山西省临汾市侯马五0二学校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省临汾市侯马五0二学校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对两条不相交的空间直线a、b，必存在平面，使得

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B2.已知复数z满足,则Z=（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知点在二面角的棱上,点在半平面内,且．若对于半平面内异于的任意一点,都有,则二面角的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B5.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为，将函数的向右平移个单位长度后，得到关于y轴对称，则A.f(x)的关于点对称 B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)在单调递增 D.f(x)在单调递增参考答案：C6.如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是圆柱挖去圆锥所得，利用圆柱、圆锥的体积公式可得体积．【解答】解：由题意，几何体是圆柱挖去圆锥所得，体积为=．故选C．7.对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；

②“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件；

④“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件．其中真命题的个数是(

) A．4 B．3 C．4 D．1参考答案：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解答： 解：①若c=0时，a=1，b=2．，满足ac=bc，但a=b不成立，则“a=b”是“ac=bc”的充要条件错误；

②若a=b=v=c=0，满足b2=ac，但a，b，c成等比数列错误，故②错误；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确；

④若a=2，b=﹣2满足a＞b，但“a2＞b2”不成立，故④错误．故正确命题是③，故选：D点评：本题主要考查命题的真假判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设全集U=R，集合，，则=（

）A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知i是虚数单位，复数=

.参考答案：

12.已知平面向量与的夹角为，，，则______．参考答案：3【分析】直接利用数量积的运算法则求解.【详解】由题得故答案为：3【点睛】本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为

．参考答案：抛物线的准线为x＝?1，所以P横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．14.某市有300名学生参加数学竞赛的预赛，竞赛成绩宇服从正态分布ξ~N(80，100)，若规定，预赛成绩在95分或95分以上的学生参加复赛，估计进入复赛的人数是

(参考数据：Φ(0.15)=0.5596，Φ(1.5)=0.9332，Φ(0.8)=0.7881)参考答案：答案:20人15.把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为，则关于的不等式的解集为

.参考答案：略16.已知两个不相等的平面向量，（）满足||=2，且与﹣的夹角为120°，则||的最大值是．参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：如图所示：设=，=，则=，∠BAO=60°，∠BAC=120°，且OB=2，0°＜∠B＜120°．△AOB中，由正弦定理求得||=sin∠B，由此可得||的最大值．解答：解：如图所示：设=，=，则=，∠BAO=60°，∠BAC=120°，且OB=2，0°＜∠B＜120°．△AOB中，由正弦定理可得=，即，解得||=sin∠B．由于当∠B=90°时，sin∠B最大为1，故||的最大值是，故答案为．点评：本题主要考查求向量的模的方法，正弦定理，以及正弦函数的值域，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．17.若3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则q的值是_______.参考答案：26把3+2i代入方程得：2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0，整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0，利用复数相等的充要条件得，解得，故q=26.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．（1）求的取值范围；（2）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（3）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．参考答案：解：（I）由方程消得． ①依题意，该方程有两个正实根，故解得．（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程①的两实根，且，故，，是关于的减函数，所以的取值范围是．是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知．类似可得．．由①可知．从而．当时，有相同的结果．略19.设是函数的导函数，我们把的实数叫做函数的好点.已知函数.(1)若0是函数f(x)的好点，求a；(2)若函数f(x)不存在好点，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】(1)求得函数的导数，根据，得，代入，即可求解.(2)由（1）知根据，得，令，问题转化为讨论函数的零点问题，利用导数分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)由题意，函数，可得，由，得，即.因为是函数的好点，所以，解得.(2)由（1）知，由，得，即.令，问题转化为讨论函数的零点问题.因为，当时，若函数不存在好点，等价于没有零点，即的最小值大于零，又由，①若，则，无零点，无好点.②若，则，得.当时，；当时，，所以在单调递减，单调递增.所以当时，取最小值.当且仅当，即时，，所以无零点，无好点.③若，则，得.当时，；当时，，所以在单调递减，单调递增.所以当时，取最小值.当且仅当，即时，，所以无零点，无好点.综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．20.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=.（1）求证：PB=PD;（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.参考答案：(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，∵底面ABCD为正方形，∴OA=OC=OB=OD=2.∵PA=PC，∴PO⊥AC，∵平面PAC∩底面ABCD=AC，PO?平面PAC，∴PO⊥底面ABCD.∵BD?底面ABCD，∴PO⊥BD.∴PB=PD.…………6分(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.可得P(0,0,2)，A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,0,0),可得，M(0,-1,1),N(0,1,1).，.设平面的法向量n=，∵，，∴令，可得n=.记，可得，，=0，可得，，解得.可得，.记，可得，，若DQ⊥PH，则，，解得.故.…………12分另：取的中点，说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足，并说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得m2=r2（1+k2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．【解答】解：（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，则切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y=﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a=，b=，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a，b，r满足+=成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l与圆x2+y2=r2相切，则=r，即m2=r2（1+k2），①则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．则x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则⊥=0，∴x1x2+y1y2=+==0，则（a2+b2）m2=a2b2（1+k2），②将①代入②，=，∴+=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=alnx－x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且g(x0)－+2a＞0，求实数a的取值范围．参考答案：【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．