2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷

2020普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动橡皮擦干净后选涂其他答案标号答选择题时答写在答题卡上。写在本试卷上无效。．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共2小题，每小题5分共60分。在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的。若，

z)A.0C.2

D.2设集合AaAB()A.-4B.-2D.4埃及胡金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积侧三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值()

54

52

C.

54

52已知A为抛物线:

px(0)上点，点A到的焦点的距离为，y轴距离为9，则p)A.2C.6某一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和度(单：

)的系，在个不同的温度条件下进行子发芽实验实数据(x,i1,2,...,20)得到下面的散点ii

图：由此散点图，在1040间，下面四个回归方程类型中最适宜作为芽率y和度的归方程类型的是)函数f(x)

ybxC.的图像在点f(1))处切线方程为()C.y

lnxxπ设函数f()cos(x)

在图则f()的小正周期为()

109

76

C.

4π3

π2(x

)(xy)

5

的展开式中

的系数为()D.20已知，3cos2

8cos

，

)

53

C.

13

59已知AB,为O的面上的三个点，

O为的接圆，若

O的积为πBCAC，球O的面积为()64π

C.36π

已M:

线

l:2x

0

Pl上动点P作

M的切线PA,

，切点为A,，|PM|AB

最小时，直线AB的程为)

2y

2y

C.

2y

2xy若

2log，()b

b

C.

a

a

二、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分。0,若xy满约束条件则z最大值___________.

0,设,为位向量且|则|___________.已知为曲线C:

a的焦点，为C右顶点，B上点，22且直于

轴.若AB的率为3，则C的心为______________.如图三棱锥ABC的平面展开图中ACAB330

ABAC，三、解答题：共7分。解答应写出文字说、证明过程或演算步骤。17~21题必考题，每个试题考生都必须作答。第22题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分。17.（分设{}

是公比不为1的比数列，a为a2

，a

的等差中项．求{}

的公比；若a

，求数列{}

的前项和18.（分如图，为锥的顶点，O圆锥底面的圆心，AE为面直径，AEAD是底面

的内接正三角形，P为DO上点，

66

DO证明：PA面PBC求二面角BPCE的弦值19.（分甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人另人轮空场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛者一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮设每场比赛双方胜的概率都为

求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；求丙最终获胜的概率.20.（分已知A

分别为椭圆E:

22

2

为的顶点，

，P为直线x上动点，PA与E的一交点为，与的一交点为求的程；证明：直线CD定.21.（分已知函数f(x

.当a时讨论

f

的单调性；当，

x

，求

的取值范围.（二）选考题：共1分。请考生在第22题中任选一题作答。果多做，则按所做的第

kk一题计分。22[修—4坐标系与参数方程（10分在直角坐标系

xOy

t中曲线C的数方程为

(

为参数以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

4

当k时C是么曲线？当k4，求C与的共点的直角坐标.23[修—5不等式选]（分）已知函数

f(x)

画出

f(x

的图像；求不等式

f()f(

的解集

aa参答答案：解析：通解

z(1

2(12i2i故光速解

z2.选D.答案：B解析：解法一易知|,Bx因为Bxx，以2

a2

，得故B.解法二由题得

a则B

x

，又

，所以足意，排除A；若则BA；若，B又

A

意，排除C；若a，A意故B.答案：解析：设正四棱锥的高为，底面正方形的边长为，高为，依题意得

a，

①，易知h

②，由①②得

152

a，以15.选C.aa4答案：解析通因为A到y轴的距离为所可设点A

所

又点

到焦点的距离为，所以，以9，2

p，得p(舍去)p故选C.光速解根据物线的定义及题得A到的准线xy轴距离为9，所以，得.故选答案：

p2

的距离为因为点A到

π4π4πππ4π4πππ3解析根据散点图用光滑的曲把图中各点依次连起(图略由图并结合选项可排除AB，C故选答案：B解析：通解

fx)

，fx)x

，f'(1)又f所求的切线方程为y，.故选B.优解

fx)

，f'(x

，f切的斜率为，除C，又f切过点，排除A.故答案：解析通解由图知，fπ(kZ)解得94

(k)

设fx)最小正周期为T，易知Tπ，

|

2π4ππ|

，

，且仅当，合题意，此时

24π，T故选C.3秒解由题知f且f(f(0)0)得，92f()最小正周期T

故选答案：解析：因为xy)

的开式的第r项Trr

r

，所以()

