正弦稳态电路的分析

电工技术第7章正弦稳态电路的分析本章教学内容7.1阻抗和导纳7.2正弦稳态电路的相量法求解7.3正弦稳态电路的功率7.4功率因数的提高7.5最大功率传输7.6正弦稳态网络函数7.7RLC电路的谐振7.8非正弦周期电流电路的分析本章重点内容阻抗和导纳正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的功率串、并联谐振的概念非正弦周期电流电路的计算7.1阻抗和导纳阻抗

一个不含独立源的二端无源线性网络N0，当它在正弦电源激励下处于正弦稳态时，端口的电流、电压都是同频率的正弦量。阻抗的定义阻抗Z的单位为欧姆（Ω）。

阻抗Z就是二端网络的等效阻抗。

阻抗是一个随频率变化的复数。7.1阻抗和导纳（续1）电阻、电感和电容元件的阻抗欧姆定律的相量形式阻抗的其它表示形式阻抗Z的模

阻抗Z的阻抗角R

阻抗Z的电阻分量

X

阻抗Z的电抗分量

7.1阻抗和导纳（续2）当阻抗的电阻分量不为负时，阻抗角的主值范围为当阻抗的电抗分量X等于零时，称阻抗呈电阻性；当阻抗的电抗分量X大于零时，称阻抗呈电感性、X为感性电抗；当阻抗的电抗分量小于零时，称阻抗呈电容性、X为容性电抗。

当阻抗的电阻分量不为负，阻抗呈电阻性、电感性、电容性时对应的阻抗角范围分别为电阻性电感性电容性7.1阻抗和导纳（续3）对感性电抗X，可由等效电感Leq的感抗替代，即对容性电抗X，可由等效电容Ceq的容抗替代，即

当求出一个不含独立源的二端网络的等效阻抗Z＝R+jX以后，该二端网络就可以用R和jX的串联等效电路来替代。7.1阻抗和导纳（续4）感性阻抗的等效电路、阻抗三角形和电压三角形

容性阻抗的等效电路、阻抗三角形和电压三角形

7.1阻抗和导纳（续5）电感、电容的阻抗均为纯虚数，即只存在电抗分量。

电感的电抗(简称感抗)

当L一定时，感抗与频率ω成正比，因此电感具有通直阻交的性质。电容的电抗(简称容抗)

当C一定时，容抗与频率ω成反比，因此电容具有隔直通交的性质。感抗

容抗

7.1阻抗和导纳（续6）导纳电阻、电感和电容元件的导纳导纳Y的代数形式为

G称为导纳Y的电导分量，B称为导纳Y的电纳分量。B>0时Y称为容性导纳，B<0时Y称为感性导纳。

7.1阻抗和导纳（续7）

当求出一个二端网络的等效导纳Y=G+jB

以后，该二端网络就可以用G和jB的并联来替代，即G和jB的并联为该二端网络的并联等效电路。感性导纳的导纳三角形、并联等效电路和电流三角形

7.1阻抗和导纳（续8）阻抗和导纳的等效变换无源网络的等效变换7.1阻抗和导纳（续9）阻抗(导纳)类似于电阻性电路中的等效电阻(等效电导)。阻抗的串、并联公式、Y－Δ变换公式与电阻性电路中的形式一样，将电阻（电导）换成阻抗（导纳）即可。

串联并联Y－>ΔΔ－>Y7.1阻抗和导纳（续10）相量模型

将正弦稳态电路时域模型中的各电压、电流用相应的电压、电流相量表示，各电路元件都用相量模型表示，所得到的电路模型称为电路的相量模型。根据电路的相量模型，可以直接列写复数代数方程(如KCL方程、KVL方程、元件的VCR方程)，与列写电阻性电路的方程完全类似，只不过一个是列写复数代数方程、一个是列写实数代数方程罢了。

7.1阻抗和导纳（续11）例1

电路如图（a）所示，其中。输入为。试求此电路的阻抗Z和端口电压u。解：

图(a)所示电路的相量模型如图(b)所示，其阻抗为

由欧姆定律得

由相量反变换，有

7.2正弦稳态电路的相量法求解

用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的分析方法、定理和公式可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅仅在于所得电路方程为以相量表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。相量图能够清晰直观地反映电路中各电压、电流之间的大小关系和相位关系，并可用来辅助电路的分析计算。对于某些单电源电路，借助相量图分析，可避免繁琐的复数运算，使计算得到简化。这种借助相量图分析正弦稳态电路的方法称为相量图法。相应地，把根据相量方程求解问题的方法称为相量解析法。相量图法和相量解析法均属相量法的范畴，两者都是依据两类约束的相量形式。有时要把两者结合起来使用。7.2正弦稳态电路的相量法求解（续1）相量图法相量图法一般分为三步：第一步：选择参考相量。第二步：以参考相量为基准，结合已知条件画出电路的相量图。由相量图表示的几何关系，利用初等几何、代数和三角知识求出未知量。例1

