2020-2021学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷

学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小）.．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合与B的系如图所示，则集合可是（）A{2，45}B．{125}C．{1，6}D．{13}．若px（0，∞，+≥2，则￢p为）AC．

B．D．．下列函数中，是奇函数且在区间，∞上单调递减的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3．某校高一年级有180名男生，150名生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式高一年级生中抽取若干人进行访谈在生中抽取了30，则在男生中抽取了（）A18

B人

C．45

D．60．已知，b，cR，且＞，则下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a＞cD﹣＜c﹣从字34随机取两个不同的数别为和y则为数的概率）A

B

C．

D．．已知函数

，下列区间中含有f（x）的零点的是（）A（10）

B（0，1

C．（1）

D．2，3）．已知函数f（x）＝x﹣2ax，则“a”是“函数f）在区间，∞）上单调递增”的（）A充分不必要条件C．要条件

B．要不充分条件D．不分也不必要条件

a21112a21112．对任意的正实数，，不等式A（，4]B．（，2]

恒成立，则实数m取值范围是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]10物研究者在研究某种植物1～年的植株高度时得到的数据用如图直观表示要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在～5年的生长律列函数模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0二、填空题（共5小）.11不等式2x＜0的集为．12某超市对个时间段内使用A两移动支付方式的次数用茎图作了统计，如图所示．使用支付方式A的数的极差为若用支付方式B的数的中位数为17，则m．13已知＝log，＝2，c＝（），则，b，c的小关系是结）14函数f（x）的定义域为D给出下列两个条件：对，xD当≠x时，总有fx）（）f）在定义域内不是单调函数．请写出一个同时满足条件的函数f），则（x）＝．

.用“＜”连

UU15已知函数

给出下列四个结论：存实数，使函数f（）为奇函数；对意实数，函数f（）既无最大值也无最小值；对意实数和k，函数y＝f（）总存在零点；对任意给定的正实数，存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递减．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共4小，共40.解答应写出文字说明，证明过程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．17（分）已知函数．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（）在区间0+∞）上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．18（分某上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年该商城已售出的甲种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如表：型号首次出现

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的时间x（年）硬盘数（个）

22假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立．（Ⅰ）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首

次出现故障发生在保修期的第年即2≤）的概率．19（分函数f（）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的D，总有f）﹣f（﹣x）≤，则称函数f（）具有性质P（）．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（），并说明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）为二次函数，若存在实数，使得函数f（x）具有性质P（k）．求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）已知a＞0k为定的正实数若函数求取值范围．

具有性质P（k），

参考答案一、选择题（共10小）.．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合与B的系如图所示，则集合可是（）A{2，45}

B{1，25}C．{1，6}D．{13}解：由图可知B，而{13}{1，2，3}．故选：D．若px（0，∞，+≥2，则￢p为）AC．解：因为px（，+∞），x+≥，

B．D．所以￢p为故选：A．

．．下列函数中，是奇函数且在区间，∞上单调递减的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3解：A．函数为偶数，不满足条件．B．函数的定义域[，∞），为非奇非偶函数，不满足条件．C．数为奇函数，且当＞，＝为减函数，满足条件．D．数奇函数，当0时增函数，不满足条件．故选：C．．某校高一年级有180名男生，150名生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式高一年级生中抽取若干人进行访谈在生中抽取了30，

则在男生中抽取了（）A18B人解：由题意计算抽样比例为

＝，

C．45

D．60所以应抽取高一男生为×＝36人）．故选：B．．已知，b，cR，且＞，则下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a＞cD﹣＜c﹣解：由，b，，且a＞b取＝，b﹣，＝，则选项ABC误．由＞b，得﹣＜﹣，∴c﹣＜c﹣b成立故D正．故选：D从字34随机取两个不同的数别为和y则为数的概率）A

B

C．

D．解：从数字2，34，6中机取两个不同的，分别记为x和y，基本事件总数＝＝12，其中为整数包含的基本事件（，）有：42，（，2，，3，共3个，则为数的概率是＝＝故选：B．

＝．．已知函数

，下列区间中含有f（x）的零点的是（）A（10）解：因为函数所以

B（0，1，，

C．（1）

D．2，3），所以f（1f2）＜0根据函数零点的判定定理可得，函数f）在区间（1，2）上有零点．故选：C．．已知函数f（x）＝x﹣2ax，则“a”是“函数f）在区间，∞）上单调递增”

aa的（）A充分不必要条件C．要条件

B．要不充分条件D．不分也不必要条件解：f（x）＝x2ax＝（x﹣a）﹣，开口向上，对称轴为x＝，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则a，“a0”能推出“函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增”，但“函数f（x）在区间0+）上单调递增”不能推出a＜，a有能等于，故“＜0是“函数f（x）在区间（0，∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．．对任意的正实数，，不等式＝A（，4]B．（，2]解：由题设可得≤

