山西省临汾市永红学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

山西省临汾市永红学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,，则＝

A．﹛x|x＜－5或x＞－3﹜

B．﹛x|－5＜x＜5﹜C．﹛x|－3＜x＜5﹜

D．﹛x|x＜－3或x＞5﹜参考答案：A2.=(

)A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式===﹣1﹣2i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知定义在区间[－4,4]上的函数满足,在[－4,4]上随机取一个实数x,则使得的值不小于4的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C6.3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数参考答案：B7.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=A.

B.

C.

3

D.

2参考答案：A

【知识点】抛物线的性质H7解析：设与轴的交点为M，过向准线作垂线，垂足为N，则由及可得【思路点拨】设与轴的交点为M，过向准线作垂线，垂足为N，则由抛物线的性质可得结果.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D9.是虚数单位，若(1+i)z=i，则z=（）A．B．C．D．参考答案：A10.设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是

．参考答案：12.设全集U=R，集合M=，N=，则（M）∩N=__________.参考答案：略13.若曲线在点处的切线平行于轴，则

．参考答案：14.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若，则的值是_____.参考答案：16【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

15.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是

．参考答案：若得的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得的同学是甲.16.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为

参考答案：略17.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是

．参考答案：0＜m＜2考点：抽象函数及其应用．专题：压轴题；新定义．分析：函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答： 解：）∵函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根．由﹣x2+mx+1=?x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1?（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1?0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．解答： 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆C方程为+y2=1．（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，切点的纵坐标y0=kx0+t=，所以=﹣，所以k=﹣，所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）=﹣（x﹣x0），化简得：+=1．当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，PA，PB是椭圆+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，过点B的椭圆的切线为+y2y=1．由两切线都过P点，+y1yP=1，+y2yP=1即有切点弦AB所在直线方程为+yyP=1．M（0，），N（，0），|MN|2=+=（+）?=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=即xP2=，yP2=时取等，则|MN|，即|MN|的最小值为．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，以及基本不等式的运用，属于中档题．19.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，试求的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）∵，∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，即，B是三角形的一个内角，∴（Ⅱ）∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2略20.如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．参考答案：解：1）由正弦定理得：=，即=，

所以BC=4sinθ．

又∵∠C=π﹣﹣θ，

∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．

∴=即=，

∴AB=4sin（+θ）．---------------------------------------------6分（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，

所以，8sin（+θ）×=6，

整理，得sin（+θ）=．

∵0＜+θ＜π，

∴+θ=或+θ=，

∴θ=，或θ=．

∴△ABC是直角三角形．

---------------------------12分21.如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=75°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE?PF的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°，利用∠CDB=∠CAB，即可证明结论；（Ⅱ）利用割线定理，即可求出PE?PF的值．【解答】解：（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°…∵∠CDB=∠CAB…∠PEC=90°﹣∠CAB，…∠PDF=90°﹣∠CDB…∴∠PEC=∠PDF=75°；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：∠PEC=∠PDF，∴D，C，E，F四点共圆，…∵AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，∴PE?PF=PC?PD=PB?PA=2×12=24．【点评】本题考查四点共圆是证明，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费。”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按