Chapter4 非线性电路分析v1.0

第四章非线性电路分析方法、频率变换电路内容：一、非线性电路分析方法非线性元件特性---4.1、4.2非线性电路分析方法：幂级数法---4.3

时变跨导法、开关函数法---4.4.1、4.4.4二、频率变换电路晶体管混频器----4.5、4.6二极管混频器----4.7

第一节非线性元件和非线性电路非线性器件：参数随电路中的电压或电流变化的元件。非线性微分方程描述。其本质是可产生不同于输入信号的新的频率成分。电路元件模型：R、L、C、.....元件参数（对信号输入输出响应）特点：线性器件：参数为一常数，常微分方程描述时变参数器件：参数是t的函数，变系数微分方程描述

第一节非线性元件和非线性电路分析方法：幂级数展开分析法线性时变电路分析法---变跨导分析法非线性元件特点：（1）工作特性（伏安特性曲线）：静态电阻动态电阻（2）频率变换作用：（3）不满足叠加原理一、幂级数展开分析法通常u=EQ+u1+u2+

EQ为静态工作点电压u1、u2、为输入信号（电压）

第二节非线性电路的分析方法非线性器件的伏安特性，用非线性函数表示为

i=ƒ(u)i=a0+a1△u+a2△u2++an△un+讨论：1、当u1=U1cos1tu2=0时，则泰勒级数展开式(在EQ点上对u1、u2展开)为i=a0+a1(u1+u2)+a2(u1+u2)2+

+an(u1+u2)n+

式中a0、a1、a2、、an均为系数i=a0+a1u1+a2u12+……+anu1n

=a0+a1U1cos1t+a2U12cos21t++anU1ncosn1t

结论：当单一频率信号作用于非线性器件时，在输出电流中不仅包含有输入信号的频率分量1而且还包含有该频率分量的各次谐波分量n1(新的频率分量)——故可实现倍频，但不能实现频谱的任意搬移。利用三角公式

可以得到i中的频谱分量为1——信号频率分量n1(n=2,3,4,)——谐波频率分量i=a0+a1u1+a2u12+……+anu1n

=a0+a1U1cos1t+a2U12cos21t++anU1ncosn1t2、当u1=U1cos1t为输入信号， u2=U2cos2t为控制或参考信号，则i=a0+a1(u1+u2)+a2(u1+u2)2+……+an(u1+u2)n利用三角公式

可以得到i中的频谱分量为

结论：当多个信号作用于非线性器件时，输出电流中就会包含有无限多个频率分量，即能实现频谱的任意搬移。1、2——

信号频率分量|±p1±q2|(p,q≠0)——组合频率分量把(p+q)的大小称为组合频率分量的阶数p1、q2(p,q=2,3,4,)——

谐波频率分量滤波器非线性器件u1u2uo

在多数情况下，仅仅利用p=q=1的组合频率分量|12|实现频谱的任意搬移，而其余频率分量需要加以滤除，如图所示。p=q=1的组合频率分量|12|是由幂级数中乘积项u1u2产生的。因此，实际应用中，可以采用以下措施减少无用频率分量，（1）选择平方律器件，如场效应管；（2）利用乘法器；（3）采用平衡电路。二、线性时变跨导分析法a0=ƒ(u)|u=EQ+u2=ƒ(EQ+u2

)

a1=ƒ(u)|u=EQ+u2=ƒ(EQ+u2

)

非线性器件的伏安特性表示式为

i=ƒ(u)通常u=EQ+u1+u2

EQ为静态工作点电压u1、u2为两个输入电压

在(EQ+u2)上对u1用泰勒级数展开：i=a0+a1u1+a2u12+…..+anu1n

所以：i(t)=I0(t)+g(t)u1

i与u1是线性关系，但系数是时变的，故称线性时变工作状态，具有这种关系的电路称线性时变跨电路。

若u1的幅度足够小，则可忽略其高次项， i=ƒ(EQ+u2)+ƒ(EQ+u2)u1

式中ƒ(EQ+u2)和ƒ(EQ+u2)是随时间变化的系数，称时变系数或时变参量。ƒ(EQ+u2)是u1=0时的电流，称时变静态电流或时变工作点电流，用I0(t)表示。ƒ(EQ+u2)是u1=0时的增量电导，称时变跨导或时变电导，用g(t)表示。设u1=U1cos1t,u2=U2cos2t∵EQ+u2为周期性的，∴I0(t)、g(t)也是周期性的，用付里叶级数展开：I0(t)=I00+I01cos2t+I02cos22t+…g(t)=g0+g1cos2t+g2cos22t+…∴i(t)=I0(t)+g(t)u1=I00+I01cos2t+I02cos22t+…+[g0+g1cos2t+g2cos22t+…]U1cos1ti(t)中的频率分量为(1)q2——2谐波分量

(2)|q2±1|——组合分量1、2——

信号频率分量|±1+q2|(q≠0)——组合频率分量q2(q=2,3,4,)——

谐波频率分量

结论：1、线性时变电路相对非线性电路输出组合频率分量减少2、两者的本质是相同的——都是非线性电路线性时变电路实现频谱搬移的原理框图如下

线性时变电路滤波器u1u0u2例1：4.3.2节解：其波形如下：EQ+u22t--U2/22tU2/2gDgm(t)当2t=时，-U2/2+U2cos=0，因此，cos=1/2，=/3用傅里叶级数展开后可得：复习：傅里叶级数设f(x)是以2l为周期的函数，且在区间[-l，l]上绝对可积，则三角级数叫做函数f(x)的傅里叶级数，记为式中若f(x)为奇函数，则an=0；若f(x)为偶函数，则bn=0。开关函数小结:u22toK(2t)2to1K(2t-)2to1K'(2t)2to1-1K(2t)=1cos2t00

cos2t<01、定义式K(2t-)=0cos2t01

cos2t<0K'(2t)＝K(2t)-K(2t-)=+1cos2t0-1

cos2t<02、波形K(2t)+K(2t-)=13、傅里叶级数展开式例2、二极管伏安特性的折线近似uD+-iuDiouDioVpgD=1/rDuDiogD结论：i=gDuD0uD>0uD<0三、开关函数分析法H(j)+_+_u1u2+_u0VDiD~~+-uD

设u1=U1cos1t——输入信号u2=U2cos2t——控制信号

条件：U2>>U1U2>0.5V

则：uD=u1+u2-uo≈u1+u2

(忽略u0反作用，不影响对频谱的分析)因为U2>>U1，所以VD的通断由u2决定。u20，VD导通，回路有电流；u2<0，VD截止，回路无电流。即gD(u1+u2)u20iD=0u2<01×iD=gD(u1+u2)u200×gD(u1+u2)u2<0或iD=K(2t)gD(u1+u2)，其中K(2t)称为开关函数K(2t)=1u20即cos2t00

u2<0即cos2t<0K(2t)是一周期性函数，其周期与控制信号u2的周期相同。如图所示。K(2t)的傅里叶级数展开为若定义则u22toK(2t)2to1(1)1、2

(2)2n2(n=1、2、3…)(3)(2n+1)2±1(n=0、1、2、3…)iD中频谱分量：第三节二极管电路一、单二极管电路H(j)+_+_u1u2+_u0VDiD~~+-uDiD=K(2t)gD(u1+u2)根据前面的分析可知：u1=U1cos1t——输入信号u2=U2cos2t——控制信号

条件：U2>>U1U2>0.5V(1)1、2

(2)2n2(n=1、2、3…)(3)(2n+1)2±1(n=0、1、2、3…)iD中频谱分量：

用带通滤波器H(j)取出(2+1)或(2-1)组合频率分量，完成频谱的线性搬移。

为了减少单二极管电路中一些不必要的频率分量，就要对单二极管电路进行改进。二、二极管平衡电路1、工作原理工作条件：N1=N2

电路上下对称N1带通滤波器iLi1i2++--+-u1u2+--uD1uD2VD1VD2uoN2N2N1N1N2+u1=U1cos1t——输入信号u2=U2cos2t——控制信号

