管理统计学4统计抽样与抽样分布

为什么要进行抽样？如何进行简单随机抽样？正态分布、分布、F分布、t分布的定义、图形分布形态如何？中心极限定理的含义如何？

4.1关于抽样的基本概念

为什么要抽样? 为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的全部元素逐一进行观测，往往不很现实。抽样原因元素多，搜集数据费时、费用大，不及时而使所得的数据无意义总体庞大,难以对总体的全部元素进行研究检查具有破坏性炮弹、灯管、砖等一不能进行全面调查具有破坏性的产品质量检查无限总体难以确定总体（推出一种饮料、调查多少人喜欢节目）二理论上可以进行全面调查实际办不到水库的鱼苗数、森林的木材蓄积量、沙漠上沙粒多少三没有必要进行全面调差城乡居民收支调差、物价调差、民意调查目标总体抽样总体抽样调查适用于抽样总体，是否可推到目标总体，需要进行分析判断？抽样一般程序确定目标总体决定抽样框抽样调查的组织形式和抽样方法的选择规定精度确定样本容量经费核算概率抽样简单随机抽样、分层简单随机抽样、整群抽样、系统抽样非概率抽样任意抽样、判断抽样、配额抽样、滚雪球抽样概率抽样：简单随机抽样简单随机抽样（x1,x2,……,xn）: 简单随机抽样是指从总体中抽取样本容量为n的样本时，x1,x2,……,xn这n个随机变量必须具备以下两个条件：这n个随机变量与总体X具有相同的概率分布；它们之间相互独立。

甲乙丙丁四个生产商，其产品质量如下表所示： 如果仅从甲乙两个生产商的产品中进行抽样，抽样质量就偏高；如果仅从丙丁两个生产商的产品中进行抽样，抽样质量就偏低； 因此采用简单随机抽样保证随机样本与总体具有相同的概率分布。甲乙丙丁质量高高低低表4-14.1关于抽样的基本概念

样本统计量与抽样分布: 在简单随机抽样中，样本具有随机性，样本的参数,s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样本的函数，记为g（x1,x2,……,xn），称为样本统计量。

统计量的概率分布称为抽样分布（Sample distribution）

4.1关于抽样的基本概念

样本矩

均值、标准差、方差等次序统计量极值、中位数、p百分位数U统计量应用于构造非参数性的量的一致最小方差无偏估计（见点估计），并在这种估计的基础上检验非参数性总体中的有关假设。秩统计量如假设检验中的似然比原则所导致的似然比统计量，K.皮尔森的拟合优度（见假设检验）准则所导致的Ⅹ统计量，线性统计模型中的最小二乘法所导致的一系列线性与二次型统计量，等等几种概率分布正态分布分布

F分布

t分布4.2几种与正态分布有关的概率分布若随机变量X的概率密度函数记为(1)正态分布图4-1一般正态分布(1)正态分布标准正态分布:

当时， 记为U∽N（0，1）图4-2标准正态分布(1)正态分布非标准正态分布向标准正态分布的转化

若

标准化因子

则U∽N（0，1）(1)正态分布 查表 当u大于零时，可查正态分布表 但如果u<0时，则可由式φ（-u）=1-φ（u）求出(1)正态分布线性性质： 如果,且相互独立。对于常数，有下式成立：(1)正态分布6西格玛当分布中心无漂移时，即样本均值与分布中心重合时，3西格玛水平对应的不合格率为0.27%，即2700ppm；6西格玛水平对应的不合格率为十亿分之二，即0.0024ppm。分布中心无漂移为理想状态。

但当分布中心上下漂移1.5σ时，3西格玛水平对应的不合格率为66807ppm；4西格玛水平为6210ppm；5西格玛水平为233ppm；6西格玛水平为3.4ppm。

GE采取了上下漂移1.5σ来设定西格玛标准，6西格玛水平为3.4ppm。这成为6西格玛管理的默认标准。3.4ppmLSLUSL4.5sTm流程偏移了1.5sLSL±6s

0.001ppmUSL短期流程是居中的T0.001ppm短期

相互独立且均为服从N（0，1）分布的随机变量，则称随机变量所服从的分布是自由度为n的分布，且记。定义(2)分布一般其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的图4-3χ2分布图(2)分布相互独立,则设分布的分位点由于性质：如果，则；设，且相互独立，则若，已知相互独 立，，则(2)分布总体，是X的一个样本，为样本的平均数，

为样本的方差。 则: a.相互独立

b.(2)分布由于 设相互独立的随机变量V和W分别服从自由度为n1,n2的分布，即， 则随机变量服从F分布。n1，n2分别是它的第一自由度和第二自由度，且通常记为定义(3)F分布F分布图(3)F分布 设随机变量U服从标准正态分布，随机变量W服从自由度为n的分布，且U与W相互独立， 则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）。定义(4)t分布（Students分布）F分布图(4)t分布图4-5n=∞正态分布n=10n=1t分布图(4)t分布（Students分布）查表或性质: 当n很大时， 此时，tα/2≈uα/2，t分布近似标准正态分布。

(4)t分布（Students分布）无限总体: 设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…

，Xn是总体X的随机样本，样本平均数,则4.3样本平均数的抽样分布有限总体 有限总体若采取有放回抽样，则与无限总体等价。有限总体容量为N而采取无放回抽样，且n/N≤0.1，仍