《线性代数》电子教程4(矩阵的定义及运算)

《线性代数》

电子教案之四1主要内容第四讲

矩阵及其运算矩阵的概念；零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及他们的运算规律.基本要求理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；熟练掌握矩阵的运算及其运算规律.2一、矩阵的定义与记号第一节矩阵1.定义

由个数排成的行列的数表称为行列矩阵，简称矩阵.为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作3这个数称为矩阵的元素，简称为元，数位于矩阵的第行第列，称为矩阵的元.以数为元的矩阵可简记作或.矩阵也记作注意（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.（2）矩阵的行数和列数不一定相等.4二、小结在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是一个主要的研究对象.1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则5一、矩阵的加减法第二节矩阵的运算1.定义两个同为的矩阵相加（减）后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.特别注意只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法.6例如72.矩阵的加减法_运算规则交换律：结合律：设矩阵记称为矩阵的负矩阵.

8二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）1.定义阶矩阵与一个数相乘后得一矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作说明矩阵的负矩阵；

纯量矩阵.

9例如102.矩阵的数乘_运算规则

说明

矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的线性运算.11三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）1.概念的引入某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店5040505012这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：千克）如下售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电1820问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？13甲商店乙商店丙商店售价重量142.定义定义如下：若则其中设是一个矩阵，是一个矩阵，与的乘积是一个矩阵，记作说明：

的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和.15特别注意_乘积不可交换可乘的前提是的列数等于的行数.

乘积一般不可以交换，1）

为矩阵，但无意义；2）为和均有意义，但2阶矩阵，为3阶矩阵，不相等；3）若则称矩阵乘积可交换.16例题例5求矩阵与的乘积解析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.17例题例5求矩阵与的乘积解析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.18例题例5求矩阵与的乘积解析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.19例题例5求矩阵与的乘积解析：是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以矩阵与可以相乘.20例6求矩阵与的乘积及

解说明

此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出21３．矩阵的乘法_运算规则

或简写成

纯量矩阵与方阵的乘积说明

第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的．22４．方阵的幂定义设是阶方阵，定义说明

此定义表明，就是个连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.运算规则

特别注意

一般来说，与不相等.23方阵的多项式设称为方阵

的次多项式.为数的次多项式，记同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的：设是的两个多项式，则由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式.如24说明

当与可交换时，有类似与数的乘法公式.

与为同阶方阵：255.行矩阵与列矩阵的乘积设则26四、矩阵的转置1.定义

把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.即若则其中例如则的转置矩阵为设矩阵272.对称矩阵设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称矩阵，简称对称阵.例如对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴，对应相等.283.矩阵的转置_运算规则

29例8已知求解法1解法2

此例验证了矩阵的转置运算规则430五、方阵的行列式1.定义由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表，而行列式则是一个数.方阵与它的行列式又是紧密相关的，行列式是方阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数；同时，行列式是方阵特性的重要标志.312.由确定_运算规则

证明注意但但322.有关概念实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都指实矩阵.行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，记作列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，记作矩阵矩阵33方阵：行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵.阶矩阵也记作同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.矩阵相等：如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵与矩阵相等，记作34三、几个特殊矩阵单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用表示，即35对角矩阵：不在对角线上的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，用表示，即36零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.注意

不同型的零矩阵是不同的，例如37数量矩阵（纯量矩阵）：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用表示，