大学物理第五版下册平面简谐波的波函数

一平面简谐波的波函数描述波动过程中介质的任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数，或称波动方程.各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波为简谐波.平面简谐波：波面为平面的简谐波.1

表示质点在时刻离开平衡位置的距离.

考察波线上点(坐标)在时刻的位移

设有一平面简谐波沿轴正方向传播，波速为。坐标原点

处质点的振动方程为tx如何描述任意时刻、波线上距原点为的任一点的振动规律？P2点O

的振动状态点

Pt时刻点

P的运动t-x/u时刻点O的运动时间推迟方法点P

振动方程3考察波线上点(坐标),

点比点的振动落后,

点在时刻的位移是点在时刻的位移，由此得表示质点在时刻离开平衡位置的距离.OPx4

由于为波传播方向的上任意一点，因此上述方程能描述波传播方向上任意一点的振动，具有一般意义，即为沿轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.5点

O

振动方程

波函数

沿轴正向

O

如果原点的初相位不为零6可得波动方程的几种不同形式：利用和7波函数质点的振动速度，加速度8二波函数的物理含义（波具有时间的周期性）则令

1一定，

变化

表示点处质点的振动方程（的关系）9波线上各点的简谐运动图10令（定值）则

y

o

x

2

一定

变化

该方程表示时刻波传播方向上各质点的位移,即时刻的波形（的关系）11（波具有空间的周期性）即：当一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.12同一时刻相位差与波程差的关系

t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差133、都变

波函数表示波形沿传播方向的运动情况，即在不同时刻各质点的位移，也就是不同时刻的波形，体现了波的传播.O14

OO时刻时刻15OPx如图，设点振动方程为点振动比点超前了4沿

轴方向传播的波动方程

16从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播.

对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.

故点的振动方程（波动方程）为：17波函数的物理意义：波动是介质质元保持一定相位联系的集体运动，任一瞬时，各质元运动此起彼伏，纷繁复杂。1.波函数既定量描述每个质元的运动随时间周期性变化的规律（振动规律）；又定量描述每个质元的运动状态在空间周期性分布的规律；所以波函数定量描述了波动的时空周期性。2.波函数还给出了各质元在相位上的定量联系，揭示了波动是振动相位传播的这一物理实质。波函数是波动这一物理过程的全面、精确的数学概括，是对波动物理量时空变化关系的准确描述。18例1一平面简谐波沿轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点在平衡位置沿轴正向运动.求：

(2)

波形图；(3)

处质点的振动规律并作图.

(1)波动方程；解(1)

写出波动方程的标准式已知振源的振动求波动方程19O(m)20

(2)求波形图波形方程02.01.0-1.0

时刻波形图(m)21

(3)

处质点的振动规律并作图

处质点的振动方程01.0-1.02.0O******处质点的振动曲线123412341.022已知振源的振动曲线求波动方程例2：一振源在介质内作谐振动，振动曲线如图。此振源向x正方向发出一平面简谐波，波速为0.3m.s-1（1）若以振源处为坐标原点，写出此波动方程；（2）求距振源0.45m处A点的振动方程；（3）作出t1=0.1s和t2=1.5s时的波形曲线，并标出t2时刻A点的振动方向。23解：（1）由图可知：则平面简谐波波动方程为：24（2）以x=0.45m代入波动方程，得A点的振动方程为：（3）分别以t1=1.0s和t2=1.5s代入波动方程，得25分别画出t1=1.0s和t2=1.5s的波形曲线如图，A点在t2时刻的运动方向如图。故t2时刻的波形相对t1时刻的波形向前传播了的距离。26已知波函数求振幅、频率、波速和波长例3：一平面简谐波的波函数为：试求：（1）波的振幅、频率、波速和波长；（2）x1=0.2m处质元在t1=1.0s时的运动状态；（3）此运动状态在t2=1.5s时传到波线上那一点。27解：（1）将波函数化成标准形式：比较得：28（2）x1=0.2m处质元在t1=1.0s时的振动相位为：此相位所表示的运动状态为：位移：振动的速度：29（3）振动状态传播的速度就是波速u，在Δt=t2-t1=0.5s时间内，t1时刻x1处质元的振动状态传播的距离为因此t1时刻x1处质元的振动状态在t2时刻应传播到距坐标原点的距离为：30

例4一平面简谐波以速度沿直线传播，波线上点A的简谐运动方程求:(1)以A

为坐标原点，写出波动方程；(2)以B为坐标原点，写出波动方程；(3)求传播方向上点C、D

的简谐运动方程；(4)分别求出BC

，CD

两点间的相位差.ABCD5m9m8m单位分别为m，s).,;(已知波线上任一点的振动求波动方程31(1)

以A

为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m(m)32(2)

以B

为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m(m)33

(3)

写出传播方向上点C、D的运动方程点C

的相位比点A

超前ABCD5m9m8m(m)34点D

的相位落后于点A

ABCD5m9m8m(m)35(4)分别求出BC

，CD

两点间的相位差ABCD5m9m8m3665ll已知例PXOYA2A某正向余弦波时的波形图如下t0则此时点的运动方向，振动相位。PFP已知t=0时的波形图求波动方程3765lluPXOYA2A沿轴正向微移原波形图得到下一时刻的波形，并可判断出点此时向下运动。PX利用旋转矢量图，得：38已知任意时的波形图求波动方程例6：一平面简谐波，沿x轴负方向传播，角频率为，波速为。设时刻的波形图如图所示，求该波的波动方程。39解：由时刻的波形画出t=0时刻的波形。由图可得：t＝0时刻，坐标原点处（x=0）的质点处在-A处，且向y的正方向运动，所以波源处的振动初相位为π，波源处的振动方程为：则波动方程为：40已知波线上任意点的振动曲线求波动方程例7：一平面简谐波，沿x轴负方向传播，波长为12m，如图所示为x=0.1m处质点的振动曲线，求该波的波动方程。41解：波动方程为：x=0.1m处质点的振动方程为：其中：是x=0.1m处质点的振动初相位；而：是x=0处（波源处）质点的振动初相位；42

根据0.1m处的振动方程，可以求出x=0.1m处和波源质点的振动初相位。当t=0时，x=0.1m处质点的