Chapt-2-复变函数的积分

复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。§2.1复变函数的积分讨论复变函数积分时，要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)曲线l是开口弧段，若规定端点A为起点，B为终点，则沿曲线l从A到B的方向为曲线的正方向，记为l或l+

；而由B到A的为的负方向，记为l-。(2)如果

l是区域上的简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向。(3)如果l

是复连通域的边界线，则这样规定l的正方向：当沿曲线l行走时，区域左侧。因此外部边界取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向。ABl+A

•xyo•Bz0znlz1zk-1zk•

k设l是z平面上一分段光滑的曲线，一、复变函数积分的定义“大化小,常代变,近似和,求极限”

若通过对l

的任意分割上的一个有界函数。函数f(z)是定义在l和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”都存在，则称此极限为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分。f(z)称为被积函数，l称为积分路径。记作如果l

是闭曲线,则记为二、路积分的计算法基本思路:计算实变函数的线积分转化求路积分因为f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

dz=dx+idy所以则

如果曲线l

是参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t)还可以在积分中标出环路积分的方向沿逆时针方向积分顺时针方向积分oxy11+ii例1

计算积分l1l1解：l2可见，这个被积函数为解析函数的积分沿不同路径积分，积分值一样。oxy11+ii例2

计算积分可以看出，这个被积函数在全平面都不解析的函数积分沿不同路径积分的结果不同。l1l1l2l2解：例3

计算积分其中：l为圆周x=acost,y=asint解：得由1.常数因子可以移到积分号之外三、复变函数积分性质2.函数和的积分等于各函数积分的和3.反转积分路径，积分值变号4.全路径上的积分等于各分段上的积分之和,即如果

l=l1+l2+……+ln5.积分的模不大于被积表达式模的积分6.积分估值定理

其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的弧长。四、复变函数环路积分的物理意义复变函数论中,复变函数的积分尤其是闭合环路积分是很重要的概念。现简要介绍其物理意义。设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，l为D内一条光滑有向曲线。设二维向量P对应f(z)的共轭[f(z)]*=u(x,y)-iv(x,y)，所以P可以写为xyolzk-1•dxdyzk

•而且dz与弧微分ds切向量有对应关系-idz与弧微分法向量有对应关系所以故复变函数的环路积分由场论知识可知，闭合环路积分的物理意义为：

实部表示向量场沿l曲线的环量；虚部表示向量场沿l曲线的通量．

通过§2.1的例1我们发现，被积函数f(z)=z在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的不同路径的积分值相同，换句话说，积分与路径无关；例2中的被积函数是不解析的，沿不同路径积分值不同。那么函数f(z)在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与积分路径无关呢？下面给出积分的重要定理定理——柯西定理。§2.2柯西(Cauchy)定理（一）单连通域上的Cauchy定理

xyo如果函数f(z)在闭单连通区域中单则沿中任一分段光滑lL由路积分的计算法

f(z)在上解析，从而在上连续。证明单值且解析，的闭合曲线l(也可以是的边界L),函数的积分为零，即对实部虚部线积分分别应用格林公式因为u、v满足C-R条件，即故将闭合曲线l的积分化成面积分这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西－古萨定理。根据第一章，函数在闭区域上解析，即函数在单连通区域B内及边界闭曲线L上解析，因此应理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的。修改后的柯西－古萨积分定理成立的条件可以弱化为函数在开区域B内解析，在区域边界上连续(证明略)。以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立。例1证明xyo1-1-1+i-1-i证明：被积函数有两个奇点-1+i、-1-i，除此之外，函数在其它地方都是解析的。因此在|z|=1的闭区域上被积函数是解析的。根据柯西定理，故命题成立。如果区域B内存在函数f(z)的（二）复连通域上的Cauchy定理

一般言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，区域便称为复连通域。

l1l2l3lBxyo

（1）奇点；（2）不连续线段；（3）无定义区为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔的区域-复连通区域。区域边界线的正向当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。如果f(z)是闭复连通区域中的单值解析函数，则l为外边界线,li为内边界线,积分沿边界线正向进行.证：复连通区域的Cauchy定理：ll2l1ABB’A’D’CDC’作割线连接内外边界线对闭复连通区域则复连通区域变成了以内外边根据柯西定理，沿此单连通区域外边界线的积分界线及割线构成的单连通区域。ll2l1ABB’A’D’CDC’由于沿同一割线两边缘的积分值相互抵消，于是即或者就是说沿内外边界线同方向积分相等。(1)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；(三)柯西定理总结：(2)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；(3)在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和．由Cauchy定理可推出，在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。ABl2l1证明：由图可知其中表示l2的反方向。所以

只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不横穿过“孔”）时，函数的路积分值不变。由积分的基本性质可得：(四)函数f(z)的积分与积分路径无关的条件D(五)闭路变形原理在区域D内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D内作连续变形而改变积分的值，只要在变形的过程中曲线不经过函数f(z)不解析的点。

l1l2l3即下面分析这一原理将两条闭曲线之间的区域进行分割，取其中的一小块区域abcd，其边界构成闭合曲线，在其内部函数解析，根据柯西定理，有abcdl1l2当分区无限多时，直线ab、cd无限接近，且方向相反。根据积分性质，有故得到即综合考虑各个小区域，自然得到解：例2.计算积分故函数ezsinz

在复平面上处处解析，由Cauchy定理知此题若用复积分的计算公式，则非常复杂，甚至可能得不到结果！例3.计算积分xyo2-21解:被积函数在积分回路内有两个奇点0、1，“挖去”奇点则构成复通区域上的积分。根据柯西定理··解析解析令则所以解法2:由闭路变形原理例4.计算积分(n