条件：U2>>U1U2>0.5V若忽略输出电压的反作用，则uD1=u1+u2

uD2=-u1+u2

因为U2>>U1，所以VD1

、VD2的通断由u2决定。u20，VD1

、VD2

导通，回路有电流；u2<0，VD1

、VD2

截止，回路无电流。即N1带通滤波器iLi1i2++--+-u1u2+--uD1uD2VD1VD2uoN2N2N1N1N2+uD1=u1+u2

uD2=-u1+u2

i1=K(2t)gD(u1+u2)i2=K(2t)gD(-u1+u2)iL=i1-i2=2gDK(2t)u1输出电流iL中的频率分量：

（1）1——信号频率分量

（2）(2n+1)2±1(n=0,1,2,)——组合频率分量

与单二极管电路相比少了2

及其谐波分量，使无用频率分量减少。单二极管电路中iD的频谱分量：(1)1、2

(2)2n2(n=1、2、3…)(3)(2n+1)2±1(n=0、1、2、3…)说明：1、若考虑RL的影响，则用g=1/(rD+2RL)代替gD。2、若电路不完全对称（二极管有差异；中心抽头有误）则u2不能完全抵消，称为控制信号泄漏——“漏载”2、实际线路——二极管桥式电路+--+-u1u2uo+RLABu2>0，四个二极管均截止，uAB=u1u2<0，四个二极管均导通，uAB=0因此uAB=K(2t)u11、基本电路原理电路图三、二极管环型电路(双平衡电路)iLVD1VD2+-u2T1T2VD4VD3i1i2i3i4RLu1N1N1N1N1N1N1+-分解电路图iL1i1i2+-+-u1u2+--uD1uD2VD1VD2+RL+-u2VD4VD3i3i4iL2RLu1+-电路说明：D1~D4方向一致，组成一环路故得名。实际上此电路是由两个两个平衡电路构成（D1、D2和D3、D4，如分解电路示意图），故又称双平衡电路。2、工作原理i1=K(2t)gD(u1+u2)i2=K(2t)gD(-u1+u2)iL1=i1-i2=2gDK(2t)u1iL1i1i2+-+-u1u2+--uD1uD2VD1VD2+RL先求iL1:uD1=u1+u2

uD2=-u1+u2

K(2t)=1cos2t00

cos2t<0式中再求iL2:uD3=-u2

-u1uD4=-u2+u1+-u2VD4VD3i3i4iL2RLu1+-0×iD3=gD(-u1-u2)u201×gD(-u1-u2)u2<0

因为U2>>U1，所以VD3

、VD4的通断由u2决定。u20，VD3

、VD4截止，回路无电流；u2<0，VD3、VD4导通，回路有电流。即0×iD4=gD(u1-u2)u201×gD(u1-u2)u2<0K(2t-)=0cos2t01

cos2t<0若定义i3=K(2t-)gD(-u1-u2)i4=K(2t-)gD(u1-u2)iL2=i3-i4=-2gDK(2t-)u1则：K(2t-)跟K(2t)一样，也称作开关函数。如图所示。u22toK(2t)2to1K(2t-)2to1由原理电路图可知：iL=iL1+iL2=2gD[K(2t)-K(2t-)]u1=2gDK'(2t)u1K'(2t)＝K(2t)-K(2t-)=+1cos2t0-1

cos2t<0称为双向开关函数，如图所示。其傅里叶级数展开式为u22toK(2t)2to1K(2t-)2to1K'(2t)2to1-1若u1=U1cos1t，则iL=iL1+iL2=2gD[K(2t)-K(2t-)]u1=2gDK'(2t)u1输出电流iL中的频率分量：(2n+1)2±1(n=0,1,2,)——组合频率分量结论：1、在平衡电路的基础之上又消除了u1的频率分量（两次抵消），且输出幅度提高到两倍。2、和平衡电路一样，环形电路同样存在漏载问题。为防止漏载，可采用每臂双二极管并联电路或环形组件3、环形电路更接近理想乘法器的性能，乘法器是频谱线性搬移电路的核心电路。第四节模拟乘法器

