刚体平面运动

理论力学第九章刚体的平面运动第九章刚体的平面运动实验选课刚体的平面运动：第九章刚体的平面运动一、概述•刚体平面运动的分解二、平面图形内各点的速度三、平面图形内各点的加速度四、运动学问题综合应用•例题概述•刚体平面运动的分解

一、概述•刚体平面运动的分解

实例平面运动的定义平面运动的简化平面运动的方程平面运动的分解刚体的平面运动——实例曲柄滑块机构刚体的平面运动——实例齿轮传动机构刚体的平面运动——实例行星齿轮机构刚体的平面运动——实例（沿直线）滚动的车轮刚体的平面运动——实例电影放映机中的四连杆机构

刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。平面运动的定义平面运动的定义平面运动的定义刚体的平面运动——（运动中的）刚体上任意点与某一固定平面的距离始终保持不变。平面运动的定义刚体的平面运动——（运动中的）刚体上任意点与某一固定平面的距离始终保持不变。

平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。平面运动的简化

这些平面上对应的点具有相同的运动轨迹、相同的速度和相同的加速度。特点：

刚体上所有平行于固定平面的平面具有相同的运动规律；

车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移运动和相对车厢的转动的合成。绝对运动——车轮相对于静系（地面）的平面运动牵连运动——车厢（动系Axy）相对于静系的平移运动相对运动——车轮相对于车厢（动系Axy）的定轴转动平面运动的简化平面运动的简化平面运动的方程

任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴的夹角来描述，图形S的位置决定于三个独立的参变量（三个自由度），所以：

为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。平面运动的方程xA=f1(t)yA=f2(t)=f3(t)刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。平面运动的方程

根据平面运动方程，对于每一瞬时

t，都有对应的

xA、yA和，图形S在该瞬时的位置是完全确定的。xA=f1(t)yA=f2(t)=f3(t)当图形S上A点固定不动时，刚体作定轴转动。当图形S上

角固定不变时，刚体作平移运动。平面运动的方程曲柄滑块机构中OA=r，AB=l，曲柄OA以等角速度

绕O轴转动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点（AP=l1）的运动轨迹、速度与加速度。例题1——曲柄滑块机构解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量（xA，yA，）与时间的关系。首先确定与之间的关系，由图中的几何关系，有例题1——曲柄滑块机构OABPxyxPyP连杆的平面运动方程为：2、连杆上P点的运动方程：例题1——曲柄滑块机构OABPxyxPyP当r<<l时，应用泰勒公式，可忽略4次方以上的项：因此连杆上P点的运动方程为例题1——曲柄滑块机构OABPxyxPyP3、连杆上P点的速度与加速度速度加速度例题1——曲柄滑块机构平面运动的分解平面运动的分解

定义动系上的原点A为基点，于是车轮的平面运动随基点A

的平动绕基点A'的转动平面运动的分解刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。刚体的平面运动随基点的平移（牵连运动）绕基点的转动（相对运动）平面运动的分解刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法

选择基点——任意选择

在基点上建立平移系（特殊的动系）——在刚体平面运动的过程中，平移系只发生平移刚体平面运动（绝对运动）可以分解为跟随平移系的平移（牵连运动），以及平面图形相对于平移系的转动（相对运动）平面运动的分解平面运动的分解——基点的选择平面运动的分解——基点的选择平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置选择有关。转动角速度与基点的位置无关平面运动的分解——基点的选择因为平移系(动系)相对于定参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度。平面运动的分解——基点的选择如图，平面图形S在Δt时间内从位置I（AB）运动到位置II（A'B'）。以A为基点：随基点A平动到A'B''后，绕基点转Δ1角到A'B'以B为基点：随基点B平动到A''B'后，绕基点转Δ2角到A'B'图中看出：ABA'B''A''B'，Δ1

＝Δ2，于是有：AB杆作平面运动平面运动的分解基点的选择：比较曲柄连杆机构平面运动的分解——基点的选择平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的运动规律与基点选取无关（即在同一瞬间，平面图形绕任一基点转动的与都是相同的）。基点的选取是任意的（通常选取运动情况已知的点作为基点）。在同一瞬时，平面运动的刚体只有一个角速度、只有一个角加速度。平面运动的分解

