2020-2021学年浙江省温州市十校联合体高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

，20202021年浙江省温州市校联合体高一下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，40.0分

设复数𝑖虚数单，在复平面内对的点位

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

若，，是的角．

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

A，Beq\o\ac(△,)𝐴的内角，是𝑖的C.

充分不必要条件充要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分又不必要条件

如图所示，正方′′的长2cm它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长B.C.D.

+3√

如图所示是一个正方体的表面开图图中“温”在正方体中的对面是B.C.D.

州十校合

在平行四边形中点N为角线AC上近点三等分点，连结BN，则

B.

C.

D.

设AB两在河的两岸，为测量，点间的距离，小明同学在A的侧选定一点C测出，两点间的距离为80米

，请你帮小明同学计算出两点间的距离第1页，共页

米B.C.D.已知平面内的三个单位向量

则

的取值范围C.

B.D.

2−√−√二、多选题（本大题共4小题，20.0分

已知，是三个平面向量，下列叙述错误的

若||𝑏|

，则B.

若⋅

，且，C.

若，

，则D.

若⊥，|||在平面内，下列说法正确的

若复数，满足

，则一定有B.C.D.

若复数，满足，一有若复数，z为纯虚数的充要条件若复数z满|，则复数z对点的集合是以原点O为圆心，以半径的圆下叙述错误的

在正方

中，平

与平面ABCD只一个公共点B.

若三个平面两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七部分C.

若直线l

不平行于平，且，则内所有直线与l

都不平行D.

若直线c和d是面直线，直线a，，d都相交，则ab定是异面直线关函，下列说法中正确的

的最大值为2

B.

的最小正周期C.

的图象关于直对称

D.

在

,上调递增三、单空题（本大题共4小题，20.0分计|

______．第2页，共页

𝜋在中AB的边分别为aa，eq\o\ac(△,)𝐴的状是_三角形填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一．𝜋长体𝐶

的长宽高分别为2，4，且长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球的径_．已D是单位圆上四个点，且AB关原点对称，值是_．四、解答题（本大题共6小题，70.0分Ⅰ在

，

为纯虚数，

为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数

2

𝑖为数单位，为z的轭复数，若______求实数的．Ⅱ在数范围内解关于的程

2

2．已t．Ⅰ求的值；Ⅱ求

2

的．已向，Ⅰ若2，的；Ⅱ若=，向量的夹角为锐角，的值范围．第3页，共页

如三中面为直eq\o\ac(△,)，，锥的．Ⅰ求棱体积；Ⅱ求棱表面积．在中AC的边分别为ab且𝑠．Ⅰ求；Ⅱ若，eq\o\ac(△,)𝐴为锐角三角形，求的值范围．第4页，共页

Ⅱ若()𝛼8𝜋𝜋𝜋已向，=Ⅱ若()𝛼8𝜋𝜋𝜋

，函数(Ⅰ若数是偶函，的小值；，𝛼，𝛼的值；Ⅲ求数

⋅在,上最大值．4第5页，共页

答案和解析1.【答案】【解析】解：⋅𝑖𝑖在平面内对的点位于第二象限，故选：B．化简z，求出在复平面内对应的点的所在的象限即可本题考查了复数的运算，考查其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由，知是三、第四象限角或负半轴上的角，由，是二、第四象限角，是四象限角．故选：D直接由象限角及轴线角的符号结合交集运算得答案．本题考查了三角函数值的符号，是基础的会考题型．3.【答案】C【解析】解：在三角形中，，则由正弦定理𝑖𝑖

，得𝐵．若，则正弦定理𝑖𝑖

，得则，所以，是的要条件．故选：．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用用正弦定理确定边角关系是解决本题的关键．4.【答案】第6页，共页

【解析】解：直图正方形′′的长，′′√原图形为平行四边形．

．原形的周长．故选：A．根据斜二测画法画直观图的性质，即平行性不变，平行x轴线段长度不变，平行于y轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法掌握斜二测画法的特征是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：把正方体还原如下，则上面是温，下面是校，左面是州，右面是联，前面是十，后面是合，故选：．正方体的表面复原为正方体，即可判断结果．本题考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6.【答案】【解析】解：因为

