(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(答案解析)

Sa33,Sa33,5q一、选题1．某大楼共有12层有11人在第一层上了电梯，他们分别要去至12层每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余人要步行到所要去的楼层，假设初始的“不意”为，位乘客每向下步行一层“不满意度”增量为，每向上步行1层的“不满意度增为2，要使得10人不满意”之和最小，电梯应该停在第几层（）A．B．C．D．2．在数列

n

，a

a

（N

*

），则a）10A．10B．C．D．3．已知数列

n

annn

，

a1

1，设数列项为

，则满足14的大值为（）A．

B．4

C．

．

4．在等比数列

n

aaa，列3159n

列且

，9

等于（）A．

B．

C．16

．5．设首项为的列

项为，且an

ak,2akk

，若4042

，则正整数m的最小值为（）A．14B．C16D．6．已知等比数列

n

的前n项为

S

，则下列命题一定正确的是（）A．若

，a1

B．

，a1C．S，a．则a202127．已知数列项为，且满足S，列为nnT

，若S

对*恒成立，则实数的值范围是（）A．

B．

(

C．

9

．

8．在我国古代著名的数学专著《九章术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（）A．540B．C855．9509．若

列其公比是q，且

a,a5

成等差数列，则等()A．1或2．或－2C．或2D．－或2

nn1491nn9nn1491nn910．知等比数列

n

4,a,213

2

成等差数列，则公比q）A．1

B．

C．D．11．差数列

n

项为

，已知

aa，a3432

，则

（）A．B．C．D．12．知数列，且an23a最小时，n的值有（）nnA．个

B．个

C．个

．个二、填题13．S是列nn

项，且

a

13

,Sn

*

，则SS13910

___________.14．知等差数列

n

，差是2，则数列

n

的前n项

的最小值是_______.15．数列

和为n

，若

n

，则

______.16．知等比数列

n

，a则5

的前项为_________．．等比数{}的比为q，其前项积为T，并且满足条件a，aa－1>0，

－－给下列结论：；a－1<0；③T的值是T中最大的；使>1成的最大然数n等98.其中所有正确结论的序号．18．知数列

n

n

和分别为S，T

，且

a，2Snn

，n

(2)(2n)n

，对任意的

nN*

，

kn

，恒成立，则的小值是__________．19．比数列

和S，若nn

，则______.620．们知道，斐波那契数是数学史上一个著名数列，在斐波那契数naa表示它的前n项，若已2n

，那么

a2022

．三、解题21．数列

n

a

2nN*a

，其中

a1

.

naSnaS（）明：

比列；（）

aba

，设数列

2021n

成立的最大自然数的.22．知数列

n

(2a

2n

n

，4231n2(aa2224（）；2n

．（）

，求数列

n23．数列

n

项和为S，知，2

n

n（）数列

n

式（）

nan

n

，记数列

项和n

，求证：

n

12

.24．知数列

n

a1

12

，

an

2

，n（）

nn

n

，求证：数列

；n1（）数列n和为S

，求证：

n

，n

.25．列

n

项之和为S，，pa1nn

(p为（）

p

时，求数列前n项之和（）时，求数列

，求.26．知

n

列，

n

为数的等比数列，

a1

，再从①

a10；4

；b45

这三个条件中选___________，___________两个作为已知（）数列

；n（）数列

n

项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要除

一选题1C解析：【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达“不意”之，利用等差数列的求和公式即可求得结论．【详解】解：设电梯所停的楼层是

n12)

，则

n2[1(12)]

((12)(13)232(2()15732开口向上，对称轴为

，故S在n9时最小值

min

3

2

3142

．故选：C．【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求“满意度之是关键．2．B解析：【分析】根据等式关系得到数列【详解】

n

为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即.a

n

2

n

n

（N

*

），

n

n

n

，即数列

n

列，aa13

，3

即

3，公d，则

a

（nN

*

），所以

a210

.故选：【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算3．C解析：

n以nn3n以nn33n{}【分析】利用累加法可求得数列

n

式利用裂项求和法求得

，然后解不等式14【详解】

即可得解因为

213

，所以

a2n1

，

n2

,

n

1

1122

12n

，由

n

2n

14

，化简得3n

n20，得

43

，14*，所以，满足

的的大值为

.故选：【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（）于等差比数列，利用公式法直接求和；（）于

nn

其n

列，

n

列利用错位相减法和；（）于

n

利分组求和法；（）于

an

列其中

n

的等差数列，利用裂项相消法求和.4．C解析：【分析】根据等比数列性质求得a，再由差数列性质求解．【详解】a

n

是等比数列，

a2915

，

a，以a，即a99

，

{bn

}

是等差数列，所以

b79

．故选：．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解

1202012020题关键，设

pl

是正整数，

p，{}n

是等差数列，则aa，若{}l5．C解析：【分析】

是等比数列，则

aa．时上述结也成立．mnpl根据已知递推关系求出数列

{}n

的奇数项加成等比数列，偶数项加6成比数列，然求出S后，检验2n【详解】

SS1416

可得．当n为数时，

an

n

a

n

3)2a

n

，以aan

n

9)

