郑州大学数字信号处理复习

数字信号处理

第一章离散时间信号与系统

一、离散信号（序列）的表示

（T表示抽样间隔）表示方法：（1）数学表达式（2）图形表示1.1离散时间信号——序列二、信号的运算1、信号的移位：x(n)→x(n-m)

2、线性卷积：上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,则y(n)的长度为L+M-1。

三、几种常用序列1、单位抽样序列δ(n)（1）定义式（2）δ(n)的性质

例：求（1）（2）2、单位阶跃序列u(n)（1）定义式3、矩形序列RN(n)（1）定义式（2）RN(n)用来截断序列例：序列x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+2δ(n-2),若序列y(n)=x(n-1)R3(n),求y(n)的数学表达式。4、正弦型序列要求：会判断正弦型序列的周期性四、正弦序列的周期性的周期有三种情况：是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；

是有理数，（其中P、Q为互质整数)，则x(n)是周期序列，周期为P；

是无理数，则x(n)不是周期序列。

例1：序列是否周期序列？若是，周期是多少？例2：信号以抽样间隔T=0.5对x(t)进行抽样得到离散信号x(n),（1）请问x(n)是否为周期序列？如果是，写出x(n)的周期；（2）若欲对x(t)进行信号分析，则时域应至少取多少个抽样点？为什么？五、用δ(n)表示任意序列例1：已知序列x(n)=δ(n)-4δ(n-1)+3δ(n-2),y(n)=x(n-1),求y(n)的数学表达式。画图表示x(n)和y(n).例2：已知f(n)如图，写出f(n)表达式

1.2线性、移不变（LSI）系统一、线性系统：若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]，则a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]例：判断下列系统是否线性系统。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)二、移不变系统：若y(n)=T[x(n)]，则y(n-m)=T[x(n-m)]。例：判断下列系统是否线性移不变系统。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)三、LSI系统的单位抽样响应h(n)（1）定义：当输入信号为δ(n)，系统的零状态响应称为单位抽样响应，用h(n)表示。（2）h(n)只能用来描述线性移不变系统。（3）若线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，当输入信号为x(n)时，系统的输出为：y(n)=x(n)*h(n)四、因果系统

1、因果系统的定义：因果系统是指某时刻的输出只取决于此时或此时之前时刻的输入的系统。例：判断下列系统是否因果系统。

y(n)=x(n-2)，

y(n)=x(n+5)例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统?A.h(n)=δ(n) B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n) D.h(n)=e-20nu(n)2、线性移不变系统因果性的判断：当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。

1、稳定系统的定义：稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。例：判断下列系统是否稳定系统。

y(n)=x(n-2)

y(n)=nx(n)五、稳定系统2、线性移不变系统稳定性的判断：

若，系统是稳定系统。例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果稳定系统?A.h(n)=δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n)D.h(n)=e-20nu(n)1.4连续时间信号的抽样1、对连续信号进行时域抽样会使信号的频谱产生周期延拓。

2、奈奎斯特抽样定理：若信号频率上限为fc，要想对其抽样后由抽样信号恢复出原信号，则抽样率fs应满足称为奈奎斯特抽样频率，称为乃奎斯特抽样间隔。

3、抽样信号的恢复：若连续信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过理想低通滤波器即可完全不失真恢复原信号。

第二章Z变换与离散时间傅里叶变换2.2z变换定义与收敛域一、z变换公式例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的z变换X(z)解：掌握X(z)收敛域与序列x(n)的关系若X(z)收敛域为，则x(n)为右边序列（因果序列），反之亦然，则x(n)为左边序列（逆因果序列），反之亦然；若X(z)收敛域为，则x(n)为双边序列，反之亦然；若X(z)收敛域为，则x(n)为有限长序列，反之亦然。若X(z)收敛域为二、z变换的收敛域：使X(z)收敛的z的范围。2.3Z反变换1、极点：

使的z的值称为X(z)的极点。收敛域内不可能有极点。极点决定收敛域的边界。

例：求的极点。X（z）有几种可能的收敛域？

2、X(z)有几种收敛域，就对应几种x(n)。一、掌握收敛域在Z反变换中的作用。二、掌握用留数法求Z反变换的方法例：已知求X(z)的反变换x(n)。一、z变换的时移特性：若，则2.4Z变换的性质二、z变换的卷积特性：2.6序列的傅里叶变换一、序列的傅里叶变公式：