，所以即

．故选：A．根据向量的数乘、平行四边形法则以及向量的加减法运算求解即可．第7页，共页

，√6本题考查了平面向量基本定理的理解与应用向量数乘平行四边形法则以及向量的加减法运算的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．，√67.【答案】【解析】解eq\o\ac(△,)𝐴，米，

5123

，所以

512

，利用正弦定理得sin𝜋sin124

，解得

√2

4

√2

，2所以计算出，点间的距离米故选：B．利用三角形内角和定理、正弦定理即可求得AB的．本题考查了三角形的内角和定理、正弦定理的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：，

，平内的三个单位向量，

，在面直角坐标中，，，22𝑛

，|

|2

(2264225sin(55．故选：D在平面直角坐标系中=𝑖出2

的坐标，利用向量模的计算公式求向量的模，再由三角函数求最值．本题考查平面向量的数量积运算，利用解析法求解是关键，是中档题．9.【答案】ABC【解析解对当=时满足||故误；对B当

，垂直且，足⋅，结论不一定成立，故B第8页，共页

，𝑏，，𝑏，对：取

，但与不一定平，故错误；对D当

时即则⋅|

⋅

|

时|

D正；故选：ABC对A举反例即可进行判断；对B当

，垂直时，满条件，但结论不一定成立；对：取，可进行判断对D：利用向量垂直性质，结合的运算即可进行判断．本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．【案【解析A满

明复数是数定满足，A正；对于B：复满，明复可是共轭复数，和不能比较大小，故B错；对于：，z纯虚数的充要条件且，错误；对于D：数z足，理得：

，复数对点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正；故选：AD直接利用复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义的应用判断、、、的论．本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．【案ABD【解析】解：对于：正方体

中，平与平面ABCD的线为经过点A且行于BD一条直线，故误；对于B：若三个平两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七或八部分，第9页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋,𝜋𝜋5𝜋,误；𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋,𝜋𝜋5𝜋,对于：线l

不平行于平，且，则直线l

必与平相交，内所有直与l

都不平行，故正确；对于D若直线c和d是异面直线，直线ab与都交，则a不定是异面直线，可能为相交直线，故D错．故选：ABD直接利用平面的性质，异面直线的定义的应用判断、、、的论．本题考查的知识要点的性质直的定义考查学生对基础知识的理解，属于基础题．12.【答案【解析】解：因为(

𝑥222

，所以是(的个周期，2故选项误；当时2sin(𝑥，24所以当时，4故选项误；

𝑚𝑎

，因为(

|222

，所以(的图象关于直故选项确；

𝜋4

对称，当

𝜋2𝜋23

时，2sin(，4因为

𝜋4

,，4所以(在

𝜋2𝜋23

上调递增，故选项D正确．故选：．利用函数周期性的定义判断选项，由一个周期内的最大值即可判断选项A，由对称轴方程满足的条件判断选项C，三角函数的单调性判断选项．本题考查了三角函数图象与性质的综合应用角函数周期性的判断单调性的判断以第10页，共16页

𝑖及对称性的判断，三角函数的最值，考查了逻推理能力与化简运算能力，属于中档题．𝑖【案】【解析】解：

𝑖)(2𝑖)𝑖

|

𝑖)𝑖)

|3𝑖|√32

2

，故答案为：5根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．【案】钝角【解析】解eq\o\ac(△,)𝐴，a：b：：8所以c为大边，为大角，设，8，，由余弦定理

222

2222×5𝑘

2

20

，因为，所以角钝角eq\o\ac(△,)𝐴为角三角．故答案为：钝角．由题意可得最大角由弦定理求得从得到角为钝角即可得解．本题主要考查了三角形中大边对大角定在解三角形中的应用问题中档题．【案】2【解析】解：因为长方体的八个点都在球O的面上，故球O的径即为长方体的体对角线，而体对角线的长√，球的径为，2故答案为：．2利用球O的直径即为长方体的体对角线求球O的径．本题考查几何体的外接球的位置关系，球的半径的求法，是基础题．第11页，共16页

