惠州学院彭文娟老师通信原理课件 第二章 信号

第二章信号主讲人:彭文娟精品资料信号表示s(t)=A(t)cos(ωt+φ(t))2.1信号的类型：1.随机(suíjī)信号与确知信号2.能量信号与功率信号精品资料2.1信号(xìnhào)的类型一.随机信号与确知信号随机信号无法事先预知的信号。载有信息(xìnxī)的信号与干扰信号的噪音确知信号任何时候都确定的信号。可以用确定的时间函数表示。用作载波信号，来携带传递随机信号精品资料2.1信号(xìnhào)的类型1.信号的功率:设R=1,则P=V2/R=I2R=V2=I22.信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t)，于是(yúshì)，信号的能量为瞬时功率的积分，即E=s2(t)dt二、能量信号和功率信号精品资料2.1信号(xìnhào)的类型能量信号：满足(mǎnzú)平均功率：，故能量信号的P=0。功率信号：P0的信号，即持续时间无穷的信号。3.能量信号和功率信号的定义精品资料2.1信号(xìnhào)的类型能量信号(xìnhào)的能量有限，但平均功率为0。功率信号(xìnhào)的平均功率有限，但能量为无穷大。3.能量信号和功率信号的特点例1：下面两个信号各是能量信号还是功率信号？精品资料几个常用的确知信号(xìnhào)1.矩形脉冲函数2.抽样函数

2.2确知信号(xìnhào)性质

t10π

2π

-π

-2π

Sa(t)tT0-τ/2τ/2g(t)精品资料2.2确知信号(xìnhào)性质3.阶跃函数(hánshù)4.冲激函数(hánshù)

t0δ(t)

t10u(t)精品资料2.2确知信号(xìnhào)性质一、频域性质1.功率信号的频谱设s(t)为周期(zhōuqī)性功率信号，T0为周期(zhōuqī)，则有

式中，0=2/T0=2f0 ∵C(jn0)是复数，∴ 式中，|Cn|－频率为nf0的分量的振幅； n－频率为nf0的分量的相位。信号s(t)的傅里叶级数表示法：

特点：频谱是离散的，包含各次谐波的振幅和相位精品资料【例2.1】试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度(kuāndù)为，幅度为V

其频谱为：

2.2确知信号(xìnhào)性质tV0-τ/2τ/2T-Tf(t)精品资料例2.1频谱图2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料 设一能量(néngliàng)信号为s(t)，则其频谱密度为：

S()的逆变换为原信号：

2.2确知信号(xìnhào)性质2.能量信号的频谱密度精品资料【例2.3】试求一个(yīɡè)矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为：

则它的频谱密度就是它的傅里叶变换2.2确知信号(xìnhào)性质t10-τ/2τ/2g(t)ω

02π/τ

τ-2π/τ

-4π/τ

4π/τ

G(ω)精品资料 【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。 解：抽样函数的定义是

而Sa(t)的频谱密度为：

和上例比较(bǐjiào)可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料【例2.5】单位冲激函数(hánshù)及其频谱密度。解：单位冲激函数(hánshù)常简称为函数(hánshù)，其定义是：(t)的频谱密度：2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料(t)及其频谱密度(mìdù)的曲线：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。f(f)10t(t)02.2确知信号(xìnhào)性质精品资料【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示(biǎoshì)式为f(t)=cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为上式可以改写为2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料2.2确知信号(xìnhào)性质t0－00(b)频谱密度(a)波形精品资料3.能量谱密度 设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定(juédìng)：

若此信号的频谱密度为S(f)，则由巴塞伐尔（Parseval）定理得知：

上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。 2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料上式可以(kěyǐ)改写为：

式中，G(f)＝|S(f)|2（J/Hz）为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2是偶函数∴

2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料4.功率谱密度(mìdù) 令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2<t<T/2，则有 定义功率谱密度(mìdù)为：

得到信号功率：2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料0t图

单边指数函数精品资料二、时域性质(xìngzhì)1.自相关函数能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质(xìngzhì)：R()只和有关，和t无关当=0时，能量信号的R()等于信号的能量； 功率信号的R()等于信号的平均功率。2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料2.互相关函数能量(néngliàng)信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质：R12()只和有关，和t无关：证：令x=t+，则2.2确知信号(xìnhào)性质精品资料2.3随机(suíjī)信号的性质概念:数字通信系统中，发送端送出的信息系统是不可知的，具有不确定性。噪声也是。所以我们研究通信系统采用随机变量来替代(tìdài)上述信号。今天晚上8：00去看电影吧！……今天晚上8：00去看电影吧！精品资料一、随机变量的概率分布(复习概率统计课程相关内容(nèiróng))1.随机变量的概念若某种试验A每一次取值都是随机的、不确定的，则称这一次试验为随机事件，若其随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。2.随机变量的分布函数FX(x)3.随机变量的概率密度pX(x)精品资料2.4常见随机变量(suíjībiànliànɡ)举例一、正态分布随机变量定义：概率密度式中，>0,a=常数(chángshù)概率密度曲线：精品资料二、均匀分布随机变量定义：概率密度