频谱搬移电路的核心是乘法器（即产生和频、差频）。实现相乘的方法很多，主要研究可变跨导相乘法，其核心——差分对电路。一、单差分对电路1、基本电路V1、V2两管参数相同IE1=IE2=0.5I0（静态）ie1+ie2=I0（动态）电路为带恒流源的单入——双出（或单出）差放-Ee+Ec+u-I0ie2ie1ube1ube2ic1ic2RLRL+A-BV1V2++--uo2、传输特性[推导ic1(或ic2)~u的关系式](式中：u=ube1-ube2)-Ee+Ec+u-I0ie2ie1ube1ube2ic1ic2RLRL+A-BV1V2++--uo双曲正切函数：同理可得：-Ee+Ec+u-I0ie2ie1ube1ube2ic1ic2RLRL+A-BV1V2++--双端输出时，u0=ic1RL-ic2RL=(ic1-ic2)RL令ic1-ic2=i0，称等效差动输出电流，则

可见，ic1~u、ic2~u、i0~u均为双曲正切关系，其曲线如图所示。uo结论：(1)ic1、ic2、i0与u是非线性关系——双曲正切函数关系，但与I0为线性关系。(2)当u很大，一般|u|>100mV时，电路呈现限幅状态，可作开关。ic1,ic2,i0I0-I0ic2ic1I0/2ou/vTi0(3)当u很小，一般|u|<VT=26mV时，传输特性为线性关系，管子工作于放大区。(5)小信号工作时，gm与I0成正比。若I0随时间变化即成

为I0(t)，则gm=gm(t)为时变跨导，该电路即为线性时变电路——单差分对乘法电路。(4)当u=U1cos1t时,(式中x=U1/VT，1(x)、3(x)、5(x)等系数见表3-1)跨导3、单差分对乘法电路uA——输入电压uB=ube3+ie3RE-Ee≈ie3RE-Ee其中：为静态电流等效差动电流i0

表达式中有uA、uB的乘积项，可完成频谱的线性搬移。-Ee+EcI0(t)=ie3+_V1V2u0~uAT3~uBREH(j)H(j)++__uB——控制电压二、双差分对电路——吉尔伯特乘法器uA_+EcV3V4+_I0i1iІRLV2+u0V1RLiІІV5V6+_uBi2i3i4i5i6V1、V2、V5构成一对差分电路V3、V4、V6构成另一对差分电路V5、V6也是一对差分电路等效差动电流i0=iІ

–iІІ=(i1+i3)-(i2+i4)=(i1-i2)-(i4-i3)可见双差分对电路的输出差动电流i0与输入信号uA、控制信号uB均为非线性关系，作频谱搬移电路时，uA、uB可任意加在两个非线性通道上。（注意：单差分对电路与位置有关）

