2020-2021学年北京市西城区北京四中高二上学期期中考试数学试题

2S期中考试试卷2S北京市西区北京四中2020-2021学年高二上学期中考试试（卷分100分，试间100分钟一选题11.正棱锥底面边长变为原来的2倍高变为原来的，体积（）A.不

B.变原来的C.变原来的

12

D.变原来的

『案』B『析』设正三棱锥底面面积为，高为，原来的体积为

VSh新的体积为

2ShSh

，即体积变为原来的2倍故选：2.设球半径为，P、Q是地球上两点，在纬、经，在纬、东经140°，P、

两点截北纬圈的劣弧长为（）A.

B.C.

D.

『案』A『析』如图所示：设地球北纬纬圆的圆心为，1

，rst，即E期中考试试卷，rst，即E因为P在纬30°、经，

在北纬30°、东经，所以

PCQ20

2

，

OQR在直角

OCQ

中，

，所以

R，所以北纬纬的半径为，所以

、

两点截北纬圈的劣弧长为

333

，故选：3.正20面有个点、条，个，则（）A.C.

rr

B.D.

rr『案』A『析』对于凸多面体面，面数顶点数棱，所以

tr

，故选：4.棱为2的直平行六面体

ABD1

，

BAD60

，则

AC1

与平面

1所成角的正弦值为（）1

A.

2

B.

C.

D.

『案』D『析』作

1

，垂足为，，

AE1

，

AC1

，ABA111直平行六面体，

平面

，

就是对角线

AC1

与侧面

1所角，

DE平面1，12

，aababababcac，aababababcac//aaaacbc棱长都为2的平行六面体

ABD1

中，

，E603

，

3

，

ACCE13

，在Rteq\o\ac(△,A)

1

EC

中，

AE3ACEA

．故选：．5.设、是面直线，给出下列命题：①经过直线有仅有一个平面平行于直线；②经过直线有仅有一个平面垂直于直线；③存在分别经过直线和线的两个平行平面；④存在分别经过直线和线的两个互相垂直的平面．其中错误的命题为（）A.①②

B.②③

C.②④

D.仅『案』D『析对于①，选一条直线与平行，且与相交，则由公理的推论可知，通过与有仅有一个平面，时，故①正确；对于②，若与不直，则直线不可能垂直于直线所在的平面，故②错；

a对于③，取平面与面

，且使

，若，

b

，且与不行，则

,

异面，故③正确；对于④，若、异，则存在一条直线，使得，，由、所定的平3

MM111OAOBOC期中考试试卷MM111OAOBOC面为，一定可以过直线作个平面

，使得

，故④正确故选：6.在长为的方体

BCD1

中，是

1的中点，则点

到平面

MBD

的距离是（）A.

B.

C.

D.

『案』A『析』以D空间直角坐标原点，

,DC,DD1

分别为

,y,

轴建立空间直角坐标.由于是

1中，故

Ma

，且

A,0M0,0,2

，设

z

是平面BDM的法向量

1n2n

可，故

平面

BDM

的距离

Mdn

10,0,26

6a6

.故选A.7.在两垂直且交于一点的三条直线上各取不是交点的一点，以它们为顶点构成的三角形是（）A.锐三角形C.钝三角形

B.直三角形D.以情况皆有可能『案』A『析』如图所示，设，，两两垂直且相交于一点，4

ABCEFEFAMABCEFEFAMAB设OA，OC，则

，

b

，

a

，则

BC2

，则角为锐角，同理可证故选：

,CBA

为锐角，则为锐角三角形8.

、是三角形的、的点把正三角形折成60°的二面如图的切值为（）3

A.

B.

C.D.以答案均不对『案』B『析』如图所示，取BC的点，连接'M，交EF于N，连接，，，.5

则，ANEF，所以为边三角形ABCa则，ANEF，所以为边三角形ABCaABADOO因为三角形为三角形，则

A'BC

，又点、F是的边、AC的中点，MN'NEF

，所以，可证得EF面，则

EFAM，以AMBC.所以二面角

的平面角为

，'AMN而设等边三角形的长为，

AMAN2

，所以

AM3tanABCBM

.故选：9.三锥ABC中PA、、PC两互相垂直，（）A.有大值B.有小值2C.有大值2D.既最大值也无最小值

PB

，，则其体积『案』C『析』因为三棱锥P中PA、PC两互相垂直，所以

V

1PA因为

PAPB2

，所以

PA

，当且仅当故选：

PA

时等号成立，所以，10.长体

ABD1

中，，

此方体内接于球，则球的面积为（）A.

2

B.

2

C.

50

D.

