山西省临汾市曲沃县高显镇中学高三数学理上学期期末试题含解析

山西省临汾市曲沃县高显镇中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B

根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为.

2.已知满足约束条件，,则的最小值是

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：D3.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有 (A)[－x]＝－[x] (B)[2x]＝2[x] (C)[x＋y]≤[x]＋[y] (D)[x－y]≤[x]－[y]参考答案：D取x=25,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A项错误；[2x]=[5]=[]=2[2.5]=4,所以B项错误；再取y=28，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C项错误.4.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且?n=?，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.对于函数“函数的图象关于y轴对称”是“y=f(x)为奇函数”的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：B6.若椭圆的离心率，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.

在△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若，则角A=（

）

A．30°

B．30°或105°

C．60°

D．60°或120°参考答案：答案:D8.设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t）（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．不能确定参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域”的条件．【解答】解：由题意可知：所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，f（x）的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，且x1＜x2则定义域的长度为|x1﹣x2|==，而f（x）的值域为[0，]，则有，∴，∴a=﹣4．故选B．【点评】本题考查的是二次函数的性质问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力．值得同学们体会反思．9.已知,则的值为(

).A.

B．

C．-1

D．1参考答案：D10.已知为等差数列，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是(

)A.18

B.19

C.20

D.21参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30°的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是．参考答案：（0，4]∪{8}【考点】解三角形．【分析】利用正弦定理得出b=8sinB，根据B+C的度数和三角形只有一解，可得B只有一个值，根据正弦函数的性质得到B的范围，从而得出b的范围．【解答】解：∵A=30°，a=4，根据正弦定理得：，∴b=8sinB，又B+C=180°﹣30°=150°，且三角形只一解，可得B有一个值，∴0＜B≤30°，或B=90°．∴0＜sinB≤，或sinB=1，又b=8sinB，∴b的取值范围为（0，4]∪{8}．故答案为：（0，4]∪{8}．【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题．12.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，，，则圆的面积为

.参考答案：

【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，∴∠BOC=120°，∵BC=2，∴圆的半径为：=2，∴圆的面积为：π?22=．故答案为：．【思路点拨】通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．13.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为

．参考答案：14.已知直线l：12x﹣5y=3与x2+y2﹣6x﹣8y+16=0相交于A，B两点，则|AB|=

．参考答案：4

【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，∴圆心坐标为（3，4），半径r=3，∴圆心到直线12x﹣5y=3的距离d==1，则|AB|=2=4故答案为：415.在△中，，，则的最大值为

参考答案：。在△中，由正弦定理得，∴，。∴，因此的最大值为。16.右图所示的程序框图的输出结果为

.参考答案：8略17.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm的株数是__________..参考答案：【知识点】用样本估计总体I2【答案解析】7000

由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，

则底部周长大于100cm的段的频率为1-0.3=0.7

那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．

故答案为7000．【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0． （1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值； （2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；

（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1． 利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx， ∴，其定义域为（0，+∞）， ∴．

∵x=1是函数h（x）的极值点， ∴h′（1）=0，即3﹣a2=0． ∵a＞0，∴．

经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点， ∴； （2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于 对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max． 当x∈[1，e]时，． ∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数． ∴[g（x）]max=g（e）=e+1． ∵，且x∈[1，e]，a＞0． ①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，， ∴函数在[1，e]上是增函数， ∴． 由1+a2≥e+1，得a≥， 又0＜a＜1，∴a不合题意； ②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则， 若a＜x≤e，则． ∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数． ∴[f（x）]min=f（a）=2a． 由2a≥e+1，得a≥， 又1≤a≤e，∴≤a≤e； ③当a＞e且x∈[1，e]时，， ∴函数在[1，e]上是减函数． ∴． 由≥e+1，得a≥， 又a＞e，∴a＞e； 综上所述：a的取值范围为． 【点评】本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 19.（09年湖北重点中学4月月考理）（13分已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；

（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立参考答案：解析：

1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：

①

………2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：

②

………3分由①，②有：

③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。

………5分2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。

………7分又点在椭圆C上，所以有整理为。

④由③有：。所以

⑤又A﹑B在椭圆上，故有

⑥将⑤，⑥代入④可得：。

………11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。20.已知抛物线，P，Q是抛物线C上的两点，O是坐标原点，且．（1）若，求的面积；（2）设M是线段PQ上一点，若与的面积相等，求M的轨迹方程．参考答案：（1）；（2）．设，，（1）因为，又由抛物线的对称性可知，关于轴对称，所以，，因为，所以，故，则，又，解得或（舍），所以，于是的面积为．（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，得，，且，，因为，所以，故，则，所以或（舍），因为与的面积相等，所以为的中点，则点的横坐标为，纵坐标为，故点的轨迹方程为．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点． ①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值； ②若点M（﹣，0），求证：为定值． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程； （2）①