已知图示电路中电流表A1、A2的指示均为有效值，求电流表A的读数。7.2正弦稳态电路的相量法求解（续2）解：

选电压为参考相量，画出相量图。

电流表A的读数为14.14A。注意：汇集在节点处电流的有效值一般是不满足KCL的，满足KCL的是电流有效值相量。

对于串联电路，选电流为参考相量；对于并联电路，选电压为参考相量；对于混联电路，灵活选取参考相量。7.2正弦稳态电路的相量法求解（续3）例2

电路如图所示，已知UAB=50V，UAC=78V，求UBC解：

选电流为参考相量，画出相量图（画在黑板上）。

7.2正弦稳态电路的相量法求解（续4）例3

电路如图所示，已知U=200V，I2=10A，，，。求I1、XC、XL和R2。解：

设，则

相量图画在黑板上7.2正弦稳态电路的相量法求解（续5）相量解析法例4

图示电路为一种RC移相电路。试分析与同相位的条件。解：

取两者之比，并化简得

7.2正弦稳态电路的相量法求解（续6）如果与同相位，则

即

若，，则本例电路能够产生电压相位的偏移，是一种所谓移相电路。

7.2正弦稳态电路的相量法求解（续7）例5

已知，。求β等于多少时，和的相位差为90º。解：

令

则

故电流超前电压90º。7.3正弦稳态电路的功率

有关功率和能量的基本概念已在第1章讨论过，但是，在正弦稳态电路中，由于通常包含有电感、电容储能元件，所以，其功率计算要比电阻电路的功率计算复杂，需要引入一些新的概念。正弦交流电路的负载为如图所示的二端网络。设其端口上的电压u和电流i分别为电压u和电流i的相位差为7.3正弦稳态电路的功率（续1）瞬时功率

它时而为正，时而为负。为正表示二端网络吸收功率，为负表示释放功率，这是网络内部存在储能元件所致。平均功率将瞬时功率在一个周期内的平均值定义为平均功率7.3正弦稳态电路的功率（续2）

平均功率的单位为瓦(W)。平均功率也称为有功功率，是电路中实际消耗的功率。功率因数角

功率因数

正弦稳态电路的平均功率不仅与电压、电流的有效值的乘积有关，而且与功率因数有关。不含独立源的二端网络

电阻

电感

电容7.3正弦稳态电路的功率（续3）无功功率无功功率的单位为乏(var)不含独立源的二端网络

电阻

电感

电容

在电路系统中，电感和电容的无功功率有互补作用。工程上认为电感吸收无功功率、电容发出无功功率。7.3正弦稳态电路的功率（续4）视在功率视在功率的单位是伏安（）P、Q、S在复平面上构成一个直角三角形，称为功率三角形。

7.3正弦稳态电路的功率（续5）复功率

对于不含独立源的二端网络，可用该二端网络的等效阻抗Z或等效导纳Y替代，则复功率又可表示为对于整个电路复功率守恒，即有注意：视在功率不守恒。复功率的单位是伏安（）7.3正弦稳态电路的功率（续6）例1

下图为三表法测线圈参数电路，电压表、电流表和功率表的读数分别为50V、1A和30W，电源频率为50Hz，求线圈参数R和L。解：由电表读数可知

线圈参数R为

7.3正弦稳态电路的功率（续7）线圈阻抗的模为又可解得线圈参数L

本题还有其它解法，可写在黑板上。

7.3正弦稳态电路的功率（续8）例2已知电源的电压,电源的频率,电容,电动机的功率,电动机的功率因数(感性)，求负载电路(即虚线框内的电路)的功率因数。解：设，则7.3正弦稳态电路的功率（续9）7.4功率因数的提高提高功率因数的目的和意义提高设备功率容量的利用率抑制供电系统的无功功率，减小线路损耗减小供电线路电流，节省线路材料提高功率因数的方法只能提高线路总的功率因数，不改变设备本身功率因数提高功率因数的同时不能改变设备的工作状态通常的供电系统采用电压源供电方式，各负载并联运行绝大部分的电力设备属于感性负载提高功率因数的方法是在感性设备两端并联补偿电容器7.4功率因数的提高（续1）补偿电容的确定

并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。将和，代入上式又，因此7.4功率因数的提高（续2）例1

已知f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos1=0.6，要使功率因数提高到cos2=0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？解：未并电容时：并联电容后：7.5最大功率传输

在电阻电路中曾讨论了负载获得最大功率的条件。在交流电路中，若电源的内阻和负载均为阻抗，那么在内阻抗固定、负载可变的情况下，负载获得最大功率(有功功率)的条件是什么呢？

