组合(第一课时)

杨卫国2006-04-25110.3.1组合

杨卫国2006-04-252Ⅰ.复习与引入

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．

如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

1.排列定义?判断是不是排列问题的标志?2.相同的排列?不同的排列?

我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素杨卫国2006-04-2533．排列数的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数．因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列．4．排列数公式

一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公式是常用于证明。

Ⅰ.复习与引入杨卫国2006-04-254Ⅰ.复习与引入5．(设置情境)有5本不同的书（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题，而在问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是排列问题，它就是我们这一节要研究的组合问题(点题)．杨卫国2006-04-255Ⅱ.讲授新课一．组合概念看下面的问题：引例1(1)

从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加上午和下午的活动，有多少种不同的选法？

(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？杨卫国2006-04-256Ⅱ.讲授新课

例题1：从四同学a、b、c、d中选出2名参加一项活动，求有多少种不同的选法．点击图片演示动画杨卫国2006-04-257Ⅱ.讲授新课引例2

从不在同一条直线上的三点A、B、C中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过A、B两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：AB、BC、AC，直线AB与直线BA是一条直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序．杨卫国2006-04-258归纳：以上两个引例所研究的问题是不同的，但是，它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？杨卫国2006-04-259Ⅱ.讲授新课

组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的关系(1).相同点：都是从n个不同元素中不重复抽取且m≤n(2).不同点：从排列与组合的定义可知，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．

杨卫国2006-04-2510(3).因此，如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合杨卫国2006-04-2511Ⅱ.讲授新课

例题2：从三同学a、b、c中选出2名参加一项活动，求有多少中不同的选法．杨卫国2006-04-2512Ⅱ.讲授新课二．组合数及其公式从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．记作______．这里要注意组合数是一个数，应该把它与“组合”区别开来．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素的所有组合是ab、bc、ac，而组合数是___________．排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：杨卫国2006-04-2513Ⅱ.讲授新课

第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数______．第2步，求每个组合中m个元素的全排列数______

．

根据分步计数原理，得到____________

因此

这里m、n∈N*，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．该公式可以写成：上面第一个公式一般用于计算，但当m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．

杨卫国2006-04-2514

3．例题分析例1

下面的问题是排列问题？还是组合问题？（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？_________（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？_________（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？_________（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？_________组合问题6排列问题10组合问题45排列问题90杨卫国2006-04-2515（5）某铁路线上有5个车站，则共有几种不同的车票？_________（6）集合A={a,b,c,d,e}的3元素子集多少个？_________

杨卫国2006-04-2516例2

计算：（1）（2）解：（1）

（2）

Ⅱ.讲授新课杨卫国2006-04-2517例3

求证：证明：右边

左边，所以原式得证．

Ⅱ.讲授新课杨卫国2006-04-25181.

A.课本P991-2(口答),3-6(板演)

B.补充练习：1．解方程：．（板演后讲评，强调解组合数方程要验根）

2．已知

求m、n的值．（学生板演后，教师讲评）Ⅲ.课堂练习杨卫国2006-04-2519［参考答案］1．解：原方程可化为：整理得：解得x=10,或x=-5/11（不合题意舍去）．经检验x=10是原方程的根．

2．解：依题意得整理得解得:

m=2;n=5

Ⅲ.课堂练习杨卫国2006-04-2520组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组，与排列是有区别的．但事物总是一分为二的，排列与组合也有一定的联系，从两者的联系中推导出组合数公式，要能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式．Ⅴ.课后作业

(一)课本P104

1、3

、4、5；

苏大本节内容。(二)1.预习课本P100-P102；

2.预习提纲