高等数学 第三章第六节

1、弧长的定义oyxM0Mx0x设函数f(x)在(a,b)内具有连续得导数，曲线y=f(x)上固定点M0(x0,y0)为度量弧长得基点，并规定依x增大的方向为曲线的正向，曲线上任意一点M(x,y),规定弧长S的长度的绝对值等于这段弧的长度,有向3.6弧微分曲率函数作图3.6.1弧微分2、弧微分公式oyxM0Mx0x弧微分公式3.6.2曲率及其计算曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义)曲线的弯曲程度与切线转角的大小成正比，与弧的长度反比M0Myox)yxo（定义曲线C在点M处的曲率oM再如，设圆的半径为a，如图圆的任意一点处曲率都是,圆的各点的弯曲程度一样，且半径越小的圆弯曲越厉害.2、曲率的计算公式例：求半径为R 的圆的曲率解：设圆的方程为x2+y2=R2,由隐函数求导法例1解显然,曲率圆与曲率半径这个圆就叫做曲线在点M处的曲率圆.曲率圆的圆心叫做曲线在点M的曲率中心,曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M的曲率半径.MDOXy在点M处,曲率圆和曲线y=f(x)有相同的切线和曲率,并且在点M有向同的凹向,因此,在点M可用曲率圆弧近似代替曲线弧.曲线y=f(x)在点M处的曲率K和该点的曲率半径的关系为:故当曲率半径较大时,曲率较小,曲线弯曲较轻;故当曲率半径较小时,曲率较大,曲线弯曲较厉害.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例4:设某零件内表面的截线为抛物线y=0.4x2,加工时用砂轮磨削其内表面,问选用直径多大的砂轮才合适？oxy解:抛物线在顶点处曲率最大,曲率半径最小,砂轮半径不应大于顶点处的曲率半径.这里求出抛物线y=0.4x2在点(0,0)处的曲率.点击图片任意处播放\暂停例2证如图（（在缓冲段上,实际要求例3解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.3.6.3渐近线定义:1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:注意:例1解3.6.4函数图形描绘利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例：作出y=3x-x3的图形.-1(-1,0)0(0,1)10_0++_++0__极小值拐点(0,0)极大值符号“”表示单调减少下凸.曲线无水平、垂直渐进线,利用函数的奇偶性,可描绘函数图形如下:oxy-2-11212-1-2(-3,3)3(3,6)6-+-------0+间断点极大值拐点极大值f(3)=4,得点(3,4),综合上述描绘函数图形如下oxyX=-3例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值极小值小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减思考题

1、椭圆