山西省吕梁市利民学校2023年高一数学文上学期期末试卷含解析

山西省吕梁市利民学校2023年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知映射f：M→N，其中集合M={（x，y）|xy=1，x＞0}，且在映射f的作用下，集合M中的元素（x，y）都变换为（log2x，log2y），若集合N中的元素都是集合M中元素在映射f下得到的，则集合N是（）A．{（x，y）|x+y=0} B．{（x，y）|x+y=0，x＞0} C．{（x，y）|x+y=1} D．{（x，y）|x+y=1，x＞0}参考答案：A【考点】映射．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知N中元素的横纵坐标之和为0，以此确定N中元素的条件即可．【解答】解：∵xy=1，x＞0，∴log2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由题意可知，N中的元素横坐标是任意实数，故选：A．【点评】本题考查映射的概念，注意对题目隐含条件的挖掘是解题的关键，属中档题．3.若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3?﹣loga≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴实数a的取值范围为[，1）．故选：A．4.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，也考查数形结合与数学转化思想方法，属于基础题．5.的图象与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为和，那么该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴是（）A．x=﹣1 B． C．x=1 D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】求出函数的解析式，即可求出该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴．【解答】解：由题意sin（）=0，0＜ω＜π，∴ω=，∴y=sin（x+），令x+=kπ+，可得x=3k﹣1（k∈Z），∴该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴是x=﹣1，故选A．6.（5分）设f（x）=，则f[f（﹣1）]=（） A． π+1 B． 0 C． π D． ﹣1参考答案：考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据分段函数，先求出f（﹣1）的值，然后计算即可．解答： 由分段函数可知，f（﹣1）=0，∴f[f（﹣1）]=f（0）=π，故选C点评： 本题主要考查分段函数求值问题，注意分段函数中自变量的取值范围，比较基础．7.已知满足对，且时，（为常数），

则的值为（

）

A．4

B．-4

C．6

D．-6参考答案：B试题分析：由题设函数是奇函数,故,即,所以,故应选B.考点：分段函数的奇偶性及求值运算.8..为得到函数的图象，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A略9.已知，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知定义在R上的减函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由y=f（x）的奇偶性、单调性可得f（x）的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，∴y=f（x）是奇函数，f（0）=0，∵y=f（x）是减函数，∴f（1﹣x）＜0，即f（1﹣x）＜f（0），由f（x）递减，得1﹣x＞0，解得x＜1，∴f（1﹣x）＜0的解集为（﹣∞，1），故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图圆C半径为1，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=

.参考答案：112.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若△ABC的面积为，则ab=__参考答案：4【分析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】，由正弦定理可得，，即：，由余弦定理可得，，可得，∵△ABC的面积为，可得，解得，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．13.在0°～360°范围内，与1000°角终边相同的角：参考答案：280°14.已知集合A中元素在映射下对应B中元素，则B中元素(4,－2)在A中对应的元素为

．参考答案：(1,3)设中元素在中对应的元素为，则，解得：，，即B中元素在中对应的元素为，故答案为.

15.（4分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x﹣1）﹣2必过定点

．参考答案：（2，﹣2）考点： 对数函数的单调性与特殊点．专题： 函数的性质及应用．分析： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函数的图象经过的定点的坐标．解答： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函数的图象过点（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．点评： 本题主要考查对数函数的图象过定点问题，属于基础题．16.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为________．参考答案：45°17.若对数函数y=f（x）图象过点（4，2），则其解析式是．参考答案：f（x）=log2x考点：求对数函数解析式．专题：函数的性质及应用．分析：利用待定系数法求出对数函数的解析式．解答：解：设对数函数y=f（x）=logax，（a＞0且a≠1），因为对数函数的图象过点（4，2），所以f（4）=loga4=2，解得a=2，所以对数函数的解析式为f（x）=log2x．故答案为：f（x）=log2x．点评：本题的考点是利用待定系数法求对数函数的解析式，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(wx+)(A>0,W>0，｜｜)的图象过点P（），图象上与点P最近的一个最高点是Q.（1）求的解析式。（2）在上是否存在的对称轴，如果存在，求出其对称轴方程，如果不存在，请说明理由。参考答案：略19.（本题满分10分）求使不等式成立的的集合（其中）参考答案：略20.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求边b，c．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=，进而可得角A；（2）若sinC=2sinB，c=2b，由a=，利用余弦定理，即可求边b，c．【解答】解：（1）在△ABC中，由题意可得2acosC=2b﹣c，结合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，∴A=60°；（2）∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a=，∴3=b2+c2﹣2bc?，∴3=b2+4b2﹣2b2，∴b=1，c=2．【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和和差角的三角函数，属中档题．21.数列{an}前n项和为Sn，已知（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明．参考答案：（1）；（2）证明见详解.【分析】(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.(2)由可得，用放缩法证明不等式.【详解】(1)由,得，以上两式相减得，则.两边同除以，可得.，，…，，以上个式子相加得，又，则，所以.(2)证明：因为，所以.所以.记，则，当时，，可得，所以.所以.【点睛】本题考查求数列的通项公式，不等式的证明.求数列通项公式时一般需要构造等差数列或等比数列.放缩法是证明数列不等式的一种常用方法，有时需要保留前面的若干项，只把后面的各项放缩.22.己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点M，N．（1）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意得出圆C的圆心在x轴上，设出圆C的标准方程，求出圆心与半径即可；（II）【解法一】由题意设出直线AP的方程，根据AP⊥BP写出直线BP的方程，求出M、N的坐标，设点Q的坐标，利用坐标表示、和数量积?，计算?为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解法二】由题意设出点P的坐标，根据点P在圆C上，结合直线AP的方程求出点M、N的坐标；设出点Q的坐标，利用坐标表示出、，计算数量积?为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），∴圆C的圆心在x轴上，设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），则，解得a=0，r=2；∴圆C的方程为x2+y2=4；（II）【解法一】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），∵AB是圆C的直径，∴AP⊥BP，∴直线BP的方程为y=﹣x﹣2，联立，解得；∴M（﹣，﹣3）；同理可求N（k，﹣3）；如图所示，设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴?=（﹣﹣t）（k﹣t）+（﹣3）×（﹣3）=t2+4+（﹣k）t，当t=0时，?=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（