2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)

2𝑖12122𝑖12122020年江西省南昌市高考数学一模试卷理科)一、单项选择题（本大题共小，共60.0分

设全集为R，合{，{，则(

B.

C.

D.

在复平面内，复数对的点的坐标𝑖

B.

C.

,

D.

,

有一个正三棱柱，其三视图如图所示，则其体积等)

B.

C.

2

D.已知，“”“

2

”C.

充分不必要条件充分必要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分又不必要条件

已知点、，向量在向上的投影

2B.5222

C.

D.1717

函数(

的图象为下图中(B.C.D.

̂22̂22𝜋

已知变量y与的性回归方程为

，其中x的有能取值为1，，5，13，则

B.

C.

D.

已知抛物线:2的点为线一点到线和轴距离之和为

B.

C.

D.

已知双曲线C：𝑎𝑏的焦点为，过点F且倾斜角22

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围)

+

B.

√

C.

D.

如所示eq\o\ac(△,)是长为的边三角形eq\o\ac(△,)是腰角三角形，，BD点．𝐵

的值为；线的为．B.C.D.E.3如，三棱

中，侧

底

的中点是上的点

DF相于点

下列结论中不正确的

CE与𝐶异且垂直B.C.

是直角三角形D.

DF的为若数𝜔𝑥其的小正周期是𝜋)

1𝜋，81𝜋𝜋1𝜋，81𝜋𝜋

，26

B.

1𝜋24C.

2

𝜋6

D.

，

𝜋4二、填空题（本大题共4小题，20.0分函2在点1,处的切方程_．已知

10

(102

2

10

10

，则等于________．若数({

02，𝑥2

2

．在差数列{中，已知，，𝑎．28三、解答题（本大题共7小题，82.0分如，eq\o\ac(△,)𝐴中，M是的点2．若，的；12若

的面积．如梯形ABCD中．

2𝜋

四边形ACFE为形平ABCD

22222222Ⅰ求：平；Ⅱ点在段上动在么位置时面MAB与平面成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19.

已知函

2

,𝑥(.若存极小值，求实数a的值范围；若(的极大值为，求证.220.

已知点：

上意一点，与关原点对称，线的直平分线分别与交MN两．求M的迹的方程；过点的直线l3

与点M轨迹C交两点在y轴是否存在定点使为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的标；若不存在，请说明理由．

21.

质检部门对某工厂甲乙两个车生产的12个零件质量进行检测甲乙两个车间的零件质量单：分的茎叶图如图所示．零件质量不超过的为合格．从、乙两车间分别随机抽取2个件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零合格的概率；质部门从甲车间8零件中随机抽取3零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的件下，另外一件是不合格品的概率．若甲、乙两车间12个件中随机抽取2个件，用X表乙车间的零件个数，求分布列与数学期望．22.

在平面直角坐标系xOy中射线l

曲的参数方程为

为参数曲的方程

以点为极点x的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写射线l

的极坐标方程以及曲线C

的普通方程；已射线l

与C

交于O，与 交于O，N的．

23.

设、且，分析法证明

2𝑖−2𝑖)2𝑖−2𝑖)−13𝑖21【答案与析】1.

答：解：：，；，；．故选：．可以求出集合A，B，后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.

答：A解：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．解：复数𝑖对应的点的坐标，𝑖(32𝑖)故选．3.答：B解：：由三视图和题意得，正三棱柱的高是，底面正三角形的边长为𝑖

，该三棱柱的体2

2

，故选：B．由三视图和题意求出正三棱柱的高，由直角三角形的正弦函数求出底面边长，由柱体的体积公求出答案．本题考查由三视图求几何体的体积，直角三角形的正弦函数的应用，属于基础题．

则向量在4.

答：B解：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2，得即判断出关系．解：

2

，得．“”“故选：B．5.答：A

2

”必要不充分条件．解：本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用，根据向量投影和向量数量积的关系进行转化解决本题的关键．根据条件求出向与的标，再根据投影的定义即可得到答案．解：、、、，

，方向上的投影为2

，故选：A．6.

答：解：本题考查分段函数图象问题，依题意解：

{，根据解析式即可求得结果．解：因为函

{，根据分段函数解析式即可判断中图象正确，故选C．7.

答：B

̂5̂，可得．22̂5̂，可得．22𝑏𝑏解：：由题意

15

(1513，代入故选：B．求出，入

，可得．5本题解题的关键是回归直线方程一定过样本的中心点，本题是一个基础题．8.

答：解：本题考查了抛物线的定义和几何性质，属于基础题．设据抛物线的性质可得点P到线和轴距离分别为根据题意可得5即可求．解：设，抛物线，准线方程为，则点到线和y轴距离分别为m，所以1，得，即．故选C．9.

答：A解：：双曲线C：1(𝑎𝑏的焦点为F，过点F且斜角的线与双22曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率𝑎所以𝑎

𝑏故选：A．若过点且斜角为的线双曲线的右支有且只有一个交点直线的斜率的绝对值小于

于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．10.答：解：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．在中，，，用余弦定理可

2

；在中，，由正弦定理可得的．解：在中，，由余弦定理可得22×1+3在中，，则由正弦定理可得：𝑖故选C．11.

答：D解：本题主要考查空间中，线线，线面间的位置关系，空间中的距离，属于较难题．利用空间中线线，线面间的位置关系，根据选项逐个分析判断即可．解：对于A，

平平面，且平，

，与

是异面直线，，

平，平ABC，平，，又，

，BC，平，平面，又𝐶平面，

，又四边是方形，连接，

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111得𝜔.由，𝜔.|𝜋1，11又

𝐴，，平，1平，平面，111，A正；1对于，

，是的中点

，由

底，

底，，又𝐴，，

平11

，平面，

平面11

，1

，又，

，，平，11平，平面，11，故B正；1对于C，

平11

，平面

，可得

，故

是直角三角形，确；对于，

1，，，3111

，，1，111

，111

，即，

√22

1

，解得，D错．故选．12.答：B解：

𝜋𝜔

1𝜋𝜋

.故B13.

答：解：：；故故函数(

的图象在点的切线方程为：；

1888107111．71888107111．711即；故答案为：．由题意求导，而知切线的斜率，从而写出切线方程．本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题．14.

答：解：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边底数形式．将+写成；用二项展开的通项公式求出通项，1的数为，求出．解：

10

10其开式的通项𝑟𝑟[1𝑟+1

𝑟

𝑟

·10𝑟

·𝑟10

1𝑟

，令𝑟得故答案为180．15.

答：)𝑥解：：函数{，𝑥𝑙𝑜𝑔2)2故答案为：．

1712推导出

(𝑙𝑜𝑔

，此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思，是基础题．16.

答：解：本题考查等差数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．设出等差数列的首项和公差，由题意列方程组求出首项和公差，则答案可求．解：由

，，：8

3113113，108解得：

1，1𝑛．𝑛故答案为：n．17.

答：：(1)

5312

，在中由正弦定理得sinsin

，．在中由余弦定理得：⋅𝐵

⋅𝐵

1

，+𝐵，解得负值舍，

⋅sin，解：题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式是解决本题的关键．根正弦定理进行求解即可．根余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．18.

答：证：在梯形ABCD中，，设1，又，，3

⋅𝐵3．则．

平ABCD平ABCD，而𝐵，平面BCF𝐴，平面BCF；解分别以直线，，CF为轴y轴z轴立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，0，1，0，，，，，设，为平面的个法向量，由

⋅√得，取，则3⋅

，，是平面一个法向量，,

2

2

．，当时有小值为，7点M与点F重时，平面平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．7

𝑥𝑥𝑥𝑥解：题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．在形ABCD中由题意求，由余弦定理求

，足

，得则再由平ABCD，由面垂直的判定可平面一步得平BCF分以直线CB为轴轴轴立如图所示的空间直角坐标系，，到C，B，M的标求出平面MAB的个法向量，由题意可得平面FCB的个法向量两向量所成角的余弦值时有小值为，7此时点M与重．19.

答：：

，．

𝑥，设

，，则⋅，

𝑥

2

，，，当时，，单调递增，当时且，单递，𝑚𝑖𝑛

，其大致图象如图所示，结合图象可知，当

时，在上调增，没有极值，不符合题意，当

时与有2个同的交点横坐标分别

，当或时单递单调递减，故函数(在处得极大值，处得极小值，

时，综上可得，a的围

结，若的大值为M则

，

𝑥11121121112121112132𝑥11121121112121112132，，12，11)1

1

21

，因为，2所以

1

1

2

𝑥

1

1

(1，1令

(12

，，则

12

(1时成立，即在上调递减，又，

12

，故

12

，即

12

．解：先函求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可出满足题意的范围，结的论)1

1

21

，构造函数，结合函数的单调性可求的值范围，即可证明．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，研究极值及函数的值域的求解，属于中档试题．20.答：：由意得|22|，所以点M的迹C为，为点的椭圆，因为22，，所以点M的迹C的程为2．2直l

的方程可设为

，3设,，，)12．联立{，得2𝑘12由求根公式化简整理得41612)假设在y轴存在定点，以AB为径的圆恒过这个点，则,，因为,)22

，即⋅

．

1212121所以{18111𝐶𝐶22𝐶𝐶2144𝐶𝐶1212121所以{18111𝐶𝐶22𝐶𝐶2144𝐶𝐶𝐶28214𝐶𝐶1121212𝑥21𝑥216(112219(12

22．，求得．2因此，在y轴存在定点，以为径的圆恒过这个点．解：题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应，考查计算能力以及转化思想的应用．判轨迹方程是椭圆，然后求解即可．直l

的方程可设为

，设𝐴,，𝐵(,，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴是否存在定AB为径的圆恒过这个点−1.推出结果即可．21.答：：质部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12零件质量进行检测，由茎叶图得甲车间的合格零件数为，乙车间的合格零件数为，从、乙两车间别随机抽取2个件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率：4)(122284

．质部门从甲车间8个件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概

𝐶𝐶213444

．7由意可得X所有可能取值为0，2

𝐶𝐶12

，1)48𝐶12

16

，

242114161222123242114161222123