山东省青岛市第十二中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省青岛市第十二中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】先计算，||，再利用夹角公式cosα=，可得结论．【解答】解：设向量与向量的夹角等于α∵向量，的夹角为，且，，∴==4+2×2×1×cos=6，||===∴cosα===∵α∈[0，π]∴α=故选D．2.已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和（

）

A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C略3.已知（为锐角），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值集合是（以下k∈Z）(

) A．（2k﹣，2k+） B．（2k+，2k+） C．（4k﹣，4k+）

D．（4k+，4k+）参考答案：C考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，画出函数f（x）的图象，利用数形结合的方法找出f（x）与函数y=x+b有三个零点时b的求值．解答： 解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣，所以函数f（x）的图象如图．g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点，即函数f（x）与函数y=x+b有三个交点，当直线y=x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即=x+b有2个相等的实数根，即x2+bx﹣1=0有2个相等的实数根．由△=0求得b=，数形结合可得g（x）=f（x）﹣x﹣b有三个零点时，实数b满足﹣＜b＜，故此式要求的b的集合为（﹣，）．再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k﹣，4k+），故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．5.

函数（0<a<1）的图像大致为下图的

（

）A

B

C

D参考答案：答案：A

6.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于A． B． C． D．参考答案：B7.等比数列的前项和为，若，

，则

A.31

B.36

C.42

D.48参考答案：A【知识点】等比数列的性质．D3

解析：a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵an＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q===2，∴a1===1，∴S5==31．故选A．【思路点拨】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．8.计算的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B解法一：（推理法），排除A、D；又，排除C，选择B。

解法二：（直接法），故选择B。9.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且

椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是A．2

B．6

C．4

D．12参考答案：C根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.10.设集合(

)A．

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为__________．参考答案：12.已知数列{an}中，a1=a，an+1=3an+8n+6，若{an）为递增数列，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣7，+∞）【考点】8H：数列递推式．【分析】an+1=3an+8n+6，a1=a，可得：n=1时，a2=3a+14．n≥2时，an=3an﹣1+8n﹣2，相减可得：an+1﹣an+4=3（an﹣an﹣1+4），a=﹣9时，可得an+1﹣an+4=0，数列{an}是单调递减数列，舍去．由数列{an+1﹣an+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得an，根据{an）为递增数列，因此?n∈N*，an+1＞an都成立．解出即可得出．【解答】解：∵an+1=3an+8n+6，a1=a，∴n=1时，a2=3a1+14=3a+14．n≥2时，an=3an﹣1+8n﹣2，相减可得：an+1﹣an=3an﹣3an﹣1+8，变形为：an+1﹣an+4=3（an﹣an﹣1+4），a=﹣9时，可得an+1﹣an+4=0，则an+1﹣an=﹣4，是单调递减数列，舍去．∴数列{an+1﹣an+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．∴an+1﹣an+4=（2a+18）×3n﹣1．∴an+1﹣an=（2a+18）×3n﹣1﹣4．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2a+18）×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）﹣4（n﹣1）+a=（2a+18）×﹣4n+4+a=（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．∵{an）为递增数列，∴?n∈N*，an+1＞an都成立．∴（a+9）（3n﹣1）﹣4（n+1）+4+a＞（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．化为：a＞﹣9，∵数列{}单调递减，∴n=1时取得最大值2．∴a＞2﹣9=﹣7．即a＞﹣7．故答案为：（﹣7，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.参考答案：1略14.已知函数与的图象没有交点，那么实数a的取值范围是____．参考答案：【分析】分别在，，三种情况下画出两个函数的图象，可知当，时两函数恒有交点，不符合题意；在找到临界状态可求得结果.【详解】（1）当时，与的图象如下图所示：由图象可知，两函数图象恒有交点，不符合题意；（2）当时，与的图象如下图所示：要使得两函数图象没有交点，则：，故：（3）当时，与的图象如下图所示：由图象可知，两函数图象恒有交点，不符合题意综上可得：本题正确结果：15.已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式为____________．参考答案：设等差数列的公差为．∵，，成等比数列，，∴，即，解得或（舍去），故的通项公式为，即．16.双曲线的焦距为

__

，渐近线方程为__

．参考答案：，；17.函数的最小正周期为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点.（1）求抛物线的方程；（2），求的值.

参考答案：（1）由题意，，所以，所以抛物线（2）已知直线代入抛物线方程：，消去，，得；直线，直线；联立得又因为在抛物线上，则得得19.[极坐标与参数方程选讲] 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），圆C的极坐标方程为=1，（I）求直线与圆C的公共点的个数；（II）在平面直角坐标中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设M（为曲线上一点，求4的最大值，并求相应点M的坐标.参考答案：（Ⅰ）直线的方程为

圆的方程是圆心到直线的距离为，等于圆半径，∴直线与圆的公共点个数为；

…………………5分（Ⅱ）圆的参数方程方程是∴曲线的参数方程是∴当或时，取得最大值此时的坐标为或

………………10分20.已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：(1)∵，又，∴，故所求切线方程为即.(2)设所求两点为，，，不妨设，∵，由题意：，∵在上单调递增，∴，，又，∴，∴，解得：，(舍)，，(舍)所以，存在两点为，即为所求.21.（本题14分）已知函数，是的一个极值点．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若直线和此函数的图象相切，求的值；参考答案：略22.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，.（Ⅰ）求B和C；（Ⅱ）若，求△ABC的面积.参考答案：解：（Ⅰ）由用正弦定理得

……（1分）

∴

…………………（2分）

即

∴………（3分）

∵

∴………………（4分）