𝛽𝛽𝛽𝛽【解析】解：建立平面直角坐标如图，设(，，，𝑖，，．

，𝑖

，𝑠𝑖(𝑠𝛼

𝑖

𝛽

𝛽

．当且仅

𝛽

且

𝛽

时取等号．．故答案为：．由题意画出图形，分别设出A、CD的标，写出数量积，利用三角函数的恒等变换变形，由三角函数的有界性求最值．本题考查平面向量的数量积运算化归与转化结合思想运求解能力，是中档题．【案】解：Ⅰ选，复数z的部为，

，解，或3；选，由纯虚数的概念可知，解得；选，则虚部为零，

，得，或．第12页，共16页

2𝜋，得2𝜋，得𝑡𝑎𝑛即222+2×1，所以，Ⅱ因2𝜋，得2𝜋，得𝑡𝑎𝑛即222+2×1，所以，显2

，求根公式得

𝑏±eq\o\ac(△,𝑖)eq\o\ac(△,)𝑎

𝑖

𝑖22

．【解析Ⅰ根复数的概念、共轭复数的性质，分别列出的方程求解即可；Ⅱ利求根公式，直接求解即可．本题考查复数的基本概念和运算，属于基础题．【案】解：Ⅰ由𝛼𝑡𝑎𝑛；𝛼

𝜋

𝑡𝑎𝑛4𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛4

2，Ⅱ

2

2𝑖𝑛𝑠

2

𝛼+2𝑖𝑛

2

𝛼+2𝑡𝑎𝑛

113323

．5【解析Ⅰ由知展开两角和的正切即可求𝑡的值；Ⅱ利平方关系及商的关系化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值查同角三角函数基本关系式的应用查角和的正切，是基础题．【案】解：Ⅰ−(2，

，，因为2𝑏

𝑏)

，所以2𝑏−6(2𝜆解得．Ⅱ向量的夹为锐角且不共线，+𝜇

，解得且，2即的值范围是

,．2【解析Ⅰ由量的线性运算分别求𝑏𝑏，2𝑏得2𝑏)

，得到关于的程，解方程可的；Ⅱ由意可得且不共线，由此求得的值范围．本题主要考查两个向量坐标形式的运算个向量垂直的性质两个向量的数量积的运第13页，共16页

则22eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)77eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)7算，考查则22eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)77eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)7【案】解：Ⅰ因为PC是，，，，，

⋅𝑃𝑃，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)所以三棱锥的积为；Ⅱ因是，𝐶平，平，则，理可得，又，，，，所以

3

，eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

，，在𝑡中22，在𝑡中

，，eq\o\ac(△,)，由余弦定理可知

2

，则，所以

𝐴5×，故三棱的面积为

eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

【解析Ⅰ利锥体的体积公式求解即可；Ⅱ先明，，勾股定理求解，，然后利用余弦定理求解，同角三角函数关系式求∠，别利用三角形的面积公式求解各面的面积即可．本题考查了空间几何体的表面积与体积问题，锥体体积公式的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．【案】解：Ⅰ𝑠，由弦定理得𝑐𝑠，，第14页，共16页

，即𝐵，7，即，可得𝑖，，即𝐵，7，即，可得又三角形的内角，

，又A为角形内角，

3

．Ⅱ

3

，，由弦定理可得

𝑏

𝐶

√3

4，2𝑏

4

4

𝑖

43

𝑖34

𝐵

，其中，

，7

，且

4

，为角三角形，{

3

，解得

，

，7

8

𝐵

783

𝑏

43

．𝑏

834,【解析Ⅰ根正弦定理可得𝑠，而得出𝑖𝑐𝑠，而得出cosA的，进而可求的值Ⅱ由弦定理三函数恒等变换的应用可𝑏

47

𝐵

由意可求范围

，根据正弦函数的性质即可求解其范围．本题考查了正弦定理角函数等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．【案】解：，𝑖𝑥,

，函数3Ⅰ函数