基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平面运动的特征量：

对于分解为平移和转动的情形，平面图形上任选基点A的速度vA，以及平面图形的角速度，是描述刚体平面运动的特征量。

vA描述图形跟随基点的平移

描述相对于基点平移系的转动平面运动的分解平面图形内各点的速度

二、平面图形内各点的速度求平面图形内各点的速度的基点法速度投影定理求平面图形内各点的速度的瞬心法根据速度合成定理，则B点速度为：解：取A为基点，取B为动点，则B点的运动可看作牵连运动为随A点的平动和相对运动为绕A点的转动（圆周运动）的合成。已知平面图形内A点的速度和图形的角速度，求另一点B点的速度。平面图形内各点的速度——基点法求平面图形内各点的速度的基点法平面图形内各点的速度——基点法速度合成定理：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和：其中

由于平面图形内A、B两点的位置是任意选择的，因此速度合成定理：平面图形——速度投影定理速度投影定理表达了平面图形上任意两点速度之间的关系。注意恒成立关系式：因此将速度合成定理在AB两点的连线上投影，有AB平面图形——速度投影定理速度投影定理可以通过刚体的定义直接得到！AB——速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。即：也可以写成：1、问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算将会有所简化。于是自然要提出问题：在某一瞬时平面图形上是否存在一点其速度等于零？如果存在的话，该点的位置又如何确定？2、速度瞬心的定义

在某一瞬时必唯一存在一点，该点的速度等于零，称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。平面图形——速度瞬心法求平面图形内各点的速度的瞬心法3、确定速度瞬心位置的几种方法

（1）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点P为速度瞬心。平面图形——速度瞬心法ABCvBvCvA（2）已知某瞬时平面图形上A、B两点速度的方向，且两个速度矢量不平行，过A、B两点分别作速度的垂线，交点Cv（或P）即为该瞬时的速度瞬心。平面图形——速度瞬心法（3）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，方向相同，并且都垂直于两点的连线。平面图形——速度瞬心法平面图形——速度瞬心法（4）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。（5）已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。瞬时平动——瞬心无穷远速度瞬心的特点平面图形——速度瞬心法1、瞬时性——不同的瞬时，有不同的速度瞬心2、唯一性——某一瞬时只有一个速度瞬心3、瞬时转动特性——平面图形在某一瞬时的运动都可以看作绕这一瞬时速度瞬心作瞬时转动4、速度瞬心处的瞬时速度为零，但加速度一般并不为零（不同于定轴转动）5、刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度一般并不相同（不同于刚体平动）曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。此时连杆BC的图形角速度BC=0，BC杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。设=const.，则:而C点的加速度aC的方向沿AC连线——瞬时平动与平动不同！例题2——瞬时平动解：机构中曲柄OA作定轴转动，连杆AB作平面运动，滑块B作平动。

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀角速度转动。求：当=45º时，滑块B的速度及AB杆的角速度。例题3——曲柄连杆机构（1）基点法研究连杆AB，以A为基点，且vA=l，方向如图示。根据在B点做速度平行四边形，如图示。例题3——曲柄连杆机构（）根据速度投影定理用速度投影法不能求出（2）速度投影法研究连杆AB，A点速度

vA=l，方向OA。

B点速度

vB方向沿BO直线。例题3——曲柄连杆机构（试比较上述三种方法的特点）（3）速度瞬心法研究连杆AB，A点与B点速度的方向已知，因此可确定出P点为速度瞬心。例题3——曲柄连杆机构（）例题4——行星齿轮机构已知:R、r、0，轮A作纯滚动，求解：OA定轴转动，轮A作平面运动，P点为轮A的瞬心。）(例题4——行星齿轮机构

楔块圆盘平面机构中，楔块M倾角=30º，速度v=12cm/s；圆盘半径

r=4cm，与楔块间无滑动。求圆盘的角速度、杆OC的速度以及圆盘上B点的速度。例题5——楔块圆盘平面机构解：杆OC

和楔块M均作平动；圆盘作平面运动，P为圆盘的速度瞬心。例题5——楔块圆盘平面机构）(例题6——曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m，n=300rpm，AB=0.76m，BC=BD=0.53m，在图示位置AB杆水平。求该位置时的BD、AB及vD