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的频谱X(ejω)解：

二、序列x(n)的直流分量例：若x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2),

则x(n)的直流分量X(ej0)=

。2.9傅里叶变换的一些对称性质3、实偶序列的傅里叶变换是实偶函数。1、实序列的傅里叶变换的幅度是偶函数，相位是奇函数。4、实奇序列的傅里叶变换是虚奇函数。2、实序列的傅里叶变换的实部是偶函数，虚部是奇函数。2.10离散系统的系统函数，系统的频率响应二、因果稳定系统的H(z)的收敛域特征：因果系统H(z)的收敛域包含∞，即稳定系统H(z)的收敛域包含单位圆因果稳定系统的H(z)的收敛域同时包含∞和单位圆，即因果稳定系统的H(z)的全部极点都在单位圆内。一、系统函数的定义及其与抽样响应h(n)的关系例

：因果系统的收敛域是

例：若某系统为稳定系统，则其系统函数的收敛域为可能是（）

A.｜z｜>7B.｜z｜<0.3C.0.1<｜z｜<7D.1<｜z｜<7例：已知线性时不变系统的系统函数若该系统因果稳定，则（）三、系统函数与差分方程的关系1、差分方程的形式：例：y(n)+2y(n-1)+5y(n-2)=2x(n)2、由差分方程求系统函数H(z)例：一个线性移不变系统由方程y(n)-3.2y(n-1)+2.4y(n-2)=x(n)描述，

(1)求系统函数H(z)；（2）该方程可以描述几种不同的系统？

(3)若系统是因果系统，求其单位抽样响应。四、系统频率响应的几何确定法1、系统频率响应的定义称为系统的频率响应。2、频率响应曲线与H（z）零、极点的关系

靠近单位圆的零点位置对应幅频响曲线的谷值位置，

靠近单位圆的极点位置对应幅频响曲线的峰值位置。

例：某系统的系统函数为：画出H(z)的零、极点分布图；粗略画出系统的幅频响应曲线。第三章离散傅里叶变换DFT3.2傅里叶变换的几种可能形式信号时域与频域特性的对应关系时域：离散连续周期非周期频域：周期非周期离散连续例：判断对错：1、x(n)是一个离散周期信号，则它的频谱一定一个离散周期函数。2、序列的频谱一定是周期函数。3.5离散傅里叶变换一、掌握DFT公式

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的DFT解：

二、DFT的物理含义3.6DFT的性质一、序列的补零以及补零序列的DFT二、序列的圆周移位表示y(n)是x(n)的圆周移位，掌握圆周移位的过程。例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1)-4δ(n-2),若序列y(n)=x（(n-1)）3R3(n),试分别画图表示x(n)和y(n)。三、序列的圆周卷积与线性卷积的关系3.8利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换对1、频谱混叠：是指信号频谱周期延拓时发生混叠的现象。产生原因：时域抽样不满足抽样定理。改善方法：减小抽样间隔。一、利用DFT计算连续时间信号的傅立叶变换可能出现的三个主要问题：2、频谱泄露：是指信号频谱分布加宽，高频含量增加的现象。产生原因：时域信号截断。改善方法：增加时域信号长度或采用更平滑的截断方式。3、栅栏效应：是指对连续时间信号的连续频谱进行频谱分析时，其中部分频谱未被抽样、未能观察到的现象。

产生原因：是由于采用DFT对连续信号进行离散傅里叶变换，对频谱进行了抽样。

改善方法：通过时域补零，可以增加频域抽样点，改善“栅栏效应”。

二、谱分析主要参数的计算若谱分析处理器要求最高频率为fc,频率分辨率为Fo,请确定以下参数：（1）最小记录长度（2）最大抽样间隔（3）一个记录中的最少抽样点数,N通常取2的整数次幂。

例：已知某FFT谱分析处理器要求最高频率≤1kHz,频率分辨率≤2Hz,

请确定以下参数：（1）最小记录长度；（2）最大抽样间隔；（3）一个记录中的最少抽样点数。解：（1）最小记录长度（2）最大抽样间隔（3）一个记录中的最少抽样点数N取1024。一、FFT的基本运算单元是碟形运算二、用基2时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与成正比4.3按时间抽取的基2FFT算法第四章快速傅里叶变换FFT4.2直接计算DFT的问题及改善途径一、FFT是DFT的快速算法二、直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与N2成正比用FFT实现线性卷积的步骤设序列x(n)和h(n)的长度分别为M和L，则用FFT实现线性卷积的步骤是（令N=L+M-1）：

（1）对x(n)计算N点FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）对h(n)计算N点FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）计算Y(k)=X(k)H(k)；（4）对Y(k)计算N点IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。4.10线性卷积的FFT算法例：已知系统的h(n)长度为11，现采用h(n)对一个33点输入序列x(n)滤波，请写出用FFT实现该滤波过程的步骤。解：令N=11+33-1=43

（1）对x(n)计算N点FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）对h(n)计算N点FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）计算Y(k)=X(k)H(k)；（4）对Y(k)计算N点IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。

第五章数字滤波器结构一、掌握IIR滤波器的几个特点二、掌握IIR滤波器的典范性、级联型结构。

5.2IIR滤波器的基本结构例：已知系统函数（1）该系统函数可以描述几种不同的系统？（2）求出因果系统的单位抽样响应;（3）

画出H（z）的典范型结构。5.3FIR滤波器的基本结构一、掌握FIR滤波器的几个特点二、掌握FIR滤波器的快速卷积结构第六章IIR滤波器设计方法6.2最小与最大相位延迟系统掌握最小相位延迟系统的零、极点特点6.3全通系统一、掌握全通系统的零、极点特点二、掌握全通系统的应用利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，由S平面到Z平面的映射变换应遵循的两个基本原则：

1、s左半平面映射到z平面单位圆内；

2、s平面的虚轴映射到z平面单位圆上。6.4利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6.5冲激响应不变法一、冲激响应不变法主要的优缺点优点：（1）数字时域特性可以很好地模仿模拟时域特性；（2）数字角频率与模拟角频率是线性关系，因此不会产生频率幅度及相位特性的畸变。缺点：s与z平面不是一一对应关系，存在频谱混叠。二、冲激不变法设计中模拟滤波器与数字滤波器的对应关系：

（1）h(n)与ha(t)的关系：

（2）z与s的关系：（3）模拟角频率Ω与数字角频率ω的关系：

（4）H(z)与Ha(s)的关系：若则例：已知模拟低通滤波器的系统函数为采用冲激响应不变法将其变换为数字滤波器，写出数字滤波器的系统函数H(z)的表达式（抽样间隔T=1）。解：6.7双线性变换法一、双线性变换法主要的优缺点优点：s与z平面一一对应，不存在频谱混叠。缺点：数字角频率与模拟角频率是非线性关系，因此会产生频率幅度及相位特性的畸变。应用：双线性变换只能用来设计频率特性为分段常数的IIR滤波器二、双线性法中模拟滤波器与数字滤波器的对应关系：

（3）H(z)与Ha(s)的关系（数字化方法）：（2）模拟角频率Ω与数字角频率ω的关系：三、掌握双线性法中的指标预畸

（1）z与s的关系：（在设计低通滤波器时，c=2/T）例：冲激响应不变法和双线性变换法都是将一个模拟滤波器的系统函数H(s)变换成一个数字滤波器的系统函数H(z)的映射方法，请回答下列问题：（1）最小相位模拟系统的特点是：所有极点和零点均在左半s平面上。如果要把一个最小相位模拟滤波器变换成一个最小相位数字滤波器，请问上述两种映射方法能否满足要求？给出理由。（2）全通模拟系统的特点是：所有极点均在左半s平面sk处，而全部零点都在右半s平面-sk处。如果要把一个全通模拟滤波器变换成一个全通数字滤波器，请问上述两种映射方法能否满足要求？给出理由。6.8常用模拟低通滤波器特性掌握巴特沃斯低通滤波器的设计方法6.10IIR数字滤波器设计掌握巴特沃斯低通数字滤波器的设计步骤和具体过程指标变换——模拟滤波器设计——变换为数字滤波器第七章FIR滤波器设计方法FIR滤波器与IIR滤波器的比较（单位抽样响应h(n)、H(z)极点分布以及运算结构三个方面）：

1、IIR滤波器的h(n)长度无限，因此不可能是线性相位，而

FIR滤波器h(n)长度有限，可以做到线性相位。2、IIR滤波器H(z)在有限z平面内（即z≠0且z≠∞）一定有极点存在，所以可能不是因果稳定；而FIR滤波器的全部极点都分布在z=0处，所以一定因果稳定。3、IIR滤波器一定要采用递归结构实现，而FIR滤波器可以采用非递归运算结构实现。7.1引言例：下列特征不属于FIR滤波器的是A.h(n)有限长B.可能不稳定C.非递归结构D.可能线性相位一、线性相位FIR系统(0≤n≤N-1)的单位抽样响应应满足的条件是h(n)=±h(N-1-n)7.2线性相位FIR滤波器特点二、线性相位FIR滤波器的相位特点三、线性相位FIR滤波器的幅度特点：四种类型线性相位FIR滤波器四、线性相位FIR滤波器的零点特点例3：某滤波器的单位抽样响应h(n)=Sa[100π(n-5)]R11(n)（1）它是何种数字滤波器？（2）它是因果稳定系统吗？为什么？（3）它是线性相位的吗？为什么？7.3窗函数设计法一、窗函数的特点：（1）窗函数的长度只与滤波器的过渡带宽度有关，与滤波器阻带最小衰减无关；（2）窗函数的形状与滤波器的过渡带宽度和滤波器阻带最小衰减都有关系；（，N为窗函数长度）

二、用窗函数法设计FIR数字滤波器的步骤（一）根据指标写出理想低通滤波器hd（n）表达式：首先根据指标计算滤波器通带截止频率

理想低通滤波器hd（n）表