常微分方程第一章

常微分方程OrdinaryDifferentialEquations董素媛理学院Welcometomyclass!—积分问题

—微分方程问题推广课程评价:作业(10%)课堂参与小测验笔记期末考试(70-80%)dongsuyuan2002@163.com315866606982

课程内容:(2)一阶微分方程的初等解法(3)微分方程解的存在唯一性定理(4)高阶微分方程(5)线性微分方程组

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参考书

iii.常微分方程习题解，庄万iv.常微分方程习题集，周尚仁v.常微分方程解题方法，钱祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。

ii.常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，窦雯虹5第一章绪论

微分方程的基本概念引例几何问题物理问题一、问题的提出二、微分方程的基本概念三、小结一、问题的提出【引例1】

一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的【解】

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.【引例2】

列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.【解】

设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求

s

=s(t).

含有未知函数的导数或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具体地联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式。9注：未知函数的导数或微分是不可缺少的微分方程中的未知量是函数.注意与代数方程的区别。常微分方程

(ODE)-自变量的个数只有一个的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation

）基本概念偏微分方程(PDE)-自变量的个数为两个或两个以上的微分方程。10微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。(2)微分方程的阶数:11练习1指出下面微分方程的阶数，并回答方程是常微分方程还是偏微分方程：12二阶微分方程的标准形式为：为自变量，为的函数的一阶微分方程的标准形式为：13一般地，

阶常微分方程具有形式

的已知函数，而且一定含有

是注1：14（3）线性和非线性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

则称(1）为

的左端为阶线性微分方程。（1）15这里

是的已知函数。阶线性微分方程具有形式一般地，不是线性方程的方程称为非线性方程。例如，方程

是二阶非线性方程，而方程是一阶非线性方程。16练习2指出下面微分方程的阶数，并回答是否线性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy17（4）解和隐式解如果将函数

（1）代入方程为方程（1）的解。

能使它变为恒等式，则称函数

后，18确定的隐函数

的解，则称

为方程（1）的隐式解。如果关系式是（1）19Remark：解和隐式解统称为方程的解。有解

和

而关系式

为方程的隐式解。例如，一阶微分方程事实上，由得所以为的解。由得所以20为方程的隐式解。练习3验证下列各函数是相应微分方程的解：(c是任意常数)21（5）通解和特解

含有

个独立的任意常数

的解

称为

阶方程的通解（隐式通解）。22

Remark:为n个独立的任意常数

23求微分方程满足初始条件解的问题，称为初值问题或Cauchy问题。满足初始条件的解称为微分方程的特解。求微分方程满足边值条件解的问题，称为边值问题。求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题2424

实际问题中经常需要寻找微分方程满足某种特定条件的解，这个特定条件就是定解条件。定解条件：初值条件，边值条件一阶微分方程的初值问题可表示为或25阶微分方程的初值问题可表示为引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相等.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.【例】验证函数是微分方程的解,的特解.【解】

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件【6】微分方程组.【分类1】常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程【分类2】【分类3】线性与非线性微分方程.【分类4】单个微分方程与微分方程组.客观现实世界运动过程中量与量之间的关系简单问题直接写出关系式：函数表达式复杂关系不易写出函数关系式，但易建立变量满足的微分方程30常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上。【补充】微分方程的初等解法: