(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷

一、选题1．已知台机器中有

台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出

台故障机器为止若检测一台机器的费用为00元，所需检费的均值为（）A．

B．元

C．

元

．元2．设随机变量服从正态分布

N

，则

（）（附：若

~

，则

0.6826

，(

）A．

0.0456

B．

C．

．0.31743．随机变量X的分布列如表所示，若

(X

13

，则

(3X2)

（）

01P

16

A．

B．

C．D．4．已知随机变量的分布列如表，则的准差为（）

35P

0.4

xA．

B．3.2

C．

．5．某闯关游戏规则如下在办方预设的个题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个题就闯关成功的概率等于（）A．0.064

B．C．D．6．设

0x

12

，随机变量分列如下：

P

0.5

x

x2mx2m1则当在大时（）A．C．

E

减小减小

B．．

EE

增大增大7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为率是（）

，那么播下4粒子恰有粒芽概A．

16625

B．

96625

C．

192625

．

2566258．设一随机试验的结果只有和A

,且发的概率为，随机变量生生

，则

D(

（）A．B．．

)4mm

C．

(19．有10件产品，其中件次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则(X2)等于A．

715

B．

815C．

1415

．10．知随机变量X的布为＝＝

i2

＝，＜等()A．

910

B．

C．

．

1211．知随机变量XN，若P<)＝，则(a≤<4－等于)A．B．0.68．．0.6412．知随机变量X的布为则＋＝)A．B．21.2．．二、填题13．知5台机器中有台在故障，现需要过逐台检测直至区分出2台障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元则所需检测费的均值___________14．王做某个试验，成功概率为

23

1，失败的概率为，成功一次得2分失败一次得3

43,01243,0121分求100次独立重复验的总得分的期______.15．随机变量

X方差

____________.16．、乙两人投篮命中的率分别为p,q,他各投2次若p=

12

,且比乙投中次数多的概率为

736

,则的____.．已知随机变量

~

)

，且

P(0.1

，

P

，则P(0

2)

_______.18．动员参加射击比每射击4次每射一发比赛规:全中得分只中一弹得15分中两弹得40分中弹得65分中四弹得100分已某一运动员每一次射击的命中率为

35

,则的得分期望_____.19．ξ为机变量，从棱长为1的方体的条棱中任取两条，当两条棱相交时＝0；当两条棱平行时，的为两条棱之间的距离；当两条棱异面时＝，则随机变量ξ的分布列为_______．π20．出下列命题：函数x

的一个对称中心为

5

；若题:

“

R2

”，命题的定为：Rx

”；设机变量

~(np，(，p(

；函

y2x

的图象向左平移

个单位长度，得到

πysin2x4

的图象其正确命题的序号_____________（把你认为正确的序号都填上.三、解题21．来国内一些互联网公为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行

工作制，即工作日早9点班，晚上21

点下班，中午和傍晚最多休息

小时，总计工作小以，并且一周工作天工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行

工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部1

名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别（单位：百元）

频数（人数）

250

450

8

．．．．（）所得样本的中位数（精确到百元）；（）据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴服正态分布51,15，该集团共有员工

，试估计有多少员工期待加班补贴在

元以上；（）知样本数据中期望补贴数额在

8

名员工中有

5

名男性，

3

名女性，现选其中望．

3

名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为，Y的布和数学期附：若

X~N

，则

，P

．22．了解某市高三学生身情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布

180

.（）从该市三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间（）从该市三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区人数为，随机变量的分布列和均值

E

.23．知从地地有两条道路可以到达，走道准点到达的概率为

34

，不准点到达的概率为

；走道路准到的概率为，不准点到达的概率为

()

.若乙两车走道路，车由于其他原因走道②且三辆车是否准点到达相互之间没有影.（）三辆车恰有一辆车没有准点到达的概率为

716

，求走道路准点到达的概率；（）（）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布和数学期.24．单位选派甲乙丙人组队参加知识竞赛，乙丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是

34

1，甲丙两人都答错的概率是，丙人都答对的概率是，12规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（）该单位表队答对此题的概率；（）次竞赛定每队都要回答10道必答题，每道题答对得分答错得

分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值精到1分．25．社团现有名女生，5名生，其中3名生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同的班.现随机选名学生参加活动（）求“选的3名生中，至多有2名自同一班级的率；（）选出的名学生中女生的人数为随机变量，求的分布列

．．．．．．．ap．．．．．．．ap26．班同学在假期进行社实践活动，对

岁的人群随机抽取人进行了一次当前投资生活方式—房地产投”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频分直方图：（），，的；（）年龄在

40

岁的房产投资人中采取分层抽样抽取人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名表中年龄在

40

岁的人数为，X的分布列和期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】设检测机器所需检测费为X则X的可能取值为2000，，别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均.【详解】设检测机器所需检测费为X则X的可能取值为1600，，21(1600)510

