2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题

2020-2021学年天市南开区一上学期末考试数学试题一、选题：本大题10小，每小3，共30分．在每小给出的个选项中，有一个是合题目要求．1设集合U={n|n∈N*

且n，B={1则∪B中元素个数（）UA．4B．5C．6D．72．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣

πD．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，则θ在（）C．第三象限D．第四象限6．函数f（x）=logx+x的零点在区间为（）2A，1）B，2）C，3）D，4）7．若偶函数f（x）在[0∞）上单调递减，设a=f（1（log3（log30.52则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度＜α＜=（）

旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为则αA．

或B．

或C．

或D．

或

9．函数f（x）=Asinφ）的单调递减区间为[k﹣法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为π

，kπ+]∈Z则下列说B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+

+（k∈Z），0∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+

，kπ+

]（k∈Z）10．设函数f（x）=①若a≤0，则f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，则≤0；③若a≥1，则f（f（a；④若f（f（a，则a．

，则下列说法正确的是（）A．①③B．②④

C．①②③D．①③④二、填题：本大题5小题，每小分，共20）11．函数f（x）=

的定义域为．12．函数f（x）=2cosx•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ）个单位，函数g（2x﹣图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．

）14如图所示知A是单位圆上两点且|AB|=β=∠OCB，则sinαsinαcosβ=．

设AB与x轴正半轴交于点α=∠AOC，

15．设函数（x）=

，若关于方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x，x，x，且x+x+x=﹣，则a=．123123三、解题：本大题5小题，共50．解写出文说明、证明程或演过程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数的取值范围．17．已知函数f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且β=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx[﹣

，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．函数（xωx•cos（）+1（ω＞0图象上有两点，t（s+2π，t其中﹣2＜t＜2，线段与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x，x]和[x，x]单调递增，在x，x]上单调递减，且满足等式x123423

4﹣x=x﹣x=（x﹣x求、x有可能取值．3213214

2020-2021学年天市南开区一上学期末考试数学试题参答案一、选题：本大题10小，每小3，共30分．在每小给出的个选项中，有一个是合题目要求．1设集合U={n|n∈N*

且n，B={1则∁∪B中元素个数（）UA．4B．5C．6D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合∈N*

且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}结合集合并集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*

且n，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁（A∪B）={3，6，7，9}，U故∁（A∪B）共有5个元素，U故选：B．2．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣【考点】终边相同的角．

πD．π【分析】把

化成15°，再根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，即可得答案．【解答】解：由α=

+2kπ（k∈Z得与角α终边相同的角是：

，360°+15°=375°．故选：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．

【分析】直接由三角函数的诱导公式化简求值即可得答案．【解答】解：=

．故选：C．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，即可判断出奇函数的函数．【解答】解：A，y=x+sinx有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（）sin（﹣x）=xsinx=f（x偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|（﹣x）=f（x为偶函数．故选：A．5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，则θ在（）C．第三象限D．第四象限【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由两角和的正切公式化简tan（值的符号判断出θ所在的象限．【解答】解：由题意得，tanθ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．

）=，求出θ的值，结合条件和三角函数

6．函数f（x）=logx+x的零点在区间为（）2A，1）B，2）C，3）D，4）【考点】二分法的定义．【分析】判断（x）=logx+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得2出答案．【解答】解：f（x）=log﹣4，在（0，+∞）上单调递增．2∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0（3）=log3﹣1＞02∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=logx+x﹣4零点所在的区间为（2，32故选：C．7．若偶函数f（x）在[0∞）上单调递减，设a=f（1（log3（log30.52则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】（x）在（﹣∞0]上调递增，log3=0.5

＜=﹣1，log322∈（0，1求出结果．【解答】解：∵偶函数f）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log3=＜=﹣1，log3﹣1=log1.5（0，10.522a=f（1（log3（log30.52∴b＜a＜c．故选：B．8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度＜α＜=（）

旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为则α

A．

或B．

或C．

或D．

或【考点】扇形面积公式．【分析】由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosαα，得α﹣sinα）

=，进而解得cosα﹣sinα=±

，cosα+sinα=，联立解得cosα=，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得α﹣sinα2

=，可得：cosα﹣sinα=±

①，2sinαcosα=又0＜α＜

，可得：cosα=

=，②所以：由①②可得：cos

．故α=

或．故选：A．9．函数f（x）=Asinφ）的单调递减区间为[k﹣法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为π

，kπ+]∈Z则下列说

B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+【考点】正弦函数的图象．

+（k∈Z），0∈Z），kπ+]（k∈Z）【分析】由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=（﹣2x+再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，ω=2函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，

，f（﹣x）=Asinφ=

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

x=+

，﹣2x+=k

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

）≠0，故选C．10．设函数f（x）=

，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，则≤0；③若a≥1，则f（f（a；④若f（f（a，则a．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考点】分段函数的应用．【分析根据已知中函数（x=【解答】解：当a≤0时，则f（f（a

逐一分析给定四个结论的真假可得答案．=﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a=，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a（loga）∈R，0.50.5故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f，

故②④错误；故选：A二、填题：本大题5小题，每小分，共20）11．函数f（x）=

的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1）∪（0，+∞故答案为，0）∪，+∞12．函数f（x）=2cos2

x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为

．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法．【分析利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式再利用正弦函数的周期性以及最大值得出结论．【解答】解：函数f（x2

x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为故答案为：π，

=π，最大值为，13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ）个单位，函数g（2x﹣

）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为

．【考点】函数y=Asin（φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．【解答解将函数图象向左平移（φ＞0个单位得到y=sin[2（x+φ（2x+2φ）的图象，

将函数g（x）=cos（2x﹣

）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2﹣φ）﹣]=cos﹣2φ﹣

﹣（2x﹣2φ﹣（φφ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ+

+2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+当k=0时，φ=min

）．故答案为：

．14如图所示知A是单位圆上两点且|AB|=β=∠OCB，则sinαsinαcosβ=．

设AB与x轴正半轴交于点α=∠AOC，【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠OAC=﹣α，∵A，B是单位圆上两点且AB|=，∴sinαsinβ+cosαcos（β﹣α）=cos∠OAC=

=，故答案为

．15．设函数（x）=

，若关于方程f（x）﹣a=0有三个不等实根

x，x，x，且x+x+x=﹣，则a=．123123【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析图所示出函数图象妨设＜x＜xx+x=2×12312

x+x+x=123﹣，可得x，代入a3

即可得出a．【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象，不妨设x＜x＜x，则x+x12312又x+x+x=﹣，123∴x=．3∴a==．故答案为：．

=﹣3，三、解题：本大题5小题，共50．解写出文说明、证明程或演过程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【分析Ⅰ）根据题意，解2x﹣6≤2﹣2x≤1可得集合A，又由B={x|x∈A∩N}即可得集合B，进而由子集的定义可得集合B的子集；（Ⅱ）根据题意，分析可得C是A的子集，进而有：，解可得a的取值范围．【解答】解Ⅰ）对于集合A，因为2x﹣6

≤2﹣2x

≤1，则x﹣6≤﹣2x≤0，解可得：0≤x≤2．

即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，2}；故B的子集有、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]17．已知函数f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析）结论：函数f（x）为定义R的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和（﹣x）即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件求出，再由θ为第一象限角，求出，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．【解答】解Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣f（﹣x）=

）﹣sin﹣）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+∴

）=．

，由于θ为第一象限角，故

，∴cos（2θ+

）==

=．

18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解Ⅰ）∵函数（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣）2

．∴当﹣x＞0时，f（﹣x﹣（﹣x+1）2

=﹣（x﹣1）2

．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2

=（x则f（x）=（x﹣1）2

，x，则函数f（x）的解析式f）=；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，则f（m2

+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m当x＞0时，f（x）=﹣（x+12减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0当x＜0时，f（x）=（x）2

为减函数，且f（x）＞1＞f（0则函数f（x）在R上是减函数，则m2

+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣319．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且β=．

（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx[﹣上的值域相同，求m的取值范围．【考点】函数的值域．

，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x）在[0，m]【分析Ⅰ）由题意，π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2

α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）