华东理工大学概率论与数理统计课件3

应用概率统计主讲:刘剑平古典概型

设Ω为试验E的样本空间，若①（有限性）Ω只含有限个样本点，②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型。古典概型概率的公式1.2.随机事件的概率及性质概率的统计定义：频率的稳定值。

设P(A)为事件的实函数,若P(A)满足①非负性

0≤P(A)≤1;②规范性

P(Ω)=1,P(φ)=0;③可加性

则称P(A)为概率的公理化定义.(3)概率的公理化定义加法原理乘法原理(4)概率的重要性质(1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立.(2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),(4)P(Ω-A)=1-P(A).(5)若B是A的子事件,则P(A-B)=P(A)-P(B)；P(B)≤P(A);(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

可推广到有限个事件的情形.(5)几何概型的概率公式第1.3节条件概率与乘法公式例14

在10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样,每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解设第一次取到次品为事件A,第二次又取到次品为事件B,记所求概率为P(B|A),则1.条件概率与乘法公式注意

(1)P(B|A)是在改变了的样本空间下考虑概率值.(2)条件概率P(B|A)满足概率的三条公理.(3)P(B|Ω)=P(B);P(B|B)=1;(4)若B1，B2互不相容,则有:P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)(5)P(|A)=1-P(B|A)定义

对于两个事件A、B,若P(A)＞0,则称

P(B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。在计算条件概率时,一般有两种方法:(1)由条件概率的公式;(2)由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.(1)条件概率

例15

一批产品100件70件正品30件次品甲厂生产40件乙厂生产30件甲厂生产20件乙厂生产10件从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解

对于两个事件A与B，

若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A),

若P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(A|B),推广情形对于n个事件A1,A2,…,An,若P(A1A2…An-1)>0，则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)若P(AB)＞0,则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率(2)乘法公式例16

设袋中有a个白球，b个黑球，每次取一球，求（1）第二次才取到白球的概率；（2）第三次才取到白球的概率；（3）第二次取到白球的概率。解设由题意得：课堂练习解

1.1.P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(|A)=0.4,则P(B)=(

).所以,P(AB)=0.36,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6例17

设10件产品中有4件不合格品，从中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概率为多少？解设A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则

=(4/10)×(3/9)+(6/10)×(4/9)=6/15=4/101.4.全概率公式和Bayes公式全概率公式

设Ω是随机试验E的样本空间,事件组A1,A2,…,An满足：则对于任何一个事件B，有

P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)证明

=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)例18市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.(1)设Ai表示取到第i个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,

由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:=0.025即市场上该种商品的次品率为2.5%.解例19

市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率.解(2)分析所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).=0.4即抽取到的次品是甲厂生产的概率为0.4.

(2)贝叶斯(Bayes)公式

设Ω是随机试验E的样本空间,事件组A1,A2,…,An满足，则对于任何一个正概率事件B，有

例20

每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.解(1)P(B)=P(A0)P(B|A0