的展开式中

的系数为C

.故选C.答案：A解析：

8cos

，3

，6cos

，3cos

，得cos

(舍)或cos(0,π)，sin1

53

故选答案：解析：如图所示，设球O的径为，O的径为r，为O的积为π，以π=πr

AB，解得r，ABBCOO，所以r，得23，sin

OO2，所以Rr，以球O的面积π264π.选答案：解析：通解由M:

①得M:(

，以圆心M.图接AM知边PAMB的面积为PMAB|

使|PM||最小，只需四边形的积最小，即只需的积最因为|AM，以只需最又PM

AM|

|PM|

所以只需直线2x上动点到M的离最小，其最小值为

|5

5，时l

，易求出直线PM的方程，为由得所P(知，，MB四点共圆，所以，以PM为径的圆的方程为x

15即2

②①②得直的程为2xy，故选优解因为M:(

所以圆心M.

2y连接AMBM易四边形的积为|PM|AB|

欲|AB|最只四边形PAMB的面积最小，即只需的积最因为|AM，以只需PA|最小.又PM

AM

|PM|

只需|PM最时PMl.为PM，所以l，以k

排除A，C.AB，易求出直线的程为xy，得所P(为点y，M到线x距离为2所以直线点且相，所以(点A线上故排除B.故选D.答案：B解析解一令f(x

x因为y

在单调递增，logx上单调递增，所以f(x

x在单调递增又abb(2)，以f()f)，以故选解法二（取值法）由

，b，得

a，令f()

，f(x)在调递增，且f(1)，f(2)，以f(1)f，x)logx在存唯一的零点，所以故ab2

都不成立A2

log()

logx则()在单递，且g(3)，(4)，所以(3)g，(logx在在唯一的零点，所，不成立排除故B.答案：解析：通解作出可行域，如图阴影部分所示，由

y，得

故.出，直线，形结合可知，当直线xy过时取得最大值，为1.

优解作出行域图中阴影部所示

AC线z过点A时，；直线zy过时，；直线z过时，z

11.以y的大值为答案：3解析：解法一

单位向量，且a，(a)，a，1a，a2

，2解法二如图利用平行四边形法则得O，，OAC正三角形，BAa

32

|3.

BnBn答案：解析设B

因为双曲线C:

2y2yb上点所所22ba2因为AB的率为所B

2，所aca所ac

，所以

a

，得(舍去)或所以的离心率e

c

答案：

解析：依题意得，AE在AEC中，CAE余弦定理得

AE

AEcosEAC3cos30以EC，以CF又BCAC

AB

1BDAD

AB

6以在BCFBCCFBF中，由余弦定理得cos.221(3n答案：(2)S9

解析：(1)设

的公比为q，题设得a，即aqq

所以q

，得q(舍去，故.记为

项和由1)及题设可得，所以

，

n

可得3

n

n.所以

n

221221答案：(1)见解析；(2)

25

解析：(1)设DO，题设可得PO

6aa,AB，6

22

a因此22，而PA.又PA

PC

，故所以PA面PBC.以O为标原点，OE的向为轴方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.1由题设可得E(0,1,0),A(0,1,0),,,0P

2所以,设mx)是平面的向量，则

m0,m

即

2zy23可取2

2由1)知AP

是平面的个向量，记，n则nm.|n|所以二面角E的弦值为7答案：；(2)；(3)

25

解析：(1)甲连胜四场的概率为

根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为乙连胜四场的概率为

；；1丙上场后连胜三场的概率为.8所以需要进行第五场比赛的概率为

1384丙最终获胜，有两种情况：1比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；8比赛五场结束且丙最终获胜则第二场开始的四场比赛按照丙的胜负轮结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111因此丙最终获胜的概率为.1616

88

答案：

2

2；见解析解析：(1)由题设得A(B(.则AGa1).得

，a所以E的方程为

2

2

.设Cyt)若t0，直线的程为x由题意可知n.

121121tt由于直线PA方程为y(x，所以y

x

tt直线PB方程为yx，以.可得由于

x9

y

，9

，可得27yy(1

.①将代

2

2

得

mny22所以yym

代入①式得3解得n舍去，n.2故直线CD的程为x

32

，即直线CD过点.若t，直线的方程为y，点综上，直线CD定点,0.答案：(1)见解析；(2)

.解析：(1)当时(x

，f'(x)

.故当时fx)；当x(0,，f'(x所以f(x)在(上单调递减，在(0,调增.f()

12

等于

ax

设函数()xe(x，'(xxxax

axa

(a1)(2)e

，由ii可得1解得，由ii可得1解得.(i)若