山东省青岛市黄岛区第四中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山东省青岛市黄岛区第四中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“，且”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A．

B．C．

D．参考答案：C略3.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．4.已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是(

)A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5）参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，求z得取值范围，转化为求目标函数u=2x﹣2y﹣1的取值范围，是中档题．5.己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为（）A．11π B．20π C．23π D．35π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=23π．故选：C．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，是中档题，确定球的半径是正确解题的关键．6.如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为A.

B.

C.

D.参考答案：A7.设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=(

)A．（﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．8..曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为A.

B.

C.

D.参考答案：A9.命题“”的否定为

（

）

A.

B.C.

D.参考答案：B略10.函数的值域是A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，若数列是等比数列，且，则有________也是等比数列．参考答案：12.不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：方法一：令，当时，不等式为不合题意；当时，需，解得；综上方法二：，【考点】不等式恒成立问题13.将函数图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到函数g(x)的图像，在g(x)图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A．

B．

C．

D．参考答案：A14.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

.参考答案：2试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，．考点：三视图，体积．【名师点睛】三视图问题，关键是由三视图画出几何体的直观图而且也是难点，有许多几何体可以看作是由正方体（或长方体）切割形成的，因此在画直观图时，我们可以先画出正方体（或长方体），然后在正方体（或长方体）上取点，想投影，连线，得结论（几何体直观图），这样做几何体中线面位置关系与线段长度都能明确显示，易于求解．15.复数且，则的值为_______;参考答案：解析：∵

所以.16.下列命题：①数列为递减的等差数列且，设数列的前项和为，则当时，取得最大值；②设函数，则满足关于的方程的充要条件是对任意均有；③在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为；④定义在上的函数满足且，已知，则是的充要条件.

其中正确命题的序号是

（把所有正确命题的序号都写上）.参考答案：②③④略17.已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n为正数)，若a⊥b，则的最小值是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（I）见解析；（II）.试题分析：（Ⅰ）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得为直角三角形，．又，且是的中点，可得，从而证得平面，即证得平面平面．又，平面又面平面平面．（6分）（Ⅱ）以点为坐标原点，建立如图

所示直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则有19.（本小题共14分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．参考答案：【知识点】立体几何综合【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．

∵是矩形，∴是的中点．

又是的中点，∴∥．

∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的一个法向量，

则即

令，则，

易知是平面的一个法向量，

∴，

由题意知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

（Ⅲ）假设侧棱上存在一点

()，使得平面．

则，即∴．

∴方程组无解．∴假设不成立．

∴侧棱上不存在点，使⊥平面．20.（本小题满分14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）

求a1的值；（2）

求数列{an}的通项公式．（3）

证明：对一切正整数n，有.参考答案：本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.21.已知函数，．（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）若函数的图象上存在两点关于原点对称，求的范围．参考答案：（1）当时，，………2分∵在处取得极值∴，即解得：，经验证满足题意，∴．

………5分（2）的图象上存在两点关于原点对称，即存在图象上一点，使得在的图象上则有

………8分化简得：，即关于的方程在内有解

………9分设，则∵∴当时，；当时，即在上为减函数，在上为增函数∴，且时，；时，即值域为