。解：杆OA、BC作定轴转动，杆AB、BD均作平面运动。（）研究BD杆，P2为其速度瞬心，BDP2为等边三角形（）例题6——曲柄肘杆压床机构研究AB杆，P1为其速度瞬心例题7——滚轮滑块平面机构

图示瞬时O点在AB中点，=60º，

BCAB，且O、C在同一水平线上，AB=20cm，vA=16cm/s。试求该瞬时AB杆、BC杆的角速度及滑块C的速度。解：轮A、杆AB、杆BC均作平面运动，套筒O作定轴转动，滑块C作平动。取套筒上O点为动点，动系固结于AB杆，静系固结于机架：研究AB杆，P1为速度瞬心：例题7——滚轮滑块平面机构由于va=0，vr沿AB方向，所以ve沿BA方向并与vr反向，从而可以确定AB杆上与O点的接触点（牵连点）的速度方向。）(也可以用瞬心法求BC和vC研究BC杆，以B为基点，由（）例题7——滚轮滑块平面机构作速度平行四边形：vCvCBvBC平面图形内各点的加速度

三、平面图形内各点的加速度求平面图形内各点加速度的基点法关于加速度瞬心的概念平面图形内各点的加速度

求平面图形内各点加速度的基点法已知：平面图形S内一点A的加速度aA和图形某一瞬时的、。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。解：取A为基点，将平动坐标系固结于A点；取B为动点，则B点的运动可分解为随基点的平移运动（牵连运动）和绕基点的圆周运动（相对运动）。平面图形内各点的加速度

（加速度）基点法由牵连运动为平动时的加速度合成定理：可得：其中：方向BA，指向与一致方向沿AB连线，指向A点平面图形内各点的加速度

讨论：（1）基点的相对性以A为基点：以B为基点：ABaBaBaBAaABaTABanABaAaAaTBAanBA（2）平面图形一点的加速度表达式最多可以有六项。平面图形内各点的加速度

关于加速度瞬心的概念

由于atBA

、anBA的大小和方向随B点位置的改变而变化，所以总可以在平面图形内找到一点Q，在此瞬时，其相对加速度的大小恰与基点A的加速度aA等值反向，Q点的绝对加速度aQ=0，Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心。

一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点。一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式，图形上任意两点A、B加速度的投影关系不成立，即：当某瞬时图形=0（瞬时平动）时，才成立投影关系：即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。平面图形内各点的加速度

由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求平面图形上各点的加速度或图形的角加速度。由于该式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，因此：（）半径为R的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心O点的速度vO

及加速度aO，求车轮与轨道接触点P的加速度。解：轮O作平面运动，P点为速度瞬心，先求出和：例题8——车轮滚动（）取O点为基点：由此可知，速度瞬心P的加速度并不等于零，它不是车轮的加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，速度瞬心P的加速度指向轮心。做出加速度矢量图，其中：

例题8——车轮滚动方向大小？？√√R√Rw2√解：(a)AB作平动：已知四连杆机构的O1A=O2B=R，图示瞬时O1A/O2B，试问在(a)、(b)两种情况下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)例题9——四连杆机构例题9——四连杆机构(b)(b)AB作平面运动，在图示瞬时作瞬时平动，因此：将加速度向AB连线投影（连杆AB作瞬时平动）：例题10——曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构的曲柄长度与滚轮半径均为15cm，曲柄转速n=60rpm。求：当=60º时（OAAB）滚轮的角速度Ｂ与角加速度Ｂ。（）P1为AB杆的速度瞬心，P2为轮B的速度瞬心：解：OA定轴转动，AB杆和轮B作平面运动。要求出滚轮的Ｂ与Ｂ，应当先求出vB与aB

例题10——曲柄滚轮机构P2P1vB取A为基点：作加速度矢量图，将上式向BA线上投影：点P2为轮B

的速度瞬心：例题10——曲柄滚轮机构方向大小

？√√√

？√√√其中：所以：刚体的平面运动例题四、运动学问题综合应用例题如图，A、B为平面运动刚体上的两点，以A为基点（动系固结在刚体上），其位置矢量关系为：刚体平面运动——矢量法推导yxorBrArABAB对t