，231(X54310

，(

1310105

，则

(X)

131010

.故选：

【点睛】本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题2．B解析：【分析】由随机变量符正态分布

N

，得，，所求

6)

，即为(

，根据3原，以及正态曲线的对称性即可求.【详解】因为随机变量符正态分布

N

，则，，所以

(

，由

，

，以及正态曲线的对称性，可知

P

0.3413

，0.4772

，则

6)0.47720.1359

.故选：【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量和的用，3．C解析：【分析】

原则，属于中档题.由

(X)

13

，利用随机变量X的布列列出方程组，求出

a

11，32

，由此能求出()

，再由

DX

，能求出结果．【详解】E()

由随机变量X的分布列得：1，得，11b1))329(3X2)()故选：．【点睛】

，

2x0,2x22x0,2x2本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．D解析：【分析】由分布列的性质求得x，用方差的计算公式可求得【详解】

，进而得到标准.由分布列的性质得：0.1

，解得：

x0.5

，

，

，

的标准差为

D

3.56

.故选：.【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应.5．B解析：【分析】根据题意得到第2个题不正确，第3、个题正确，计算概率得到答.【详解】选手恰好回答了4个题就闯关成功，则第2个问题不正确，第3、个题正确.故

p0.60.40.60.60.40.60.6

.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的应用能.6．B解析：【分析】分别计算【详解】

E

的表达式，再判断单调性E

x

,当在

1

内增大时

E

增大

x0.5

(0.5)0.52

(0.52)

x

2

，当在

内增大,

D

增大

故答案选【点睛】本题考查了

的计算，函数的单调性，属于综合题.7．B解析：【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒芽即次独立重复事件恰好发生2次由n次立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，4196()()25625故选．8．C解析：【分析】根据随机试验的结果只有A和A，（），得随机变量变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果．【详解】由意知一随机验的结果只有和A，发生且（），机变量X发生X服从两点分布，

生生

，得到随机EX=

)2

,（）故选．【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．9．C解析：【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X取，，，服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，C7即P(X＝＝，＝＝，P(X＝＝，C15CC

于是P(X<2)＝＝＋＝＝

714151515故选【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．10．解析：【分析】由题意可得

12

，即可求出a的值，再利用互斥事件概率的加法公式可得P【详解】

，据此计算即可得到答案

i2

，

12

解得

a则

P

P

1010故选B【点睛】本题是一道关于求概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列，属于基础题．11．解析：【解析】如图，由正态曲线的对称性可得

()P()

.故选C.12．解析：【解析】由题意知，＋3×0.4＝∴＋8)6E(X)＋＋＝21.2.选B.二、填题

13．3500【分析】设检测机器所需检测费为则的可能取值为200030004000分别求出相应的概率由此能求出所需检测费的均值【详解】设检测的机器的台数为则的所有可能取值为234所以所需的检测费用的均值为解析：【分析】设检测机器所需检测费为X则X的能取值2000,3000,4000,分求出相应的概率由能求出所需检测费的均值【详解】设检测的机器的台数为,则的有可能取值为2，，4.P(X

A2AC1A3,(3000)232,P4000)A255所以所需的检测费用的均值为

E

1300040003500105

.故答案:3500.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和均,查学生分析问题的能力难一.14．100【分析】计算得到答案【详解】设一次实验得分为根据题意：故100次独立重复试验的总得分的期望为故答案为：【点睛】本题考查了数学期望意在考查学生的计算能力和应用能力解析：【分析】计算

213

，得到答案【详解】设一次实验得分为，据题意：

213

，故100次立重复试验的总得分的期望为100E

.故答案为：100.【点睛】本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能.15．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可9解析：16【分析】利用方差公式

，即可得出答案．

【详解】结合方差

1416

．【点睛】本题考查了方差计算公式，记住

，即可．16．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:投中1次乙投中0次;甲投解析：

23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形甲投中1次乙投中0次投中2次乙中1次0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解.【详解】甲比乙投中次数多的可能情形甲中1次乙投中次投中2次乙中1次0次由题意得p(1-p)·(1-q)

22[(1-q)

+q(1-q)]=,解q=或(舍.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形甲中次乙投中0次甲中,乙中次或次再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能.17．【解析】【分析】利用随机变量关于对称结合已知求出结果【详解】随机变量满足图象关于对称则故答案为【点睛】本题考查了正态分布由正态分布的对称性即可计算出结果解析0.5【解析】【分析】利用随机变量

对称，结合已知求出结果【详解】随机变量满足

~图关于x

对称

则

P

P

故答案为【点睛】

0.5

4342443424442本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果18．【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：【解析】分析：由次立重复试验的概公式计算出射中0，12，，次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为,得数为η则Pξ=4)0.1296,P(3)

