山西省吕梁市中阳县武家庄镇中学2021年高三数学文测试题含解析

山西省吕梁市中阳县武家庄镇中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则过点可作圆的两条切线的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.函数的零点所在的区间是A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由已知可知：点在轴上，设，∵，∴，即，在中，，由余弦定理有，由定义有:，即，∴.考点：1.双曲线的标准方程；2.余弦定理.

4.在右程序框图中，当时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，

则“”是“

”的（

）A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件参考答案：6.的展开式中的系数为A.10 B.20 C.40 D.80参考答案：C分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。7.已知等比数列满足，则的值为（

）A．1

B．2

C.

D．参考答案：A8.将函数y=f（x）的图象按向量=（﹣，2）平移后，得到函数g（x）=sin（2x+）+2的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．y=sin2xB．y=sin（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出向量的相反向量﹣，然后将函数y=sin（x+）+2按照﹣的方向进行平移整理，即可得到答案．解答：解：∵=（﹣，2），∴﹣=（，﹣2），将y=sin（2x+）+2按照向量﹣平移后得到，y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查三角函数按向量的方向进行平移．属基础题．9.下列说法正确的是（

）A．“若，则”的否命题是“若，则”.

B．“若，则”的逆命题为真命题.C．，使成立.

D．“若，则”是真命题.参考答案：D对于A.“若，则”的否命题是“若，则”,故A错误;对于B.“若,则”的逆命题为“若,则”,当时,,故B错误;对于C.因为,所以C错误;对于D.“若，则”是真命题，故选D.

10.若关于x的不等式xln+x﹣kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，则整数k的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．5参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】把函数f（x）的解析式代入f（x）+x﹣k（x﹣3）＞0，整理后对x讨论，x=3，x＞3，1＜x＜3时，运用参数分离，求得最值，主要是x＞3时，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（13，14）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x0）=x0，从而得到k＜x0，则正整数k的最大值可求．【解答】解：关于x的不等式xlnx+x﹣kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，即k（x﹣3）＜x+xlnx，当x=3时，不等式显然成立；当x＞3，即有k＜对任意x＞3恒成立．令h（x）=，则h′（x）=，令φ（x）=x﹣3lnx﹣6（x＞3），则φ′（x）=1﹣＞0，所以函数φ（x）在（3，+∞）上单调递增，因为φ（13）=7﹣3ln13＜0，φ（14）=8﹣3ln14＞0，所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（13，14）．当13＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函数h（x）=在（13，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[h（x）]min=h（x0）===x0∈（，）．所以k＜[h（x）]min=x0，因为x0∈（13，14）．故整数k的最大值是4；当1＜x＜3时，即有k＞对任意x＞3恒成立．由于x﹣3＜0，可得＜0，即有k≥0，综上可得，k的最大值为4．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，若=°,∠B=°，BC=，则AC=

参考答案：略12.已知，且，则

。参考答案：略13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值为________．参考答案：214.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为

种（用数字作答）；参考答案：48略15.已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．参考答案：16.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线C2：（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出的最大值．【解答】解：曲线（θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1．设直线方程为kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=，∴|OB|=2=，kx﹣y=0与x+y=4联立，可得A（，），∴|OA|=，∴=，设k+1=t（t＞0），则=≤=．∴的最大值为．故答案为．17.已知数列满足（为正整数）且，则数列的通项公式为

△

．参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，

（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角正弦值；

（Ⅲ）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值

参考答案：解析：解法一（几何法）

（Ⅰ）证明：正方形ABCD

∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF

∵AG，GB面ABEF，

∴CB⊥AG，CB⊥BG又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG

∵CG∩BG=B，∴AG⊥平面CBG

面AG面AGC，故平面AGC⊥平面BGC.…4分（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，

∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角∴Rt△CBG中又BG=，∴

……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC，

作BO⊥AC，垂足为O，连结HO，则HO⊥AC，∴∠BOH为二面角B—AC—G的平面角在Rt△ABC中，在Rt△BOH中，

即二面角B—AC—G的平面角的正弦值为.

……12分[方法二]（向量法）解法：以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）（Ⅰ）证明：略（Ⅱ）由题意可得，，设平面AGC的法向量为，由（Ⅲ）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得∴二面角B—AC—G的的平面角的正弦值为.19.（本题满分14分）设函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.参考答案：解：（1）当，时，---2分∵函数在上单调递增

∴即在上的最大值为4.------------4分（2）函数的定义域为-------------5分函数有零点即方程有解即有解-----------------------------7分令

当时∵------------------------------------9分∴函数在上是增函数，∴--------------------10分当时，∵-----------------12分∴函数在上是减函数，∴---------------------13分∴方程有解时即函数有零点时的取值范围为---------------------------14分略20.已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：ln2?ln3…lnn＞（n≥2，n∈N+）．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；（Ⅲ）得到lnx≥，令x=n（n≥2，n∈N*），得lnn＞，x取不同的值，相乘即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx++1，设g（x）=f′（x），g′（x）=，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）设h（x）=（x﹣1）lnx﹣ax+a，由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+=1﹣a=g（x）﹣a，g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，（1）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．（2）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）=，当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，ω（1）=2﹣a＜0，ω（ea）=1+e﹣a＞0，∴?x0∈（1，ea），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），∴x≥1，lnx≥（当且仅当x=1取“=”），令x=n（n≥2，n∈N*）得lnn＞，即ln2＞，ln3＞，ln4＞，…，ln（n﹣2）＞，ln（n﹣1）＞，lnn＞，将上述n﹣1个式子相乘得：ln2?ln3…lnn＞=，∴原命题得证．21.已知全集

（1）求A、B；

（2）求参考答案：解：（1）由已知得：

解得由得： （2）由（I）可得

故略22.在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特