工力应力状态孙讯芳

第七章应力状态和强度理论孙讯芳2010低碳钢?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？?铸铁低碳钢一、一点的应力状态

1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。

2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。二、单元体

1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。§7-1

应力状态概述（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量最一般单元体PPa)一对横截面，两对纵截面As=P/AsAMeMeb)横截面，周向面，直径面各一对Bt=Me/WnBPMeMec)同b)，但从上表面截取CtssCCBAtBtCsCsCsAsAP从梁上取单元体BACPA(a)abcdA(b)(c)31固定端平面zMzT4321yx2、4点请同学们考虑yxz主应力：主平面上的正应力，分别用表示。并且，有且只有三个。主平面：单元体上没有切应力的面，即t＝0的平面。主单元体：由主平面组成的单元体。空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态平面应力状态空间应力状态§7-2

平面应力状态的应力分析一、解析法求斜截面的应力-解析法xybzacd平面应力状态的普遍形式如图所示。单元体上有x,x和y,y。单元体用平面图形来表示xy(一)、斜截面上的应力xy图bnef截面法:

假想地沿斜截面ef

将单元体截分为二(图b),留下左边部分的单体元ebf

作为研究对象(图c)。befb图c：从x轴到外法线n逆时针转向为正，反之为负。正应力：拉应力为正，压应力为负。剪应力：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。ebfef设斜截面的面积为

dA

,则eb

的面积为

dAcos,bf的面积为dAsinb对研究对象列法线方向和切线方向的平衡方程并解之得a截面的应力公式推导过程A、平面应力状态下,任一斜截面(截面)上的应力

¸公式B、主平面位置确定主平面：单元体上没有切应力的面，即t＝0的平面。数学上正切定义xyxy根据数学定义判断2a0是第几象限角。求出a0就可以确定主平面。C、求主应力将a0代入任意截面正应力公式得：}7－37－4主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3最大切应力二、平面应力状态应力分析－解析法xy根据数学定义判断2a0是第几象限角。求出a0就可以确定主平面位置。}主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3：从x轴到外法线

n

逆时针转向为正，反之为负。xyxy习题

图示单元体,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:（1）求

e-f

截面上的应力（2）求主应力和主单元体的方位因为x

<y,所以0=-22.5°与min对应xyxy22.5°13习题从受力构件内某点处截取的单元体如图所示。其各侧面上的应力如图，试求1、a＝－60O的斜截面上的应力；2、主平面位置和主应力值，并画出主单元体；3、最大切应力。10xy15110aa二、图解法─应力圆1.理论依据：将上两式平方后相加得：当斜截面随方位角变化时,其上的应力，在-直角坐标系内的轨迹是一个圆。圆心位于横坐标轴(轴)上，离原点的距离为半径为此圆习惯上称为应力圆

,或称为莫尔圆o(b)（2）应力圆作法D1量取OB1=x,B1D1=x

,得D1点B1xx在

-坐标系内,

选定比例尺o图9-4(b)B1xxD1量取OB2=y,B2D2=y,

得D2点D2yB2yo图9-4(b)B1xxD1yyB2D2连接D1D2两点的直线与轴相交于C

点,以C为圆心,CD1或CD2为半径作圆

Co(b)B1xxyyB2D2C该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

半径为该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆D1点的坐标为(x,x)因而D1点代表单元体x平面上的应力。D1D2点的坐标为(y,y)因而D2点代表单元体y平面上的应力。xD2oB1xxyyB2Cef（3）利用应力圆求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD1按方位角的转向转动2,得到半径CE,圆周上E点的¸坐标就依次为

¸。（证明略）2ED1说明点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。oc2ABo图9-4(b)B1xxD1yyB2D2Cef2E应力圆画法及求任意截面的应力o（4）利用应力圆求主应力数值和主平面位置xD1yyB2D2C主应力数值A1和A2两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1,2（7-3）（7-4）oxD1yyB2D2C主平面方位2由CD1顺时针转2a0到CA1所以从x轴顺时针转a0（负值）即到smax对应得主平面得外法线a0确定后smax对应得主平面方位即确定例7-3图示单元体,试用应力圆求主应力并确定主平面位置.解:（1）求主应力和主单元体的方位-解析法804060单位：MPa（2）求主应力和主单元体的方位-图解法tsOD(80,-60)D’(-40,60)40MPaC22.5°13例7-4

简支梁如图所示.已知m-m

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa,=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图因为x

<y

，所以0=27.5°与min对应xAA01313习题：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。5020(1)解析法=57-7502005020(2)图解法D1D2CA1A220(3)画主应力方向D’习题求1）图示单元体α=300斜截面上的应力

2）主应力、主平面（单位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆403020单位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

习题图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。求：1)a=30o斜截面上的应力；

2)主应力及其方位；

3)极值切应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：MPaxasata40.3-40.3

习题

用应力圆法重解上题。

α38MPa28MPa48MPa114MPa习题：已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出此两截面间的夹角a值。解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交

轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由

得

。

应力圆半径量得主应力为量得主平面位置为s2A(38,28)B(114,48)CHOxsts1两截面夹角为习题二向应力状态如图所示(应力单位为MPa),试求主应力并作应力圆。80805050tt300(a)D1(80,0)D2(40,0)st解：习题一点处的平面应力状态如图所示。已知

