ch2轴向拉压变形,超静定

§2-7拉压杆的变形计算FFbhL

一、纵向变形（axialdeformation):纵向应变（axialstrain):1四、虎克定律(Hooke’slaw)式中E称为弹性模量(modulusofelasticity)，EA成为

抗拉（压）刚度

[tensile(compressive)rigidity]。实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比。上式改写为2例题1：图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20KN，F2=35KN，F3=35KN。弹性模量为E=210GPa

l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图(2)杆的最大正应力max(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3111111111111l1l2l3ABCD3F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDR(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图。F1-FN1+F1=0FN1=20KN

（+）FN14F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDRFN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）15+-20505F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDRmax=176.8MPa发生在AB段。FN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）6(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3111111111111l1l2l3ABCD7例题2：一等直杆受自重及集中力F作用。杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E，许用应力为[]。试分析杆的自重对强度的影响，并求杆的伸长。lFmmFxmmAxFN(x)解：FN(x)=F+Ax+F+AlFFN(x)

=F+Al8例题3：图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成=300的角度，长度均为l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为E=210GPa。设在点处悬挂一重物F=100kN，试求A点的位移A。ABC129AFxy解：列平衡方程，求杆的轴力ABC12FN1FN210以两杆伸长后的长度BA1

和CA2为半径作圆弧相交于A，即为A点的新位置。AA

就是A点的位移。A12BC1A2A111A12BC1A2A1因变形很小，故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于A可认为12应变能密度——单位体积内的应变能，以表示。13§2-8轴向拉压变形能PLL

oLBPA式中——轴力，A——截面面积变形能（应变能）:弹性体在外力作用下产生变形而储存的能量，以表示。14一、静定与超静定问题

2-9拉、压超静定问题静定问题

杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。超静定问题

只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。15超静定的次数:未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。二、超静定问题求解方法解超静定问题的步骤确定静不定次数；列静力平衡方程2）根据变形协调条件列变形几何方程3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。4）联立补充方程与静力平衡方程求解。n=未知力的个数-独立平衡方程的数目16三、一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)

例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力F的作用，如图所示。计算约束反力。

FblBAC17BAC变形协调条件是：杆的总长度不变=RByFBRAACFblBAC18变形几何方程为：BAC=RByFBRAACFblBACa19补充方程为平衡方程为BAC=RByFBRAACFblBAC20

例题：设1、2、3

三杆用绞链连结，如图所示、l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3

杆的长度l3,横截面积A3,弹性模量

E3。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力。

CABDF12321CABDF123解：平衡方程为xyFAFN2FN3FN122CABDF123这是一次超静定问题﹗由于问题在几何，物理及受力方面都是对称。所以变形后A点将沿铅垂方向下移。xyFAFN2FN3FN123CABDF123A123┕┕补充方程为24CABDF123A123┕┕补充方程平衡方程25ABC123408080F5075变形协调条件？变形后三根杆与梁仍绞接在一起。变形几何方程？261温度应力由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。2-10温度应力和装配应力27

例题1

试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高Dt

时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。第六章简单的超静定问题(a)28

解:

1.

由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。

2.

以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt和“多余”未知力FN产生的缩短变形DlF分别如图所示。第六章简单的超静定问题293.

变形相容条件为4.

补充方程为5.

由此得多余未知力6.

杆的横截面上的温度应力为30若该杆为钢杆而l

=1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当温度升高Dt

=40˚时有第六章简单的超静定问题（压应力）312装配应力超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力──装配内力，以及相应的装配应力。32图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点A'

处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A'

处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。第六章简单的超静定问题(a)(b)33求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为第六章简单的超静定问题(拉力）(a)34至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为第六章简单的超静定问题35

例题6-3

两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1,2(图a)，其长度l=200mm，直径d=10mm。试求将长度为200.11mm，亦即De=0.11mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20mm×30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。第六章简单的超静定问题36

解：1.

如图d所示有三个未知的装配内力FN1,

FN2,

FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这仍然是一次超静定问题。第六章简单的超静定问题(d)372.变形相容条件(图c)为这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。3.利用物理关系得补充方程：第六章简单的超静定问题384.将补充方程与平衡方程联立求解得：所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。5.各杆横截面上的装配应力如下：第六章简单的超静定问题（拉应力）（压应力）39§2-11

应力集中的概念应力集中（stressconcentration）：由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。40按线弹性理论或相应的数值方法