式中，a，b为常数(chángshù)。概率密度曲线：bax0pA(x)2.4常见随机变量(suíjībiànliànɡ)举例精品资料三、瑞利(Rayleigh)分布随机变量(suíjībiànliànɡ)定义：概率密度为式中，a>0，为常数。概率密度曲线：2.4常见(chánɡjiàn)随机变量举例2.5随机变量的数字特征（请自行复习概率统计相关内容。）精品资料2.6随机(suíjī)过程概念：随机信号随时间t变化的随机变量。它可以看成是由一个事件A的全部(quánbù)可能“实现”构成的总体，记为X(A,t)。平稳随机过程：随机过程的统计特性与时间起点无关的随机过程。它也属于一种“随机过程”。图中画出了其3个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间的函数，即一个实现X(Ai,t)

这是在一个电阻上测量到的热噪声精品资料31精品资料32精品资料33精品资料2.6随机(suíjī)过程平稳随机过程的自相关(xiāngguān)函数和功率谱密度1.自相关(xiāngguān)函数a.b.c.d.e.精品资料2.6随机(suíjī)过程2.功率频谱密度的性质(1)确知信号的功率谱密度：(2)类似(lèisì)地，平稳随机过程的功率谱密度为：

(3)平均功率精品资料3.自相关函数和功率谱密度的关系(guānxì) 由 式中，令=t–t’，k=t+t’，则上式可以化简成于是有2.6随机(suíjī)过程精品资料上式表明(biǎomíng)，平稳随机过程PX(f)和R()是一对傅里叶变换：4.PX(f)的性质：a.PX(f)0,并且PX(f)是实函数；b.PX(f)＝PX(-f)，即PX(f)是偶函数。2.6随机(suíjī)过程精品资料平稳(píngwěn)随机过程PX(f)和R()是一对傅里叶变换：精品资料【例2.10】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn(f)的噪声，即Pn(f)＝n0/2，式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz），白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得: 由上式看出，白噪声的任何(rènhé)两个相邻时间（即0时）的抽样值都是不相关的。 白噪声的平均功率: 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。Pn(f)n0/20fRn()n0/202.6随机(suíjī)过程精品资料2.6随机(suíjī)过程【例2.11】带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。解：带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声的功率谱密度： 设白噪声的频带(píndài)限制在(-fH,fH)之间，则有

其自相关函数为：波形：

n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH返回精品资料2.7高斯过程(guòchéng)（热噪声）概念：高斯过程(guòchéng)的一维概率密度函数服从正态分布--正态随机过程(guòchéng)。2.8窄带随机过程(guòchéng)由于通信系统的带通特性，信号和噪声的频带都受限。若随机过程(guòchéng)频带宽度为△f，中心频率为f0，若，则为窄带随机过程(guòchéng)。例：4G技术TD-LTE中心频率f0为2.3~2.4GHz，每个移动终端（手机）最大频带宽度△f=20MHz，接收信号明显为窄带随机过程(guòchéng)。精品资料2.10信号(xìnhào)通过线性系统一、线性系统的基本概念1.线性系统的特性有一对输入端和一对输出端无源无记忆(jìyì)非时变有因果关系：先有输入、后有输出有线性关系：满足叠加原理和均匀性若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为

时，输出为：式中，a1和a2均为任意常数。精品资料2.线性系统的示意图线性系统输入输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)t(t)h(t)t002.10信号(xìnhào)通过线性系统对于物理可实现系统：精品资料

二、确知信号(xìnhào)通过线性系统1.时域分析法 设h(t)－系统的冲激响应 x(t)－输入信号(xìnhào)波形 y(t)－输出信号(xìnhào)波形 则有：2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料2.频域分析法（1）设：输入为能量信号，令 x(t)－输入能量信号 H(f)－h(t)的傅里叶变换(biànhuàn) X(f)－x(t)的傅里叶变换(biànhuàn) y(t)－输出信号则此系统的输出信号y(t)的频谱密度Y(f)：由Y(f)的逆傅里叶变换(biànhuàn)可以求出y(t)：2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料（2）设：输入x(t)为周期性功率信号，则有

式中，0=2/T0；T0－信号的周期f0=0/2是信号的基频

输出为：

（3）设：输入x(t)为非周期性功率信号，则当作随机(suíjī)信号处理。2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料【例2.11】若有一个RC低通滤波器，如图所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。 解:设x(t)－输入能量信号 y(t)－输出能量信号 X(f)－x(t)的频谱密度 Y(f)－y(t)的频谱密度 则此电路(diànlù)的传输函数为：