求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。120ºotsCa120ºD解：（1）作应力圆b目录（2）根据应力圆的几何关系确定主应力120ºotsa120ºb半径因此主应力为：目录（3）绘出主应力单元体。120ºotsa120ºbCDs1s2s2s1目录★分析：1、本题亦可用解析法求解。2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：CD目录3、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。otsa目录习题为一直径为d＝40mm的实心轴承受力P=50kN和力偶的联合作用。(1)指出危险点位置，计算其应力值，并画出危险点的单元休；(2)试求该单元体的主应力大小、主平面方位，并画出主单元体；(3)试求该单元体的最大切应力。PPmmK解：1、根据轴向压缩和扭转应力分布规律，可知危险点在横截面边缘上各点，取k点画单元体。tss1s22、用公式或应力圆，求主平面和主应力。画主单元体求最大切应力s3习题求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO主应力轨迹线下图表示一受任意横向力作用的矩形截面梁,在横截面

m–m上,分别围绕1、2、3、4,、5五点各取出一单元体。假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。12345mm12345mm1223x3x445利用公式或应力圆求出主平面位置和主应力所以在梁的xy

平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力3的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线。梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力,一个为压应力,两者的方向互相垂直。主应力迹线的概念主应力迹线1122

(2)从1-1上任一点

a

开始,求出该点处主应力1的方向,将这一方向线延长至2-2截面线,相交于b点,再求出b点处主应力1的方向,延长至c点。

(1)按一定的比例画出梁在xy平面的平面图,画出代表一些横截面位置的等间距直线1-1,2-2等等abc主应力迹线的绘制1122

(4)按同样的方法可绘得主应力3迹线

(3)依此类推,就可以画出一条折线,作一条与此折线相切的曲线,这一曲线就是主应力1的迹线abcFxF/2F/2图中绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力1

的迹线,虚线表示主应力3

的迹线,所有的迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置)间的夹角都是45°,在梁的横截面上=0的各点处,迹线的切线则与梁的轴线平行或正交45纵向钢筋弯起钢筋qσ1σ3q简支梁的主应力轨迹线及其配筋图悬臂梁的主应力轨迹线及其配筋图P弯起钢筋45(b)(a)P应力状态2平面应力状态应力分析－解析法xy根据数学定义判断2a0是第几象限角。求出a0就可以确定主平面位置。}主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3：从x轴到外法线

n

逆时针转向为正，反之为负。.平面应力状态应力分析－图解法（应力圆法）xy下面利用应力圆法介绍空间应力状态xyzo上面右侧面前面

空间应力状态一般情况§7-3

三向应力状态的应力圆在受力物体内的任一点处一定可以找到一个单元体，其三对互相垂直的平面均为主平面，其主应力为s1、s2、s3。为主单元体。三个主应力均不等于零的应力状态为空间应力状态；在空间应力状态，一般应用应力圆法；即在同一坐标系下分别作三视图的应力圆。见下页图。s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2任意截面的应力均可用三个应力圆上的点，或其阴影部分表示由图中可以看出，最大切应力为：例7-6

单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力xyz50MPa30MPa70MPa40MPa由x,xy

定出D

点由y,yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆

A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3

A1A2D′ODC13

1=74.97MPa

3=5.3MPa该单元体的三个主应力

1=74.97MPa

2=50MPa

3=5.3MPa根据上述主应力，作出三个应力圆习题

单元体的应力如图a所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.解:

该单元体有一个已知主应力oA1A246MPa-26MPa量得另外两个主应力为c该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。从应力圆上量得主单元体见下页max主单元体习题

已知某结构物中一点处为平面应力状态,x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,试求此点处的最大切应力。解:根据给定的应力可知,主应力1=z=0,2=y=-90MPa,3=x=-180MPa,将有关数据代入公式(9-9)可

习题

试确定左图所示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面和最大切应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主应力方位：⑤单元体内的最大剪应力：第一象限角xzysy=140txy=150sx=300正视图s2y'31o31os1x's3主单元体可画出三个应力圆(略)习题求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：1)x面为主平面之一2)建立应力坐标系如图，画y—z平面的应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,2)求y—z面内的最大、最小正应力。3)主应力4)最大切应力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面应力状态作为三向应力状态的特例§7-4

广义胡克定律一、广义虎克定律1.有关概念：

①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；

②正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：③一般情况：s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：IIIs3上式中：

体应变q：单位体积的改变可以写成以下形式其中例7-7

在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。FpFF/Apppp

④柱内各点的三个主应力为：求得：

③由广义虎克定律：

②在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：解：①在柱体横截面上的压应力为：解；一一对应。由于构件自由表面，所以主应力2=0。该点为平面应力状态。习题已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变2

的数值和方向。该点处另一主应变2的数值为习题

边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力.体积应变以及最大切应力。解：铜块横截面上的压应力为Zyxzxy（b)aaaP（a)铜块应力如图b所示变形条件为解得铜块的主应力为体积应变最大剪应力分别为图示一钢质杆直径d=20mm，已知:A点在与水平线成600方向上的正应变60°=4.1×10-4，=0.28,E=210GPa.求：荷载P的值习题A一受扭转的圆轴,直径d=2cm,=0.3,材料E=200GPa,

现用变形仪测得圆轴表面与轴线450方向上的应变45°=5.2×10-4.求：轴上的扭矩T习题注意:x为负值TTA求：（1）A点处的主应变1，

2，3设3=041.4-21.4求：（2）A点处的线应变x，

y，z习题在一块钢板上先画上直径

d=300mm

的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性常数E=206GPa，

v=0.28。解：求出主应力和主平面位置求主应变