+4

，

恒成立，则实数m取值范围是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]又

+4

≥2

＝4当且仅当x＝4y时“＝“，∴≤，故选：C．10物研究者在研究某种植物1～年的植株高度时得到的数据用如图直观表示要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在～5年的生长律列函数模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0解：由函数图象可知函数单调递增，但是趋于平缓，

22选项：（，1），则它在（，+∞）递减，（，∞，它在0，∞上递增且递增速率变大，故A误，选项：（，1），则它在（，+∞）递减，（，∞，它在0，∞上递增且递增速率变小B正，选项C：当＞0时在0，∞）递减，错，选项：＞0时它口向下，不符合已知D错，故选：B．二、填空题：本大题共5小，每小题分，共分把答案填在题中横线11不等式2

﹣3＜的集为（，）．解：不等式x﹣3x＜0化x（x﹣）＜0解得＜x＜3，∴不等式的解集为（，）．故答案为：，3．12某超市对个时间段内使用A两移动支付方式的次数用茎图作了统计，如图所示．使用支付方式A次数的极差为；使用支付方式B的数的中位数为，则m．解：由茎叶图可知，使用支付方式A的数的极差为﹣2；因为使用支付方式B次数的中位数是17，所以m，所以

，解得m．故答案为：23；．13已知alog，b，c＝（

，则a，c的大小关系是＜c＜b.用“＜”连结）解：∵，＜，

11121112∵∵

，∴b，，∴，∴a＜b，故答案为：a＜c＜．14函数f（x）的定义域为D给出下列两个条件：对，xD当≠x时，总有fx）（）f）在定义域内不是单调函数．请写出一个同时满足条件的函数f），则（x）＝（案不唯一）．解：结合已知可寻求函数在定义域内不单调，但是在定义域内的一个区间上单调，结合反比例函数性质可知f（）＝符要求．故答案为：（）＝（案不唯一）．15已知函数

给出下列四个结论：存实数，使函数f（）为奇函数；对意实数，函数f（）既无最大值也无最小值；对意实数和k，函数y＝f（）总存在零点；对任意给定的正实数，存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递减．其中所有正确结论的序号是．解：由函数f（x）的解析式可得象如图：

UUU111UUU111212a时函数f（）奇函数，故正；由象可知对于任意的实数，函数f（）无最值，正；当＝﹣3＝8时函数y＝（x）没有零点，故错；由象可知，当＞时函数fx）在（﹣1，m）上单调递减，故正．故答案为：．三、解答题：本大题共4小，共40.解答应写出文字说明，证明过程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．解：不等式﹣1|＜2的为＜x＜3故A{﹣1＜3}，（Ⅰ）A∩B＝{﹣＜x＜3}∩{＜x＜5}＝{x＜x3}．（Ⅱ）＝{≤﹣1或x≥3}，∴（）∪B＝{x≤﹣或x＞0}17（分）已知函数．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（）在区间0+∞）上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．解：（Ⅰ）证明：任取，（0+∞），且x＜x，则∵x，（0∞），且x＜，

＝，

12121212∴

，∴（x）fx）．即fx）f（）函数f）在区间（，∞）上单调递增；（Ⅱ）根据题意，对于f（2

+1

）＞f（4x

），有

＞0，

x＞，而函数f（x）在区间（0+）上单调递增，则有

x

＞4

x，即

＜1解可得x＜1．不等式的解集为（﹣∞，1．18（分某上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年该商城已售出的甲种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如表：型号首次出现

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的时间x（年）硬盘数（个）

22假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立．（Ⅰ）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第年即2≤）的概率．解（）在图表中甲品牌的50个本中，首次出现故障发生在保修期内的频率为

，即．设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件．利用频率估计概率，得．

所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，估计其首次出现故障发生在保修期内的概率为．（Ⅱ在表中甲品牌的个样本中首出现故障发生在保修第3年频率为即．

，在图表中乙品牌的个本中，首次出现故障发生保修期第3的频率为

．设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件，利用频率估计概率，得，，所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个，估计保修期内恰有一个首次出现故障的概率为．19（分函数f（）的定义域为D，若存在正实数k，对任意的D，总有f）﹣f（﹣x）≤，则称函数f（）具有性质P（）．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（），并说明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）为二次函数，若存在实数，使得函数f（x）具有性质P（k）．求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）已知a＞0k为定的正实数若函数

具有性质P（k），求取值范围．【解答】（Ⅰ）解：对，对于任意实数x，可f（）﹣f﹣＝|2021﹣2021|＝＜1所以f（x）具有性质（）；

00020002对于，于任意实x，可得g）﹣g﹣）＝|x﹣（﹣x）＝|2．易知，只需取x＝1，则可得（1﹣（﹣1）＝＞1所以（x）不具有性质（1）．（Ⅱ）证明：设二次函数f（）＝++（a0）满足性质（）．则对于任意实数x，满足f（）﹣（﹣x）＝

+bx+﹣（2+bx+）＝|2|≤k．若≠0，则可取，有f