此滤波器的冲激响应h(t)：2.10信号(xìnhào)通过线性系统RCx(t)y(t)精品资料2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料 滤波器输出和输入(shūrù)之间的关系：

假设输入(shūrù)x(t)等于： 则此滤波器的输出为：2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料3.无失真传输条件(tiáojiàn) 系统是无失真的线性传输系统，输入信号为x(t)，则其无失真输出信号y(t)为： 式中，k－衰减常数， td－延迟时间。假设信号x(t)为能量信号，输出信号必然也是能量信号，则系统的传输函数：

∴式中，2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料 无失真传输条件：振幅特性与频率无关；相位特性是通过原点的直线。 （实际(shíjì)中，难测量，常用测量td代替。）|H(f)|k0ff02.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料

三、随机信号通过(tōngguò)线性系统1.物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料

2.输出Y(t)的数学(shùxué)期望E[Y(t)]

由于已假设输入是平稳随机过程，故

∵ ∴输出的数学(shùxué)期望：E[X(t-)]=E[X(t)]=k，k=常数(chángshù)。2.10信号通过线性系统精品资料3.输出Y(t)的自相关函数 由自相关函数定义，有 由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望(qīwàng)与t1无关，故有

∴由于Y(t)的数学期望(qīwàng)和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料4.输出Y(t)的功率谱密度PY(f)： 由于功率谱密度是自相关(xiāngguān)函数的傅里叶变换，故有

令=+u–v代入上式，得到

∴输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以|H(f)|2。2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料 【例2.12】已知一个白噪声(zàoshēng)的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声(zàoshēng)功率。 解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：

所以有：

2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料输出信号(xìnhào)的功率谱密度为：输出信号(xìnhào)的自相关函数：

输出噪声功率PY＝RY(0)=k2n0fH2.10信号(xìnhào)通过线性系统精品资料 5.输出随机过程Y(t)的概率分布结论：高斯(ɡāosī)随机过程通过线性系统后输出仍为高斯(ɡāosī)随机过程。2.10信号(xìnhào)通过线性系统返回精品资料2.7高斯过程(guòchéng)（正态随机过程(guòchéng)）（自学）一、定义：1.一维高斯过程的概率密度： 式中，a=E[X(t)]为均值 2=E[X(t)-a]2为方差 为标准偏差∵高斯过程是平稳(píngwěn)过程，故 其概率密度pX(x,t1)与t1无关 即，pX(x,t1)＝pX(x)pX(x)的曲线：精品资料2.高斯(ɡāosī)过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足： 式中，ak为xk的数学期望（统计平均值）；k为xk的标准偏差；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即

|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余子式；bjk为归一化协方差函数，即2.7高斯(ɡāosī)过程精品资料3.n维高斯(ɡāosī)过程的性质(1)pX(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏差i和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程。(2)若x1,x2,…,xn等两两之间互不相关，则有当jk时，bjk=0。这时，即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。2.7高斯(ɡāosī)过程精品资料3.n维高斯过程(guòchéng)的性质注意：若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。(3)高斯过程(guòchéng)的随机变量之间既互不相关，又互相独立。2.7高斯(ɡāosī)过程精品资料二、正态概率密度的性质1.p(x)对称于直线x=a，即有：2.p(x)在区间(-,a)内单调上升，在区间(a,)内单调下降，并且在点a处达到(dádào)其极大值3.当x-或x+时，p(x)0。4.5.若a=0,=1，则称这种分布为标准化正态分布：2.7高斯(ɡāosī)过程精品资料三、正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数：式中，(x)称为概率积分函数：此积分不易(bùyì)计算，通常用查表方法计算。2.7高斯(ɡāosī)过程精品资料四、用误差函数(hánshù)表示正态分布1.误差函数(hánshù)定义：2.补误差函数(hánshù)定义：3.正态分布表示法：2.7高斯(ɡāosī)过程返回精品资料频率近似为fc2.8窄带随机(suíjī)过程一、基本概念1.何谓窄带?设随机过程的频带宽度为f，中心频率(pínlǜ)为fc。若f<<fc，则称此随机过程为窄带随机过程。2.窄带随机过程的波形和表示式（1）波形和频谱：精品资料（2）表示式

式中，aX(t)－窄带随机过程的随机包络； X(t)－窄带随机过程的随机相位； 0－正弦波的角频率。 上式可以(kěyǐ)改写为： 式中， －X(t)的同相分量－X(t)的正交分量2.8窄带随机(suíjī)过程精品资料二、窄带随机过程的性质

1.Xc(t)和Xs(t)的统计特性：设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则a.Xc(t)和Xs(t)也是均值为0的平稳高斯过程；b.Xc(t)和Xs(t)的方差