负载阻抗获得最大功率的条件取决于负载阻抗能够如何变化，下面讨论两种情况：(1)负载的电阻和电抗均可独立地变化；(2)负载阻抗角固定(即负载性质不变)而模可改变。7.5最大功率传输（续1）负载的电阻和电抗均可独立地变化负载吸收的有功功率为

根据有功功率的表达式，可得到获得最大功率的条件为解得即有此时获得的最大功率为最佳匹配或共轭匹配

7.5最大功率传输（续2）负载阻抗角固定而模可改变模匹配

设负载阻抗为

则负载吸收的有功功率为

令该式关于|ZL|的导数为零，可得7.5最大功率传输（续3）例1

电路如图所示，试求负载ZL吸收的功率。若：(1)负载为5Ω电阻；(2)负载为电阻且与电源内阻抗模匹配；(3)负载与电源内阻抗共轭匹配。

解：电源内阻抗为

7.5最大功率传输（续4）7.6正弦稳态网络函数

由于电路和系统中存在着电感和电容，当电路中激励源的频率变化时，电路中感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。这种电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。为了便于研究正弦稳态电路的频率响应，在电路中只有一个正弦激励源的情况下，引入正弦稳态网络函数的概念。设电路的激励为,电路的正弦稳态响应为,网络函数定义为7.6正弦稳态网络函数（续1）

网络函数的模与频率的关系称为幅频特性，网络函数的辐角与频率的关系称为相频特性。这两种特性都可以在图上用曲线表示，称为网络的频率特性曲线。

例1

图示的一阶RC串联电路，若以为激励，为响应，试求网络函数(即转移电压比)，并绘制相应的频率特性曲线。

解：网络函数为

7.6正弦稳态网络函数（续2）即

据此可绘出电路的频率特性曲线，如图所示。

（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线一阶低通RC电路

7.6正弦稳态网络函数（续3）例2

图示的一阶RC串联电路，若以为激励，为响应，试求网络函数，并绘制相应的频率特性曲线。

解：网络函数为

即

据此可绘出电路的频率特性曲线，如图所示。

7.6正弦稳态网络函数（续4）（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线一阶高通RC电路

若电路能使某个频率范围内的输入得以输出，而阻断其它频率的输入信号，这种电路就对不同频率的输入具有选择性，常将这种电路称为选频电路。由于选频电路能够滤除输入中某些频率的信号，因而又称为滤波器。7.6正弦稳态网络函数（续5）的频率范围

，称为通频带。的频率范围

，称为阻带。时对应的频率点称为截止频率。

为记的最大值

根据电路的幅频特性，可将通用的滤波器分成五类：低通、高通、带通、带阻和全通滤波器。五种理想滤波器的幅频特性

电路谐振是在特定条件下出现在电路中的一种现象。对一个一端口电路，若出现了其端口电压与端口电流同相的现象，则说此电路发生了谐振。

电路谐振广泛应用在无线电、通信工程中。在电力系统中，电路谐振通常会造成对电路的冲击，使设备损坏，因此必须加以避免。

7.7RLC电路的谐振7.7.1RLC串联谐振电路谐振频率输入阻抗为

当电路发生谐振时，Z的虚部为零，即

由此可得谐振角频率、频率分别为

谐振条件

调谐方法：（1）当L和C一定时，调节电源频率；（2）当电源频率一定时，可改变L或C达到谐振条件。7.7.1RLC串联谐振电路（续1）输入阻抗Z的频率特性曲线

(1)当＜0时，XC＞XL，Z(j)是容性的；

(2)当=0时，XC=XL，Z(j)=R是电阻性的；

(3)当＞0时，XC＜XL，Z(j)是感性的。

7.7.1RLC串联谐振电路（续2）电路的相量图

谐振时

谐振时电源只需提供电阻消耗的能量，电感和电容之间进行等量能量交换，此时串联的电感和电容对外相当于短路。

7.7.1RLC串联谐振电路（续3）RLC串联电路的品质因数

在谐振时，电容电压和电感电压的大小相等，且为电源电压的Q倍。

品质因数

当Q很大时，将有UL0=UC0>>U的现象出现。这种现象在电力系统中，往往导致电感的绝缘介质和电容中的电介质被击穿，造成损失；而在一些无线电设备中，却常利用谐振的这一特性，提高微弱信号的幅值。7.7.1RLC串联谐振电路（续4）电流谐振曲线

品质因数Q对电流谐振曲线的形状有很大的影响，Q大则曲线变化陡峭；Q小则曲线变化平坦。只有频率与谐振频率0相同和与0相差不多的电流可以通过电路，其他的则受到衰减。把电路具有这种选择谐振频率附近的电流的性质称为电路的选择性。7.7.1RLC串联谐振电路（续5）通频带

Q大则通频带窄，Q小则通频带宽。7.7.1RLC串联谐振电路（续6）电压谐振曲线

7.7.1RLC串联谐振电路（续7）用求极值的方法可求出UC和UL出现最大值