山西省吕梁市柳林第二中学2021年高三数学理月考试题含解析

山西省吕梁市柳林第二中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了3766名理科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3766名考生的．平均分

．“红分”人数

．“红分”率

．“红分”人数与非“红分”人数的比值参考答案：依题意，输出的为红分人数，为红分率．2.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?=（）?，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出?的值．【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，?=（）?=+=0+||?||cos45°=×3×3×=3，故选B．3.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

(

)A.

3

B.

4

C.

5

D.

6参考答案：【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.【答案解析】C解析：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，

执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4；

判断4＞20不成立，

执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；

判断9＞20不成立，

执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16；

…

由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，

由，且n∈N*，得n=5．

故选C．【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于20时，输出n的值．4.已知角的终边经过点，则的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；则；故选C。【考点】①三角函数的定义；②二倍角公式。5.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】创新题型；导数的概念及应用．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．6.定义运算：已知函数，则函数的最小正周期是A． B． C． D．参考答案：B7.若a、b为实数，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B8.已知函数在区间2，+上是增函数，则的取值范围是（

）A．（

B．（

C．（

D．（参考答案：C9.已知定义在实数集R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集是（

）A．

B．

C.

D.参考答案：D略10.如图所示是二次函数的图像，则等于

A．

B．

C．

D．无法确定参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________,参考答案：4x－y－3＝0略12.已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为

（结果用反三角函数值表示）.参考答案：（或或）.13.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为，，则

．参考答案：55，．14.已知集合,其中表示和中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合,则；（Ⅱ）当时，的最小值为____________.参考答案：（Ⅰ）6（Ⅱ）213.15.已知直线l:与圆交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线，交x轴于C，D两点，且，则.参考答案：－1或3

16.若命题p：?x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p：

．参考答案：?x∈R，使x2+ax+1≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：?x∈R，使x2+ax+1＜0，则￢p：?x∈R，使x2+ax+1≥0．故答案为：?x∈R，使x2+ax+1≥0．17.命题“”的否定为

参考答案：，略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设g（x）=2x+，x∈[，4]．（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）（2）证明g（x）的最小值为g（）；（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[﹣，]，则f1（x）=﹣1，x∈[﹣，]，f2（x）=sinx，x∈[﹣，]，设φ（x）=+，不等式p≤φ1（x）﹣φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．参考答案：解：（1）∵g（x）=2x+为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，g（x）在x∈[，]上递减，g（x）在x∈[，4]上递增；（2）用最值的定义证明：g（x）在x∈[，]上递减，对任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；g（x）在x∈[，4]上递增，对任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．综上，g（x）的最小值为g（）．（3）先求定义域x∈[，2]．φ（x）=+=，φ1（x）=，）=，φ1（x）﹣φ2（x）=，由题设条件可得φ1（x）﹣φ2（x）的最小值为﹣5.25．φ1（x）﹣φ2（x的最大值为0，∴p≤﹣5.25，m≥0．略19.（本小题满分14分）已知函数的图象上。（1）求数列的通项公式；（2）令求数列（3）令证明：参考答案：（1）

…………1分

当；当，适合上式，

………5分

（2），

①，

②

……5分由①②得：=，

………………10分（3）证明：由

…………14分略20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.①当，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.【分析】（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果阳性，则其概率

（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下∴不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需即所以当时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.21.在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．⑴求曲线的方程；⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．参考答案：（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，所以圆的半径为，点，则直线的方程为，即，………2分所以，又，所以，即，所以的方程为

………………4分（2）设，，，由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，由，所以，，所以，，……………………6分所以．……8分令，，则，由得，由得，所以在区间单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值此时．……………10分22.如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。（1）求证：EF⊥平面BCD；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。参考答案：解：（Ⅰ）找BC中点G点，连接AG，FG

F，G分别为DC,BC中点

∴

∴

//AG

面，∥

DB⊥平面ABC

又∵DB