2006

ACMACBABCD在上点在上MNACMACBABCD在上点在上MNMN『案』C『析』

长方体

BCD1

中，，AD，

1

，

长方体的对角线

AB3

，长方体

AC111

的各顶点都在同一球面上，

AC球的一条直径为1，得半径

2

，因此，该球的表面积为

52

)50

，故选：．11.平行六面体

ABD1

的六个面都是菱形，那么点

1在

上的射影一定是

1（）A.重B.垂C.内D.外『案』B『析』设点

1在面

D中的射影为点，接11DM则

面

，可得

AC1

，AC/AC该平行六面体各个表面都是菱形，，

BAC111AC

BDBM，所以平面1，

，同理可证

AMC

，

CMAB

，点是1的心，故选：．12.如图，正四面体中点

AMCNMABND

，

，与成为与成为设

f

，当

时，

f

是（）7

MBFDNDEBMENF△ABDBDMBFDNDEBMENF△ABDBDBDCOAOAOCCOAOC//AC//FNENA.单增函数C.先调递增后单调递减

B.单减函数D.常数『案』D『析』如图所示，过点M作//，交于点，过点作NE//，BC于点E，AMAFMF则，，可得出，即四边形是平行四边形.MNF

，

MNE

，所以

f

.取的中点，连接OA,OC，由正四面体的特点可知，为等边三角形，所以，，又

CO

，且平面，平面，所以BD面AOC，BDAC，又，，以，所以

f

.故当

时，

f

是常函数故选：8

ABFC面，期中考试试卷ABFC面，二填题13.正形与方形ABEF有共边，面ABCD与面所角为60°，则异面直线与所角大小等_．『案』45°『析』

面

ABCD

面，且

BCBE

，AB连接，如图所示，则

BCEF

，又

EF/AB

，则EF面，

EF

，即是腰直角三角形，

CFE45

，则异面直线与FC所成角大小等于故答案为：.14.若ABC的边长分别是、、，平面ABC外点P到三距离都是2则点P到面ABC的离是．『案』

『析』如图，点在面上的垂足O，PE、PF、PD分是顶点P到角形各边的距离，9

ABCABCx到平面的离为aABCABCx到平面的离为aaa由三垂线定理的逆定理可知，OE、OF、OD分是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以

OEOFOD，OD

，因为的边长分别是3、、5，所以是角三角形，

2

，由面积相等可以得出：

12

34

113x5222

，解得，故答案为：

P.

ABC22

3

，15.一球的外切正方体的全面积是，则此球体积_．『案』

『析』设正方体的棱长为

a)

，正方体的全面积为6，所以

6a

，所以该正方体的内切球的半径

r

13，因此正方体内切球的体积为.故答案为：.16.设、是线，、、为平面，有如下命题：①

，

//

；②内不共线三点到

距离相等，则

；③a，，a//，

b//

；④若、异，，

b

且

//

，，

；其中正确命题的序号_．10

aaM//bABADBC『案』④『析』①，正方体一个顶点相邻的三个平面，满足两个平面垂直第三个平面，但是这两个平面不平行，故错误；②中两平面相交时也可以一个平面找到不共线的三点到另一个平面的距离相等错误；③中，直线a，b，ab//，若两直线平行，两平面也可相交，故错误；④中图示，、异，，

，

//

直a的面与

的交线

，且必然与相，设交于，理，由知，过直线的平面与的线

，且必然与相，设交于P，此

，

a//

，且

b

a

，均在内故.故正确故答案为：.三解题17.已线段面，B为足，BCCD且CD与面角CD

．求：（）面直线与间距离；（）、两点间的距离．『解）面，∴，又，是面直线与的垂线段，11

CDDDOOOCOCCDDDOOOCOCDCODC中，矩形中，，∴中//PCDMNBC由题，以与间的距离为．（）作于，接，∴是在平面内射影，由CD，CO，且是与所成角，由题知

DCO

，又连接，过D作DE//交AB于，由OB，，DEABRt△DCODODC

，

3

．Rt△BCO

中，

BO

7

．DE

，Rt△

AE2222

．18.已四边形ABCD是形，PD面，NPB点，M是点，二面角

PBC

大小是．求证）平面；（）；（）面平．12

NEDEABCDDEMNNEDEABCDDEMNBC⊥PDC∴是面角的平面角，△DEPCDEMNPCMNMNBPBCAMC『解）中，，．∵、N是中点，是形，∴

NE//DM//BC

且

NEDMBC

，∴四边形是平行四边，∵MN面PCD，DE面PCD，∴//平PCD（）ABCD，PDBC∵是形，∴，∵

DCD

，∴BC面PDC，∵PDC，DE，∵，∴．（）面，PCDPBCPCD45

，∴是腰直角三角形，，∵，∴，∵MN，BCPC，PBC，∵面，平面平面．19.已正三棱柱底面边长为，是上一点，1是以为直角顶点的等腰直角三角形．13

MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112（）明是中；（）点到面

1

距离；（）二面角

AC1

大小．『解）

AMC

为直角顶点的等腰直角三角形，∴

AMMC1

，∵

ABC1是三棱柱，∴

CC

面，

CCAM1

，∵

MCCC11，

AM

面1，∴AMBC∵是正三角形，∴是中．BBCC（）面1，面

1，∴面

1

面

BBCC11，如图所示：作

CDMC1，

D

为垂足，则为求距离，∵ABa，∴

a2AMMCaCCa，，，aCDa6∴．（）图所示：作

AC1，

E

为垂足，连，14

6Rt△CDEO1:DCACOD6Rt△CDEO1:DCACODCD2OAC由三垂线定理知

CEAC1，

DEC

为所求二面角．在

△C1

中，

a2

，

C11

a3

，6a2a∴在中，∴二面角

AC1

的大小为45°四、附加题20.如，球的面