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文档简介
一平面简谐波的波函数描述波动过程中介质的任一质点(坐标为x)相对其平衡位置的位移(坐标为y)随时间的变化关系,即称为波函数,或称波动方程.各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置简谐波:在均匀的、无吸收的介质中,波源作简谐运动时,在介质中所形成的波为简谐波.平面简谐波:波面为平面的简谐波.1
表示质点在时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上点(坐标)在时刻的位移
设有一平面简谐波沿轴正方向传播,波速为。坐标原点
处质点的振动方程为tx如何描述任意时刻、波线上距原点为的任一点的振动规律?P2点O
的振动状态点
Pt时刻点
P的运动t-x/u时刻点O的运动时间推迟方法点P
振动方程3考察波线上点(坐标),
点比点的振动落后,
点在时刻的位移是点在时刻的位移,由此得表示质点在时刻离开平衡位置的距离.OPx4
由于为波传播方向的上任意一点,因此上述方程能描述波传播方向上任意一点的振动,具有一般意义,即为沿轴正方向传播的平面简谐波的波函数,又称波动方程.5点
O
振动方程
波函数
沿轴正向
O
如果原点的初相位不为零6可得波动方程的几种不同形式:利用和7波函数质点的振动速度,加速度8二波函数的物理含义(波具有时间的周期性)则令
1一定,
变化
表示点处质点的振动方程(的关系)9波线上各点的简谐运动图10令(定值)则
y
o
x
2
一定
变化
该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形(的关系)11(波具有空间的周期性)即:当一定时,波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移,即此刻的波形.12同一时刻相位差与波程差的关系
t一定时,波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移,即此刻的波形.波程差133、都变
波函数表示波形沿传播方向的运动情况,即在不同时刻各质点的位移,也就是不同时刻的波形,体现了波的传播.O14
OO时刻时刻15OPx如图,设点振动方程为点振动比点超前了4沿
轴方向传播的波动方程
16从形式上看:波动是波形的传播.从实质上看:波动是振动的传播.
对波动方程的各种形式,应着重从物理意义上去理解和把握.
故点的振动方程(波动方程)为:17波函数的物理意义:波动是介质质元保持一定相位联系的集体运动,任一瞬时,各质元运动此起彼伏,纷繁复杂。1.波函数既定量描述每个质元的运动随时间周期性变化的规律(振动规律);又定量描述每个质元的运动状态在空间周期性分布的规律;所以波函数定量描述了波动的时空周期性。2.波函数还给出了各质元在相位上的定量联系,揭示了波动是振动相位传播的这一物理实质。波函数是波动这一物理过程的全面、精确的数学概括,是对波动物理量时空变化关系的准确描述。18例1一平面简谐波沿轴正方向传播,已知振幅,,.在时坐标原点处的质点在平衡位置沿轴正向运动.求:
(2)
波形图;(3)
处质点的振动规律并作图.
(1)波动方程;解(1)
写出波动方程的标准式已知振源的振动求波动方程19O(m)20
(2)求波形图波形方程02.01.0-1.0
时刻波形图(m)21
(3)
处质点的振动规律并作图
处质点的振动方程01.0-1.02.0O******处质点的振动曲线123412341.022已知振源的振动曲线求波动方程例2:一振源在介质内作谐振动,振动曲线如图。此振源向x正方向发出一平面简谐波,波速为0.3m.s-1(1)若以振源处为坐标原点,写出此波动方程;(2)求距振源0.45m处A点的振动方程;(3)作出t1=0.1s和t2=1.5s时的波形曲线,并标出t2时刻A点的振动方向。23解:(1)由图可知:则平面简谐波波动方程为:24(2)以x=0.45m代入波动方程,得A点的振动方程为:(3)分别以t1=1.0s和t2=1.5s代入波动方程,得25分别画出t1=1.0s和t2=1.5s的波形曲线如图,A点在t2时刻的运动方向如图。故t2时刻的波形相对t1时刻的波形向前传播了的距离。26已知波函数求振幅、频率、波速和波长例3:一平面简谐波的波函数为:试求:(1)波的振幅、频率、波速和波长;(2)x1=0.2m处质元在t1=1.0s时的运动状态;(3)此运动状态在t2=1.5s时传到波线上那一点。27解:(1)将波函数化成标准形式:比较得:28(2)x1=0.2m处质元在t1=1.0s时的振动相位为:此相位所表示的运动状态为:位移:振动的速度:29(3)振动状态传播的速度就是波速u,在Δt=t2-t1=0.5s时间内,t1时刻x1处质元的振动状态传播的距离为因此t1时刻x1处质元的振动状态在t2时刻应传播到距坐标原点的距离为:30
例4一平面简谐波以速度沿直线传播,波线上点A的简谐运动方程求:(1)以A
为坐标原点,写出波动方程;(2)以B为坐标原点,写出波动方程;(3)求传播方向上点C、D
的简谐运动方程;(4)分别求出BC
,CD
两点间的相位差.ABCD5m9m8m单位分别为m,s).,;(已知波线上任一点的振动求波动方程31(1)
以A
为坐标原点,写出波动方程ABCD5m9m8m(m)32(2)
以B
为坐标原点,写出波动方程ABCD5m9m8m(m)33
(3)
写出传播方向上点C、D的运动方程点C
的相位比点A
超前ABCD5m9m8m(m)34点D
的相位落后于点A
ABCD5m9m8m(m)35(4)分别求出BC
,CD
两点间的相位差ABCD5m9m8m3665ll已知例PXOYA2A某正向余弦波时的波形图如下t0则此时点的运动方向,振动相位。PFP已知t=0时的波形图求波动方程3765lluPXOYA2A沿轴正向微移原波形图得到下一时刻的波形,并可判断出点此时向下运动。PX利用旋转矢量图,得:38已知任意时的波形图求波动方程例6:一平面简谐波,沿x轴负方向传播,角频率为,波速为。设时刻的波形图如图所示,求该波的波动方程。39解:由时刻的波形画出t=0时刻的波形。由图可得:t=0时刻,坐标原点处(x=0)的质点处在-A处,且向y的正方向运动,所以波源处的振动初相位为π,波源处的振动方程为:则波动方程为:40已知波线上任意点的振动曲线求波动方程例7:一平面简谐波,沿x轴负方向传播,波长为12m,如图所示为x=0.1m处质点的振动曲线,求该波的波动方程。41解:波动方程为:x=0.1m处质点的振动方程为:其中:是x=0.1m处质点的振动初相位;而:是x=0处(波源处)质点的振动初相位;42
根据0.1m处的振动方程,可以求出x=0.1m处和波源质点的振动初相位。当t=0时,x=0.1m处质点的
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