数学知识可知挠曲线的曲率可以表示为考虑到可简化6.2挠曲线微分方程3.梁弯曲变形下的静力学关系（可参见第五章）忽略剪力对变形的影响再考虑几何关系，则可得到梁在弯曲变形下的微分方程：式中正负号与弯矩的符号规定与所取坐标系有关。6.2挠曲线微分方程4.梁弯曲变形下的挠曲线微分方程正负号如何确定？分别考虑(a),(b)图，可知上式中可以去掉，得挠曲线方程为：(a)(b)6.2挠曲线微分方程由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。6.2挠曲线微分方程挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-36.2挠曲线微分方程

积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件

－弹簧变形6.2挠曲线微分方程例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程:3）列挠曲线近似微分方程

并积分:积分一次再积分一次ABF6.3弯曲变形求解——积分法4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF6.3弯曲变形求解——积分法例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：6.3弯曲变形求解——积分法3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：6.3弯曲变形求解——积分法4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件6.3弯曲变形求解——积分法5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6.3弯曲变形求解——积分法6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，6.3弯曲变形求解——积分法讨论积分法求变形有什么优缺点？6.3弯曲变形求解——积分法

设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：

若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-46.4弯曲变形求解——叠加法故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。6.4弯曲变形求解——叠加法例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC

；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解:6.4弯曲变形求解——叠加法3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

yC2yC36.4弯曲变形求解——叠加法例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解:6.4弯曲变形求解——叠加法3）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。6.4弯曲变形求解——叠加法讨论叠加法求变形有什么优缺点？6.4弯曲变形求解——叠加法1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-66.5简单超静定梁解：例5求梁的支反力，如图(a)所示，其中，梁的抗弯刚度为EI。1）该问题为1次超静定问题。2）解除多余约束，建立相当系统，如图(b)所示3）进行变形比较，如图(c)所示。列出变形协调条件6.5简单超静定梁(a)(b)(c)4）由物理关系，列出补充方程所以5）由整体平衡条件求其他约束反力6.5简单超静定梁(a)(b)(c)例6梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理关系解:6.5简单超静定梁FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得补充方程：确定A端约束力6.5简单超静定梁FBF´BMAFAMCFCyB1yB2确定C端约束力6.5简单超静定梁MAFAMCFCA、C端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图6.5简单超静定梁6.6提高弯曲刚度的一些措施为了满足结构的刚度要求，一方面要使用适当载荷，另一方面要通过结构设计提高结构弯曲刚度。从挠曲线微分方程可以看出，弯曲变形与梁上作用载荷的类别和分布情况以及梁的跨度、支承情况、梁截面的惯性矩、材料的弹性模量有关。

因此，为提高梁的抗弯刚度，应从考虑以上各因素人手。以下分为几类讨论：1）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式6.6提高弯曲刚度的一些措施2）改善加载形式，减少弯矩数值改变载荷类型6.6提高弯曲刚度的一些措施3）选择合理的截面形