，又

a，以a9,115

成等比数列，公比为2，

2n

10

n

，即

2n

n

，当n为数时，

aa，以ann

，又a，以aa246

成等比数列，公比为2a

，即

a

n

n

，所以S

2n

10(1n))n11

n

n

，S14

7

2435，S2016

8

204980

，S24357151415

，所以满足

4042

的正整数m的小值为．故选：．【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和，检验取2n具体数值的结论．6．B解析：【分析】根据等比数列的前项公分别讨论

和S2021

即可得答案【详解】当，a，，，a当时S分以下几种情况，1当

，此时aq2

；当

q时a，时

，

20211na12nn1n111220211na12nn1n111246当

时a，此时aa1

；当时，此时aq

；故当

时与可可负，故排除、.当当

q时，Sa，a，；2a时由于与1

同号，故

a1

，所以

a2

符号随正变化，故D不正确B正；故选：【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符,于中档题7．D解析：【分析】由

2利用an

，得到数列

为项，为比等2比数列，进而得到

，n

为公比的等比数列，利用等比数列前n项公式得到

，

，将

0

恒成立，转化为

2

6

，从而得出答案【详解】当n，

，得1

；当

时，由

，Sn

n

n

，两式相减得

，所以数列

n

是以1为项，

12

为公比的等比数列．因为列，

，所以．，所，为公比的等比数a244n所以Sn124

，由S

，得322n

，2n

，所以

nnnnnnnnnnnn所以

62

，所以

．综上，实数的值范围是

(

．故选【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题8．C解析：【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前项为定值问题进而计算可得结果．【详解】由题可知，良马每日行程构成一个首项为，差13的差数列

驽马每日行程构成一个首项为，公差为﹣的差数列

则a＝103+13（﹣）n，＝﹣（﹣）＝97.5﹣，则数列a}与列}的项和为，又数{a}的项和为

n×（n+90）×193+13n），2数列b}的n项和为

nn×（﹣0.5n＝×（﹣）2

nn×（）+（194.5﹣）2250，理得：25n+775n﹣＝，2+31n﹣0，解得：＝或＝﹣40（），即九日相逢，相逢时驽马行了

9×（﹣）2故选：【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n项和，考查转化思想，考分析问题、解决问题的能力，属于中档题．9．A解析：【解析】分析：由

a,a5

成等差数列可得

a5

，化简可得

，解方程求得的.

n32151111n32151111S详解：

,a

成等差数列，所以

a54

，q44

2

a

4

，q

2

，

，q

或2

，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单.比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量

a,q,n,1

，一般可以“知求”，通过列方程组所求问题可以迎刃解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应.10．解析：【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求.【详解】因为所以

4,,2成等差数列，1322aaa，31

2

4a11

，化简得

q

2

0

，解得

q

或

.故选【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运.11．解析：【解析】设等差数列a}的差为dS=a+10a,a=34，3a+3d=11+dad=34，则a=2.本题选择选项.12．解析：【分析】根据等差数列的性质可知

a100

0

，从而判断数列

数，即可判断n

n的前项最时，可的.【详解】数列

列，

SSaaaa11992198a13199

2100，则

，1a100

0

，即

a100

0

，a1

，可以判断数列

数，n99

0,a101

，bann

，

n

aa13

a23

ann2

，当

n

项最时，n可取的值为，，，共4个.故选：【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档.二、填题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：

【分析】由

n

代入化简求得，结合求和方法计算可得结.【详解】因为所以所以所以

aSSSSnSSnnn1n又

1a1所以数列3为项，为公差的等差数列，所以

S

所以

S

所以

SSn

1n2nn

2S2S所以

SS39

1111521

故答案为：【点晴】

由

n

代入化简求得数列等差数列是解题的关.14．【分析】本题先求等差数列n项和再由此求出数列的前n项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴时数列的前n项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和的最小值的求法考查等差数解析：【分析】本题先求等差数列前项Snn

n2

2

，再由此求出数列

的前n项和

的最小值.【详解】解：等数列

n

，公差是2，

Snn

n2

2

，

时，数列n

的前n项的小值是.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题解析：1008【分析】分别计算出

、a、a4k4k

、

4k

a

4k

4

4k

4

，再由20184

可得出

S

的值.【详解】由题意可得

4k

，

121150199nn2121150199nn2123198501n

4k

k2

kk

，4k4k

k

k

，k

k

k

k

，2018504，S6504504201820183024

4

故答案为：.【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等.16．【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃解析：