为整数)l•

RC按柯西定理，I=0;解：(1)如果l

不包含点，被积函数总解析,(2)如果l

包含点,又要分两种情况：(a)n0,因被积函数解析，故I=0;(b)n<0,被积函数在l

内有奇点由闭路变形原理，用半径为R

的圆周C

包围

点,则令所以当n-1时当n=-1时归纳起来，积分结果是(l

不包含

;或l包含,但n-1)(l包含)这个积分很有用，由其可以引出§1.4的柯西公式和§4.1的留数定理。或者§2.3不定积分根据Cauchy定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线l的积分只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点z0而变化终点z,这个变上限积分便定义了一个单值函数F(z):对F(z)，有以下的定理如果f(z)在单连通域B内处处解析，则F(z)在B内也解析，并且(一)复变函数的不定积分【证明】令则所以同样可得因此的实部和虚部可微并且满足C-R条件，所以F(z)在区域B内解析。与实函数原函数的概念一样，复变函数也可以定义原函数。的证明见课本P27，此处不重复。(二)原函数就是f(z)的一个原函数。任何两个原函数相差一个常数。原函数的一般表达式F(z)+C(其中C

是任意常数)被称为函数f(z)的不定积分，记作若函数F(z)在单连通域D内处处解析，且为f(z)的一个原函数，那么其中z1、z2为D中任意两点．上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式。例1.计算积分解：被积函数zsinz2在全平面解析，而是其一个原函数，所以例2.

计算积分（2）当n=-1时，z-1

的原函数是ln(z),故因为z=0是1/z

的一个奇点，此积分与路径有关系，也就是积分是多值的。一般如果被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。解：（1）当n-1时，zn

的原函数是,故(一)单连通域上的Cauchy公式

解析函数是一类具特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而是密切相关，这种关联的表现之一就是

Cauchy积分公式。若f(z)在闭单通区域上单值解析；l为的边界线，为内的任一点，则有Cauchy积分公式§2.4柯西(Cauchy)公式由于f(z)在α处连续，任意给定ε>0，必有一个δ(ε)>0，当|z-α|<δ时，|f(z)-f(α)|<ε。设以α为圆心，R为半径的圆C，且|z-α|=R全部在B内部，且R<δ，根据闭路变形原理因为l包围α时(§2.2例4)证明：•lC•αR所以由积分不等式因ε是任意的，所以当ε→0时，必有于是因为α是任取的，所以可以把α改记为z，所以柯西积分公式表明：对于解析函数，只要知道了它在区域边界上各处的值f(ζ)，那么通过上述积分公式，区域内部点z处的值f(z)就完全确定了．

从柯西积分公式，还可以得到另外一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等．例1.计算积分C2解：x3yo-3被积函数在积分环路内有三个奇点0、i、-i，根据柯西定理•i••-iC1C3由柯西公式(二)复连通域上的Cauchy积分公式设B是由l

,l1,l2,…,ln围成的多连通区域(其中l是外边界线，lk是内边界线)，函数f(z)在B内解析，在上连续，则对B内任一点z，有（根据复通域上的Cauchy定理很容易证明）(三）无穷域上的Cauchy积分公式设f(z)在简单闭合曲线l上及l外解析，以z=0为圆心，以充分大的半径R作圆CR，使闭路l包含于CR内，于是f(z)在l和CR所围的复联通区域上解析，应用复联通区域上的Chauchy公式来计算积分oCRR式中z是位于闭曲线l外和CR圆之间的一点。式子右边第一项沿l的积分值容易求出，下面求右边第二项沿CR的积分值。由于f(ζ)在无限远处连续，对任给ε>0，总存在R1，使得|ζ|>R1时，有|f(ζ)-f(∞)|<ε，其中f(∞)有界，于是只要R>R1，则有因ε是任意的，所以当ε→0，R→∞时即所以如果f(z)在简单闭合曲线C上及C外解析，且当|z|→∞，f(z)→0时，则有注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：（1）有界区域中柯西积分公式中的z是闭合曲线l内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的z为l外部的一点；（2）应用有界柯西积分公式的条件是f(z)在l内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在l外部解析；（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行，而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的区域在左手边）。例2计算积分，积分路径沿逆时针方向因为f(z)=1/z，且z→∞时，f(z)→0，考虑到积分路径的方向，所以例3计算积分，积分路径沿逆时针方向因为f(z)=e1/z，考虑到积分路径的方向，所以解：解：(四)柯西积分公式的几个重要推论设

f(z)在单连通区域B内解析，在上连续，则f(z)在B内任一点z，有各阶导数，且1.解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）作为柯西积分公式的推广，可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数．这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在．证明：根据柯西公式则……例4.计算积分解：而在内是解析的，所以因为2.最大模原理

若函数f(z)在闭区域上解析，则它的模|f(z)|只能在区域的边界上达到最大值。

证明：函数f(z)在区域上解析，则函数[f(z)]n在闭区域上解析,根据柯西公式,有其中l是解析区域的边界线．若|f(ζ)|在边界l的极大值为M，|ζ

–z|的极小值为δ,l的弧长为s，根据积分不等式，有即因为当n→∞时，所以当f(z)为常数时等号成立。3.刘维尔(Liouwille)定理若f(z)是全平面上解析有界函数，即|f(z)|<N，则f(z)必为常数。证明：根据柯西公式取路径l为圆心在z,半径为R的圆，则由积分不等式，得由于R是任选的，不妨令R→∞，于是因此f(z)必为常数。4.解析函数的平均值公式若函数f(z)在圆|z–z0|<R内及其圆周C上解析，则即f(z)在圆心z0的值等于它在圆周上值的算术平均值。证明：圆周C上的点可以写成由柯西积分公式，有5.莫勒纳(Morera)定理