求导，求B点的速度：再次对t

求导，求B点的加速度：刚体平面运动——矢量法推导yxorBrArABAB（一）概念与内容

1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动。

3.刚体平面运动的分解：随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）刚体的平面运动4.基点可以选择平面图形内任意一点（作为基点），通常选择运动状态已知的点。5.瞬心（速度瞬心）任一瞬时，平面图形或其延拓部分都唯一存在一个速度为零的点。瞬心的位置随时间而改变。每一瞬时平面图形的运动可视为绕（该瞬时）瞬心的转动，这种（瞬时）绕瞬心的转动与定轴转动不同。若=0，瞬心位于无穷远处，刚体上各点速度相同，刚体作瞬时平动，瞬时平动与平动不同。刚体的平面运动6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。7.求平面图形上任一点速度的方法：刚体的平面运动（基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例）基点法：速度投影法：速度瞬心法：当瞬时平动（=0）时也可采用投影法：（基点法在=0时的特例）。8.求平面图形上一点加速度的方法 基点法：9.刚体平面运动方法与点的合成运动方法的应用条件平面运动方法适用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系。点的合成运动方法适用于确定两个相接触的物体在接触点处有相对运动时运动关系的传递。刚体的平面运动（二）解题步骤和要点

1.

根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式，注意每一次的研究对象只是一个刚体。

2.

对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度（或图形角速度）问题的方法；用基点法求加速度（或图形角加速度）

3.

作速度分析和加速度分析，求出待求量。（基点法：恰当选取基点，作速度平行四边形和加速度矢量图；速度投影法：不能求出图形；速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）刚体的平面运动例题11——摇杆与套筒摇杆OB以角速度=2rad/s绕轴O转动，长l=200mm的套筒AB用铰链连接滑块A，可沿摇杆OB滑动，h=100mm。求

=30º时套筒AB上B点的速度大小。解：（1）坐标法，写出B点的坐标：上式对t求导，注意当t，所以d/dt=-：当

=30º时，vBx=200mm/s，vBy=-613mm/s，则：例题11——摇杆与套筒解：（2）刚体平面运动法：当

=30º时，vA=－267mm/s以A为基点，求套筒AB上B点的速度：注意到套筒AB与摇杆OB的角速度相同，则：例题11——摇杆与套筒解：（3）点的合成运动法：先选动系为摇杆OB；动点为套筒AB上A点再选动系：摇杆OB；动点：套筒AB上B点式中vAe=OA·=231mm/s，可得：

vAr=vAe·tan=133mm/s

vAa=vAe/cos=267mm/s式中vBe=OB·=631mm/s，注意到vBr=vAr，则：例题12——曲柄摆杆滑块机构求：该瞬时O1D摆杆的角速度曲柄OA=r以匀角速度转动，连杆AB=l的中点C处连接一滑块C，可沿导槽O1D滑动，图示瞬时OAO1三点在同一水平线上，OAAB，=30º。解：曲柄OA、摆杆O1D均作定轴转动，连杆AB作平面运动。采用点的合成运动方法求O1D杆上与滑块C接触点（牵连点）的速度：例题12——曲柄摆杆滑块机构连杆AB在图示位置作瞬时平动，所以：动点——连杆AB上C点（或滑块C）动系——摆杆O1D绝对运动——曲线运动相对运动——直线运动牵连运动——定轴转动这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。例题12——曲柄摆杆滑块机构根据作速度平行四边形，所以：）(例题13——导槽滑块机构在图示瞬时，杆AB的速度u、杆CD的速度v为已知常数，角已知，且AC=l，求导槽AE的角速度。解：（1）应用点的合成运动方法确定CD杆上C点与AE杆上接触点C’之间的速度关系：取CD杆上C为动点，动系固结于导槽AE，则：（2）应用平面运动方法确定导槽AE上A、C’点之间速度关系：例题13——导槽滑块机构以上两式联立，有：作速度矢量图投至轴，注意到vC＝v，vA＝u，有：（）例题13——导槽滑块机构解：OA定轴转动，AB、BC均作平面运动，滑块B和C均作平动。（1）求C点的速度——先对AB杆应用速度投影定理：再对BC杆应用速度投影定理：

在配气机构中，OA=r,以等角速度0转动，在某瞬时

=60º，