【解析】因为已知等比数列

aa5

，

q

，则a1aa2,q2

21

，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档.等数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量

a,q,n,1

，一般可以知求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过17．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为所以T49的值是Tn最解析：②④【解析】由条件a>1aa－，a－1)(－可a>1，a<1，所以0<<1，对aa＝

250

<1，对因为>1a<1，以T的值是T中大的，对；T＝aa…a，aa＝a>1aa＝<1，所以使T>1成的最大自然数等于98.50故填②③④.18．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利

n223nnn223nn用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是1解析：3【分析】首先利用与的系式，求数列n的最值求的小值【详解】

n

式再利用裂项相消求T，利用Tnn当n

时，

2S11

，解得

或a1

，

，n1

，当，，式减后可得2a2nnnn整理后得：

n

an

n

，

数列

的等差数列，即n

a

，bn

2n1n

，1112

，数列

时，

Tn

对任意的

*，kn

，恒成立，n

max

，即

k

1,k最小值是.33故答案为：

13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难.决该问题应该注意的事项：(1)数是一类特殊的函数，它的图象是一群立的点；(2)转以函数为背景的条件时，应该注意题的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利函数的方法研究数列中的相关问题时应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转.

S664664S66466419．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的解析：

【分析】根据等比数列的性质得到

S,n

2

,n

3

2n

成等比，从而列出关系式，又

，接着用S表，代入到关系式中，可求出63

96

的值.【详解】因为等比数列

项和

，则

S,n2nn2

成等比，且

0n

，所以

S633

，又因为即

SS

，所以

1SS11SSS44

6

，整理得.故答案为：

.【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到

S,n2n3nn

成等比20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题解析m【分析】由已知，

，

24

,

2020

2021

a

2022

，利用累加法即可得到答.【详解】由已知，

，

24

,

2020

2021

a

2022

，各式相加得a3

，即

a，a，S202222020

，所以

a

.故答案为：

【点睛】本题考查了累求方法、斐那契数列的质考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

n12n12三、解题21．1）明见解析；2最大自然数【分析】

n

.（）据题中件，可得

n

的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（）（）可得

1

1a

2

，则可得

2n

n

，根据错位相减求和法，可求得S的表达式，根据的单调，代入数值，分析即可得答.【详解】解：（）

a

2*a

，naaaannnnaaaaannnnn11a即n，11an

a项，比为的等比数列（）（）知，

1

1a

2

，a1即aann

，Sn

2

n

，2n

2

4

n

，①减②得nn.S2n.

4n1

n

a2a2n3na2a2n3n

n

n

n

2

，

.单递增

11582021

，8

.故使

S

成立的最大自然数n.【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：公法②倒序相加法③裂相消法④位相减法等，需熟练掌.22．）

2n

nn

q2；（）.5【分析】（）数列n项为

，利用

n2n

n

可求

2

.（）论

性后可求数列

n

的最小项，结合

2

可求数列

小项．【详解】解：（）数列n项和为S，即

Sn

，

S

n

1((n2

．则

n2n

n

，故

2

n3

，当

，

，也符合此式，

2n

n3n

．（）

222an3

．考虑奇数项a2

qn2n

，

2n

2n

nn2

n

n(2

2qnq2qnqn1)(2(21)(2

，

an2n5na23an2n5na23又

1

，

5

，得

112

，而

2q

，当n时

2

2n

，当n时，

a2n2

，即奇数项中a最．5而a5

qq，所以数列的小项为a55

．【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小.23．1）

a

2

1

；（）明见解.【分析】（）用

n

消去S，到

n

列公式法求通项公；（）

a

2

代入

n

n

n

，用裂项相消法求出

，再证明

12

.【详解】解：（）

ann

，

an2)nna

n

，即a2(nnnn

.又

aa，a2112a，a2a也足(n.1221n是以1为项2为比的等比数列，nn（）（）知

abaan

2n

12n

.Tn

2

11122

1

0

111n222

.【点睛】(1)证等差（比）数列的方法：定义法和等（比）中项法；(2)数求和的方法：公式法、分组求和法、序相加法、裂项相消法、错位相减法．24．1）明见解析；2证明见解析.【分析】（）接利用义证明b

b

即得证；（）析得到，再利用等比数列求和得.nn

nnnnnnnnnnnnnn【详解】解：（）

n

，aann2

，则

n

n

2n4aa4n24n2

，又

1

，所以数列

列；（）（）得，

n

n

n

，N

，n

n

n

，

，0

，13n时，当

，112511

3

1n

111+2223

12n

11