=0.3456,P(2)

2

=0.3456,3P(1)1·5

3

=0.1536,P(0)=.0256.由题意可知P(η=Pξ),所以E(η10001296534540×0.3456150.153+×0.025=点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中次是次立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．19．01P

【分析】正方体的条棱中任取两条共有种情况若两条棱相交则交点必在正方体的顶点处过任意一个顶点的棱有条共有对相交棱若两条棱平行则它们的距离为1或而距离为的共有6对ξ的可解析：ξ

01

611

【分析】正方体的12条棱中任取两条共有C种况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点12处，过任意一个顶点的棱有条，共有8

对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为或2，距离为2的有6对ξ的能取值为0，，2，别求出其概率即.【详解】

232232ξ的能取值为，，

.若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有条，所以4P(ξ＝＝＝，C21112若两条棱平行，则它们的距离为1或2，而距离为的有6对61)＝＝，则Pξ＝2C1112P(ξ＝＝－(ξ＝0)P(＝所以随机变量ξ的布列为：

)＝－

46－＝，111111ξ

01

2

611

故答案为：ξ

01

2

411

611

【点睛】20．③分析】求出判断利用存在量词命题否定形式判断项分布的期望与方差判断③三角函数图象变换判断④详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；若命题：则命题的否定为：；所以不正确；设随机变解析：③【分析】求出f(

512

)

判断，用存在量词命题否定形式判②二项分布的期望与方差判断；角函数图象变换判④．【详解】解：

5f(

，

函数

f()4cos(2x

3

)

的一个对称中心为

，故正确；②若题：

R，x2，命题的定为“

R，x2x”；所以不确；③设机变量

~(n，

)，D(

)

，

xxxx可得，np(1p)，得

12

，

则

1；以24正确；④函

ysin2x

的图象向左平移

4

个单位长度，得到

ysin2()4

，不是ysin(2

)

的图象，所以不确；故答案为：③．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查定，期望与方差的求法，属于中档题．三、解题

型函数的图象和性质，命题的否21．）

（百元）；（）计有91

名员工期待加班补贴在

元以上；（）布列见解析，

E

98

.【分析】（）样本的中位数为，据频率分布表中的数据可得出关于的式，进而可求得x

的值；（）题意可得、的，可计算得出

，将所得概率乘以可得结果；（）题意可知，随机变量的能取值有、1

、2

、

，利用超几何分布的概率公式可求得随机变量在同取值下的概率进而可得出随机变量的分布列，并利用数学期望公式可计算出随机变量Y的学望.【详解】（）中位数为，

4500.5

，解得x51，此，所得样本的中位数为1百元）；（）

，15，

81

，加班补贴在

8

元以上的概率为：8100

P

12

，

4000

，因此，估计有

91

名员工期待加班补贴在

8

元以上；（）题意可知，随机变量的能取值有、1

、2，

C55，YC8

CC35C8

，

C3，Y3CC58

.的分布列为：

123PE

1552828515159288

．

1556

156【点睛】本题考查中位数、离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查概率的求法，考查频数分布表、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．1）（）见析【分析】（）据正态布曲线的对称性和条件先求出得值.

，可求然后（）求出

P

，从而得到从项分布

B

，得出分布列和期望【详解】（）全市高学生身高X服

，

，得

X1700.3

.因为

，所以

X1800.17

.故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间的概率为

.（）为

X160170

0.30.6

，

服从二项分布

B

，所以

，

，

，所以分布列为

.

2222

013P

所以

.【点睛】本题考查利用正态分布求概率和二项分布问题，将实际问题转化为二项分布问题时本题的难点，属于中档.23．1）

713（）解，16【分析】（）辆车中有一辆车没有准点到达包含两种情况：甲乙中有一辆没有准点到达或丙没有准点到达，由相互独立事件同时发生的概率公式列出关于的程，解方程即可得结果；（）三辆车准点到达车辆的辆数为，则可的取值为0，2，，由题写出变量的分布列，算出数学期.【详解】1解：（）已条件得p(1p，解得

p

23

；（）可的值为，，，3，1448

，

211)436

，(

C

313144316

，P(

3323)443

，

的分布列为012P

148

716

38所以

E

117348

.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了相互独立事件同时发生的概率，

考查了学生的运算求解能.24．1）

（）【分析】（）据已知件列方程组解得甲、乙、丙答对的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果；（）X为该单位代表队必答答对的道数为必答题的得分，则

X~B10,

，Y30

，根据二项分布的期望公式以及期望的性质可得结.【详解】（）甲乙丙别答对此题为事件A，，，由已知，得

P()

34

，

()][1(C)]

112

，(C)

21．又P()()(B)348

．该位代表队答此题的概率为：32()][1(B(C)]