当|uA|

、|uB|<26mv时，近似为线性关系故：工作于线性区的双差分对电路，可以看作是理想乘法器，能实现频谱搬移功能。三、集成化模拟乘法器1、单片集成模拟乘法器MC1496/MC1596(1)外引脚图MC159610512349876INxINxINyINyOUTOUTBI-EeRyRy圆筒型封装1234567141312111098INyINyINxINxOUTOUTBIRy-EeMC1596双列直插式封装(2)有关引脚说明+EC通过外接负载电阻Rc加到6脚和9脚；2脚和3脚外接负反馈电阻Ry，扩展uy的线性输入范围；5脚外接偏置电阻R5，形成偏置电流。2、单片线性化集成模拟乘法器BG314(1)外引脚图1234567141312111098INyINyINxINxOUTOUTRy-EeBG314+ECR3RxR13(2)典型接法BG3141214561011129847313R3R13RW3RxRyR1RcRc12k10k15k15k13k10k5k8200.10.11++32V-15Vuxuy调零ux调零uy-15V+15V10k10k10k10k1k1kux调零uy调零RW1RW2使用说明：（1）负反馈电阻Rx、Ry越大，增益越低，但动态范围增大。（2）RW1、RW2为调零电位器。调试时，首先加ux信号(uy不加)，调RW1使输出信号为零，然后加uy信号(ux不加)，调RW2使输出信号为零。（3）RW3为增益调整电位器。第五节三极管频谱线性搬移电路一、晶体三极管频谱线性搬移电路1、基本电路u1=U1cos1t——输入信号u2=U2cos2t——参考信号且U2>>U1Ticube+_~~+_u1u2+_+-Eb-+Ec+-u0ƒ0=ƒ2-ƒ1CL晶体三极管在Eb，u1和u2的作用下工作于非线性状态。由于u1很小，可以认为晶体管的工作点在Eb+u2的作用下发生变化在每一个工作点，对u1来说都是工作于线性状态，只不过不同的工作点其线性参量不同。这种随时间变化的参量称为时变参量。三级管的集电极电流ic

是在Eb，u1和u2的共同作用下产生的。式中——静态时变电流——时变跨导用傅里叶级数将Ic0(t)、gm(t)展开，得Ic0(t)=Ic00+Ic01cos2t+Ic02cos22t+……gm(t)=gm0+gm1cos2t+gm2cos22t+……所以ic=Ic0(t)+gm(t)u1

=Ic00+Ic01cos2t+Ic02cos22t+……+(gm0+gm1cos2t+gm2cos22t+……)U1cos1t2、工作原理ic=ƒ(ube、

uce)≈ƒ(ube)=ƒ(u1+

u2+Eb)=ƒ[(Eb(t)+

u1)]式中Eb(t)=Eb+u2——时变静态偏置电压icIc0(t)+gm(t)u1用傅里叶级数将Ic0(t)、gm(t)展开，得Ic0(t)=Ic00+Ic01cos2t+Ic02cos22t+……ic中的频谱分量：(1)1、2

(2)n2(n=2、3、……)(3)n2±1(n=1、2、3、……)

可见，晶体三极管频谱线性搬移电路是将u1、u2加至三极管的发射结，利用其非线性产生u1、u2的组合频率分量，经选频达到频谱线性搬移的目的。用选频电路选出频率为(2－1)信号，完成频谱搬移。混频器等效电路3、晶体三极管混频器的等效电路当gL=goc时，输出回路匹配，变频功率增益最大。变频功率增益变频电压增益◆由于本振电压为大信号，对于输入信号us为小信号来说可以等效为时变参量的线性电路。◆输入回路调谐于ωs，输出回路调谐于ωI，等效电路各参量可根据定义和混合π等效电路求出。第四章小结1、非线性电路的特点及分析方法3、开关函数的概念及二极管

频谱搬移电路的分析4、时变参量的概念及三极管频谱搬移电路的分析2、幂级数的概念及二极管

频谱搬移电路的分析一、填空题1、非线性电路的特点是2、非线性电路的特点是能够产生新的频率成份，故频谱的搬移作用必须要由非线性电路来完成，其主要分析方法有3、线性时变电路其本质上属于非线性电路，满足i=I0(t)+g(t)u1的电路称为线性时变电路。4、非线性器件的伏安特性为i=f(u)。现有u1=U1cosω1t和u2=U2cosω2t两个输入信号，当u=u1(或u2)时，能够实现倍频作用；当u=u1+u2时，能够实现频谱搬移作用。(1)不满足叠加原理；(2)具有频率变换作用。幂