山东省青岛市第二十二中学高三数学理测试题含解析

山东省青岛市第二十二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数，则它的共轭复数等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知集合（其中为虚数单位），，，则复数的共轭复数为

A．

B．

C．

D．参考答案：D

【知识点】复数的基本概念；并集及其运算．L4解析：由，可得，即得，，的共轭复数为,故选．【思路点拨】根据集合关系求出z的值即可得到结论．3.已知是等差数列，则该数列前10项和（

）A.100

B.64

C.110

D.120参考答案：A4.某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是

(A)93

(B)92(C)91

(D)90参考答案：B略5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （A）

（B） （C）

（D）参考答案：B考点：算法和程序框图是，否；

否，否；是，是，

输出的值是3．

故答案为：B6.函数，的图象可能是下列图象中的(

）参考答案：C7.曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为(

)A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8.设，满足约束条件，则的最小值是（

）A．0

B．-1

C．-2

D．-3参考答案：C9.设p：y＝cx(c＞0)是R上的单调递减函数；q：函数g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R.如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则c的取值范围是()A. B.C.∪[1，＋∞)

D.参考答案：A略10.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，则b的值为（）A．6 B．26 C． D．参考答案：D【考点】余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，∴S=acsinB==3．∴a=6．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+2﹣12×=26．∴b=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,则满足的实数的取值范围是

参考答案：由可知，则或可得答案.12.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）都成立，则Sn=_________．参考答案：13.已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为

．参考答案：14.函数在内单调递减，则实数a的范围为

▲

．参考答案：【答案解析】解析：解：因为函数的导数为，所以.【思路点拨】导数与函数的单调性之间的关系，根据函数的导数，我们直接确定a的取值范围.15.在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为

．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．16.

参考答案：

答案：解析：表示所围成图形的面积。由得，故表示的曲线是圆心为，半径为的上半圆，故所求的定积分＝.17.已知，则的最大值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数（1）求函数的最小正周期；（2）记的内角A、B、C的对边分别为，若且，求角B的值.参考答案：19.（本小题满分14分）已知函数，（）.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↘

↗

↘.……2分

当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↗

↘

↗

.……4分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.……5分

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.

所以时，.因为，所以，令，得.…………7分①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因，对任意，总有.…10分②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.

…14分20.（本小题满分13分）已知函数，函数，其中．（Ⅰ）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：求导，得，，．

………………2分由题意，得切线l的斜率，即，解得．……………3分又切点坐标为，所以切线l的方程为．

………………4分（Ⅱ）解：设函数，．

………………5分“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．求导，得.

………………6分①当时，由，得，所以在单调递增．又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．

………………8分②当时，

当变化时，与的变化情况如下表所示：0↘

↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故有且仅有一个零点，符合题意．

………………10分③当时，令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：0↘

↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，．

………………11分因为，，且在上单调递增，所以.又因为存在，，所以存在使得， 所以函数存在两个零点，1，与题意不符.综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或.

………………13分

21.(本小题满分15分)已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点。

（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y－4=0与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求的最小值及此时点P的坐标。参考答案：(Ⅰ)由题设知，圆C的方程为，化简得，当y=0时，x=0或2t，则；当x=0时，y=0或，则，∴为定值。

……………5分（II）∵，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率，∴t=2或t=－2

……………7分∴圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴圆C的方程为或，由于当圆方程为时，直线2x+y－4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去。∴圆C的方程为

……………10分（Ⅲ）点B(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为，则，又到圆上点Q的最短距离为。

……………13分所以的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点P的坐标为

……………15分22.（本题满分14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD