三角函数的图象与性质2

要点梳理1.周期函数

(1)周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都有___________,那么函数f(x)

就叫做周期函数._________叫做这个函数的周期.§3.4

三角函数的图象与性质基础知识自主学习f(x+T)=f(x)非零常数T(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________,那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.

如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx)的周期是多少？函数y=f(ωx)的周期是而不是最小的正数最小正数思考提示2.三角函数的图象和性质

y=sinxy=cos

xy=tanx定义域______图象值域___________________奇偶性________________________函数性质RR[-1,1][-1,1]R奇函数奇函数偶函数对称性对称轴:;对称中心:对称轴:;对称中心:对称中心:周期___________________单调性单调增区间

;单调减区间单调增区间

;单调减区间单调增区间基础自测1.(2010·泰州模拟)函数y=cos4x的最小正周期是____.

解析利用公式2.函数的单调增区间为

________________________.

解析

解析答案

(1)>(2)<4.设函数f(x)=A+Bsinx,若B<0时,f(x)的最大值是最小值是则A=____,B=____.

解析根据题意,-1【例1】求下列函数的定义域:

本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零,然后利用函数的图象或三角函数线求解.典型例题深度剖析分析解

(1)要使原函数有意义,必须有由图知,原函数的定义域为(2)要使函数有意义∴函数定义域是{x|0<x<或π≤x≤4}.解方法一利用三角函数线,如图MN为正弦线,OM为余弦线,要使sinx≥cosx,即MN≥OM,∴定义域为方法二

sinx-cosx

将视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知所以定义域为跟踪练习1求函数的定义域:

【例2】求下列函数的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.

先观察解析式的结构针对不同的结构采用不同的方法转化为二次函数或利用|sinx|≤1，

|cosx|≤1等.

解

(1)y=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-

于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,

当且仅当cosx=时取得ymin=

故函数值域为分析跟踪练习2求下列函数的值域:(1)y=4tanxcosx;(2)y=6-4sinx-cos2x;(3)

解

(1)y=4tanxcosx=4sinx(cosx≠0).

由于cosx≠0,所以sinx≠±1,∴函数的值域为(-4,4).(2)y=6-4sinx-cos2x=sin2x-4sinx+5=(sinx-2)2+1.∵-1≤sinx≤1.∴函数的值域为［2,10］.(3)方法一方法二【例3】已知函数

(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小正周期.

(1)判断函数的奇偶性,首先要判断其定义域是否关于原点对称,之后再作进一步判断.(2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.分析解又f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.跟踪练习3已知函数求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.

解

=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.

显然-sin2x∈［-1,0］,

所以原函数的值域为【例4】(13分)(2008·北京)已知函数f(x)=sin2ωx+(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.

利用公式转化为y=Asin(ωx+)的形式,然后根据单调性求解.

解题示范

解分析因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以解得ω=1.[6分]跟踪练习4

关于x的方程sinx+cosx+a=0在区间[0,2π]上有且只有两个不同的实根,求:(1)实数a的范围;(2)这两个实数根的和.

解

(1)图为

的图象,

方程在[0,2π]上有两个相异实根的充要条件是高考中主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性.填空题、解答题均有可能出现,难度以容易题、中档题为主.

1.当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.思想方法感悟提高高考动态展望方法规律总结2.作函数图象首先要确定函数的定义域,先作出一个周期的图象，再利用周期性作出整个定义域内的图象.3.数形结合是本节课的重要数学思想.4.对于周期函数,先确定一个周期内的图象，再确定整个定义域内的图象.5.判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数.6.三角函数单调区间的确定,一般先将函数化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解.若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解.一、填空题1.(2009·大连一模)y=sin(2x+)的最小正周期是

____.

解析∵y=sinx的周期为2π,定时检测2.(2010·扬州模拟)

的最大值为____,此时x=______________.

解析33.(2010·盐城模拟)函数的定义域是

_________________________.

解析4.(2009·牡丹江调研)已知函数y=2cosx(0≤x≤1000π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是________.

解析如图,y=2cosx的图象在[0,2π]上与直线

y=2围成封闭图形的面积为S=4π,

所以在[0,1000π]上封闭图形的面积为

4π×500=2000π.2000π5.(2010·江苏盐城月考)已知函数y=tanωx在内是减函数,则ω的取值范围是________.

解析由已知条件ω<0,∴-1≤ω<0.-1≤ω<06.(2008·辽宁理)已知(ω>0),

且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=_____.

解析如图所示,

又f(x)在区间内只有最小值、无最大值,答案7.(2009·浙江宁波检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当时,f(x)=sinx,则的值为____.

解析由已知得8.(2010·连云港模拟)sin2,cos1,tan2的大小顺序是__________________.

解析

sin2>0,cos1>0,tan2<0.∵cos1=sin(-1),sin2=sin(π-2),

从而sin(-1)<sin(π-2),即cos1<sin2.

故tan2<cos1<sin2.tan2<cos1<sin29.(2008·全国Ⅱ)若动直线x=a与函数f(x)=sinx

和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|

的最大值为____.

解析设x=a与f(x)=sinx的交点为M(a,y1),

x=a与g(x)=cosx的交点为N(a,y2),

则|MN|=|y1-y2|=|sina-cosa|二、解答题10.(2009·福建莆田模拟)是否存在实数a,使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在,求出对应的a值；若不存在，说明理由.

解11.(2008·陕西)已知函数

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x)=判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由.

解

∴f(x)的最小正周期当时,f(x)取得最小值-2;

当时,f(x)取得最大值2.(2)g(x)是偶函数.理由如下∴函数g(x)是偶函数.12.(2010·山东济宁第一次月考)设a=cosx+sinx),b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间上是增函数,求ω的取值范围;(3)设集合A=B={x||f(x)-m|<2},

若AB,求实数m的取值范围.解

(1)f(x)=·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx