第一章考研咨询

一、基本概念第一章多项式1.整除:在g(x)|f(x)中，没有限制g(x)≠0，因而整除概念比除的概念要广一些；当g(x)|f(x)且g(x)≠

0时,有时用表示g(x)除f(x)所得的商式.2.最大公因式；3.互素；4.数域P上的不可约多项式；5.k重因式；6.本原多项式.二、基本结论1.带余除法定理；如：设f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,则f(12)=

.2.整除的若干性质；一些简单性质：(1)任一多项式一定能整除它自身；(2)任一多项式一定能整除零多项式；(3)零次多项式能整除任一多项式；(4)零次多项式只能被零次多项式整除；(5)零多项式只能整除零多项式.注：整除与数域的关系：多项式的整除关系不会因为系数域的扩大而改变.3.最大公因式的表示定理；4.两个多项式互素的充分必要条件；5.互素的若干性质；6.不可约多项式的性质；注：多项式的可约性与它所属的数域有关;并且可约与不可约都是对次数大于0的多项式而言的，因此对零次多项式和零多项式而言，既不是可约的，也不是不可约的.7.因式分解定理；8.多项式f(x)的重因式与f/(x)的重因式之间的关系;9.多项式f(x)没有重因式的充要条件；10.多项式的有理根的相关定理；11.多项式可约与数域的关系；13.Eisenstein判别定理.12.多项式的根的相关结论；注：多项式的根与数域的关系.三、基本方法

1.关于最大公因式的证明，一般有以下几种方法：

(1)利用定义；

(2)证明等式两边能互相整除；

(3)如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且g(x)≠0，那么(f(x),g(x))=(g(x),r(x))；

(4)如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有u(x)，v(x)∈P[x]使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，则d(x)是f(x)，g(x)的一个最大公因式.

2.常常利用一些特殊多项式来求一个满足要求的多项式.例如：求出所有的多项式f(x)，使得(x-1)f(x+1)-(x+2)f(x)≡0.于是g(x)为一个以1为周期的多项式，那么g(x)只能是任意常数，那么满足题目条件的所有多项式f(x)即为：f(x)=C0(x+1)x(x-1)

（其中，C0为任意常数）□解：由题知令：那么有：g(x)=g(x+1)

3.常常利用多项式的根来讨论多项式的可约性.例如：设a1,a2,…,an为互不相同的整数，g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，证明：g(x)在有理数域Q上不可约。证明:假设g(x)在有理数域上可约，由g(x)的首项系数是1，可知它必然是一个本原多项式。对于本原多项式，在有理数域上可约等价于在整数集合上可约，于是存在两个首项系数为1的整系数多项式f(x)，k(x)，使得:g(x)=f(x)k(x)，注意到g(ai)=-1(i=1,2,…,n)。于是f(ai)k(ai)=-1(i=1,2,…,n)，注意到f(ai)，k(ai)是整数，显然有f(ai)+k(ai)=0(i=1,2,…,n).由f(x)，k(x)的次数均小于g(x)的次数可知l(x)=f(x)+k(x)的次数小于n,又由l(x)有n个不同的根ai

(i=1,2,…,n)，知l(x)=0，于是f(x)=-k(x)，可得g(x)=-(k(x))2≤0，而由g(x)的首项是xn，知当n足够大时，总可以使得g(x)>0，这将导致矛盾。于是g(x)在有理数域上不可约。□四、本章选修内容1.多元多项式；2.对称多项式.1.基本习题：8;10;14;18;20;21;24;25.五、本章重点掌握的习题2.补充习题：1；2；3；6；12.一、基本概念第二章行列式1.逆序、逆序数；2.n级行列式；二、基本结论行列式的若干性质.三、基本方法掌握行列式的基本计算方法四、行列式的应用：1.解线性方程组；2.求矩阵的秩；3.判断向量的相关性；4.求矩阵的特征值.五、本章选修内容Laplace定理与行列式的乘法规则.1.基本习题：4；6；14；17；18.六、本章重点掌握的习题2.补充习题：3；4.一、基本概念第三章线性方程组1.线性组合，线性表出；2.向量组等价；3.线性相关；4.线性无关；5.极大线性无关组；6.向量组的秩；7.矩阵的行秩与列秩；8.矩阵的秩；9.基础解系；二、基本结论1.向量组部分相关，整体相关；整体无关，部分无关2.向量组线性相关与线性无关与齐次线性方程组的解的关，以及与系数矩阵秩的关系；3.向量组的线性无关和相关与延长向量组和缩短向量组的关系；4.向量组的向量个数与向量组的线性相关（或无关）的关系；5.向量组的极大无关组的性质；6.矩阵的秩的相关结论；7.系数矩阵的秩与方程组的解的关系；例如：设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,则：若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩r(A)≥r(B).于是若Ax=0与Bx=0同解,则秩r(A)=r(B).证明：设是Ax=0的基础解系,是Bx=0的基础解系.因为Ax=0的解均是Bx=0的解,所以必可由线性表出,又因线性无关,故必有t≤s,即t=n-r(A)≤n-r(B)=s从而有r(A)≥r(B),即结论正确.8.线性方程组的通解形式及其求法.例如：设A是n阶矩阵,秩r(A)=n-1.若矩阵A各行元素之和均为0,求方程组Ax=0的通解；若行列式|A|的代数余子式,求方程组Ax=0的通解.又如：已知4阶方阵均为4维列向量,其中线性无关,,如果,求线性方程组的通解.3.我们称阶梯形矩阵中每行第一个不为零的元素为主元，我们称满足以下两个条件的阶梯形矩阵为行最简形：(1)主元都等于1.1.，i=1,2,…,s,令,如果只有零解，则线性无关。如果有非零解，则线性相关，这是证明线性无关（或线性相关）的一种基本方法.2.将线性方程组用矩阵表成AX=b，或用向量表成，将线性方程组有解与向量的线性表示互相转化，会给解题带来一些方便.

三、基本方法(2)主元所在的列除主元以外全为零.4.矩阵的行初等变换不改变列向量之间的线性关系.

将齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A用行初等变换化成行最简形，将主元所在的未知量保留在左边，其它未知量移到右边，容易求出基础解系.

将非齐次线性方程组AX=b的增广矩阵用行初等变换化成行最简形，也容易求它的通解.

令A=(aij)∈Pn×s,如果

,

,j=1,2,…,s.设Q是n阶可逆矩阵，用Q左乘上式两边,有:

如果,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示，可将作列构成矩阵A，然后用行初等变换将A化成行最简形，则主元所在的列为的一个极大无关组，其余的列也容易用主元所在的列线性表示.四、本章选修内容二元高次方程；1.基本习题：3；6；7；14；16；19；22；24；25；26.五、本章重点掌握的习题2.补充习题：2；4；8；9；10.一、基本概念第四、八章矩阵、λ-矩阵1.逆矩阵；2.转置矩阵；3.伴随矩阵；4.初等矩阵；5.矩阵等价；6.矩阵乘积.7.对称矩阵、反对称矩阵；8.上（下）三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵；9.λ-矩阵的秩；10.λ-矩阵可逆；11.λ-矩阵的初等变换;12.λ-矩阵的等价；13.λ-矩阵的标准形；14.λ-矩阵的k阶行列式因子、不变因子、初等因子.二、基本结论1.矩阵乘法的运算律；2.可逆矩阵的性质及运算律；3.矩阵秩的性质；4.矩阵可逆的充要条件；8.λ-矩阵的性质；9.λ-矩阵等价的充要条件；10.矩阵相似的充要条件；11.复数域上的矩阵与Jordan标准形的关系的相关结论；5.初等矩阵的性质作用；6.λ-矩阵的可逆的充要条件；7.λ-矩阵的秩的标准形的性质；

1.若A可逆,求A-1一般有两种方法(当A具体给出时)(1)定义法；(2)伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|；(3)初等变换方法，(A,E)（初等行变换）→(E,A-1).三、基本方法例.(大连理工大学,2005年)设均为n维列向量:,则A=I+可逆,A-1=

.

2.构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常用的、有效的方法.

3.如果已知条件中出现A*，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E这一结论.

4.分块矩阵的相关运算。例如：设有分块矩阵,其中A,D都可逆，试证：(1)(2)(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1.

证明:(1)对矩阵作分块矩阵的初等行变换如下：

两边同时取行列式，有：

即有：

(2)(A-BD-1C)(A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1)=(A-BD-1C)A-1-(A-BD-1C)A-1B(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-AA-1B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1B(CA-1B-D)-1CA-1

=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1((CA-1B-D)+D)(CA-1B-D)-1CA-1=I-BD-1CA-1-B(CA-1B-D)-1CA-1+BD-1CA-1+B(CA-1B-D)-1CA-1

=I即有：(A-BD-1C)-1=A-1-A-1B(CA-1B-D)-1CA-1□

5.求n阶矩阵A的最小多项式的方法：

(1)A的最小多项式是A的特征多项式的因式，且与有相同的一次因式(可能重数不同),这样可以确定A的最小多项式的范围.

(2)将化成标准形,就是A的最小多项式。

(3)如果A是分块对角矩阵

Ai的最小多项式是gi(x),i=1,…,s，则A的最小多项式是[g1(x),g2(x),…,gs(x)].

6.求方阵A的Jordan标准形：

(1)先求n阶矩阵A的全部初等因子：

（其中可能相同，指数r1,r2,…,rs也可能相同）则A的Jordan标准形由s个Jordan块构成：一个初等因子对应一个Jordan块Ji

,

(2)利用特征向量的方法求A的Jordan标准形。

A∈Pn×n,如果是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=()，如果是A的ri(ri>1)重特征值，属于有k个线性无关的特征向量，则有k个以为对角元素的Jordan块，这些Jordan块的阶数之和等于ri.

7.求n阶矩阵A的初等因子的方法：

(1)将E-A用初等变换化成标准形，求出A的所有不变因子，然后将每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因子方幂的积，所有这些一次因子式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A的所有初等因子。

(2)先求出A的所有行列式因子.利用求出A的不变因子.然后如(1)求出A的所有初等因子.

(3)用初等变换将化成对角形，用相应结论求出A的所有初等因子。

8.证明n阶复数矩阵A与对角矩阵相似的方法：

(1)A有n个线性无关的特征向量；

(2)A的最小多项式没有重根；

(3)A的初等因子都是一次的。(1)(2)

(3)利用初等因子求不变因子；

9.n阶矩阵A的不变因子，行列式因子，初等因子三者之间的关系：

在A的全部初等因子中,将同一个一次因子(i=1,2,…,s)的方幂的那些初等因子按降幂排列，当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，凑成n个。

(j=1,2,…,s),(rnj≥rn-1j≥…≥r1j)于是：

(4)A的所有初等因子的乘积等于A的所有不变因子的乘积,等于

.基本习题：P197：5；6；12；17；18；19；21；24；26；27.P357:2；5；6.四、本章重点掌握的习题：2.补充习题：P203：3；5；10；12.一、基本概念第五章二次型1.二次型；2.二次型的矩阵；3.非退化线性替换；4.矩阵合同；5.标准形；6.正惯性指数、负惯性指数、符号差；7.正定二次型；8.负定、半正定、半负定、不定.二、基本结论正定矩阵的若干充要条件；充分条件；必要条件.二、基本结论1.正定矩阵的若干充要条件；充分条件；必要条件.2.有关标准形、规范形的相关结论.

2.通常用下面的方法将二次型化为标准形：

(1)用配方法.(2)用初等变换法.(3)先求出二次型矩阵的特征根和特征向量,将其化为平方和的形式,然后再化为标准形.

1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法。三、基本方法

3.将二次型化为规范形注意数域的限制条件.

4.A,B是实对称矩阵,且A正定,则存在可逆矩阵P,使PTAP=E,PTBP为对角矩阵,这一结论是非常有用的.四、本章重点掌握的习题1.基本习题：4；8；10；11；13；16.2.补充习题：2；3；8.一、基本概念第六、七章线性空间与线性变换1.线性空间；2.维数、基、坐标；3.过渡矩阵；4.线性子空间；5.子空间的和与直和；6.同构；7.线性变换；8.线性变换的矩阵；9.矩阵的相似；10.线性变换的特征值与特征向量；11.特征多项式；12.值域、核；13.不变子空间；14.最小多项式；二、基本结论1.线性空间的基的相关结论；3.两个子空间相等的充要条件；2.一个集合成为某个空间的子空间的充要条件；4.子空间的基扩充为包含这个子空间的空间的基的相关结论；5.维数公式；6.直和的若干充要条件；7.两个空间同构的充要条件；8.线性变换的存在性与线性变换的性质;9.线性变换在不同基下的矩阵的关系；10.复数域上的矩阵与对角阵相似的充要条件；11.线性变换的值域与核的相关结论；解答:答案是“m+1”.例如：

设V1,V2是V的子空间,dimV1=dimV2=m,dim(V1∩V2)=m-1,则dim(V1+V2)=

.例如：设V1,V2是n维线性空间V的两个不同的子空间,dimV1=dimV2=n-1,则dim(V1∩V2)=

.解答:答案是“n-2”.

1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2只要证明以下两点:(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.

3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.

2.求线性空间V的基与维数,