数字图像处理第3章

数字图像处理

第三章常用数学变换主要内容线性系统和卷积运算傅立叶变换及其性质离散图象变换的一般形式离散余弦变换沃尔什变换和哈达玛变换K-L变换小波变换（1）线性系统和卷积运算系统x(t)输入y(t)输出线性系统的定义：

对于某系统有

y(t)={x(t)}该系统是线性的当且仅当

{ax1(t)

+bx2(t)}

=a{x1(t)

}+b

{x2(t)

}=ay1(t)+b

y2(t)

（叠加原理）（1）线性系统和卷积运算线性空不变（移不变）系统

定义：定义二维冲激响应函数

h(x,y,,)={(x-,y-)}

—(x,y)为二维Dirac函数若

h(x,y,,)=h(x-,y-)，则系统为“空不变”系统。冲激响应h的傅立叶变换称为传递函数。（1）线性系统和卷积运算卷积定义：

已知线性空不变系统的冲激响应函数h(x,y),

设输入f(x,y)，则输出

y(x,y)={f(x,y)}={

f(,)(x-,y-)dd

}=

f(,){(x-,y-)}dd

=

f(,)h(x-,y-)dd

即

y(x,y)=

f(,)h(x-,y-)dd

=

f(x-,y-)h(,)dd

一般表示为

y(x,y)=f(x,y)h(x,y)（1）线性系统和卷积运算离散形式卷积：y(i,j)=f(m,n)h(i-m,j-n)卷积性质——

交换性

加法的分配率

结合率

求导的性质（2）傅立叶变换及其性质正交变换——

一个实函数或复函数若用x(t)表示，其定义域为(t0,t0+T)，在此区间可展开为：m

——变换核（2）傅立叶变换及其性质则m称为正交函数，当c=1时称为归一化（标准）正交函数。

图像处理中用到的变换核均为正交函数。变换是工具，一个域特征不突出到变换域则突出。信号处理中常把空域信号变换到变换域进行处理。

(例如：傅立叶变换后的零频分量，正比于图像的平均亮度，而高频分量代表图像中边缘幅度和方向；可用于图像的变换编码以压缩频带，如对幅度小的变换系数或者丢弃，或者粗量化。)

（2）傅立叶变换及其性质一维连续傅立叶变换（2）傅立叶变换及其性质一维离散傅立叶变换(DCT)N（2）傅立叶变换及其性质二维连续傅立叶变换（2）傅立叶变换及其性质二维离散傅立叶变换…………（2）傅立叶变换及其性质二维离散傅立叶变换性质线性可分离性

一个二维离散傅立叶变换可以先后两次运用一维傅立叶变换来实现。

（2）傅立叶变换及其性质平移性傅立叶变换的幅值不变：周期性和共轭对称性

（2）傅立叶变换及其性质旋转不变性+0比例性（2）傅立叶变换及其性质平均值性质微分性质变换（2）傅立叶变换及其性质卷积定理对离散傅立叶变换，应用卷积定理时，需要对f(x,y)和g(x,y)的变量域重新定义，即增补0为扩充函数形式（避免交叠误差）。快速傅立叶变换（FFT）——（略）（2）傅立叶变换及其性质（2）傅立叶变换及其性质（2）傅立叶变换及其性质频域图像（幅度谱）原图像（3）离散图像变换的一般形式（1）基本概念离散线性变换、酉变换、正交变换（3）离散图像变换的一般形式正交变换T的每一行称为该正交变换的正交基，或基函数。（3）离散图像变换的一般形式MMMMMM图像图像矩阵形式中，F(x,y)可以表示为M×N维的矢量（“拉直”运算）。图像0uM-1;0v

N-1;

对应二维变换核函数的核矩阵其每一行也可视为一个M×N图像的“拉直”运算构成，因此，核函数可以视为由一组基图像组成。MN×MN有（3）离散图像变换的一般形式“基图像”示例（3）离散图像变换的一般形式M上述代数表达式可以表示为矩阵形式：其中Tr，Tc满足正交变换。（3）离散图像变换的一般形式离散变换可表示如下：将图像f

表示为为M×M

;为N×N

[P][P]…….........

[p]和[Q]

为非奇异的。

[P]（3）离散图像变换的一般形式对离散付氏变换：变换核[p]=[WMM]，[Q]=[WNN]其代数形式即：

[WMM]的元素为：wmu=[WNN]的元素为：[P]wnu=v（4）离散余弦变换二维离散余弦变换DCT——反变换——（4）离散余弦变换离散余弦变换实际上是利用了傅立叶变换的实数部分构成的变换。傅立叶变换中，当f(x,y)为实对称时，sin项为零，只余cos项。可由四幅M×N的原图拼成2M×2N的实对称图像（沿原图的水平、垂直二边界拼接四幅图）定义：四幅拼合对称点在(-1/2,-1/2)之处。-1-1mn（4）离散余弦变换DCT变换的矩阵形式…………......…T（4）离散余弦变换例：求下列图像的余弦变换（4）离散余弦变换原图像余弦变换（4）离散余弦变换将大部分信息滤掉重构图像(5)沃尔什变换和哈达玛变换离散沃尔什变换（Walsh,DWT）（思想：核矩阵中只有+1和-1元素，要求N=2p，是对称的可分离的酉矩阵）(5)沃尔什变换和哈达玛变换NN=2N=4N=8xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-N=2,4,8时的沃尔什变换核(5)沃尔什变换和哈达玛变换u=0u=3u=6u=5u=1u=2u=4u=7N=8时变换核的行向量（基函数）(5)沃尔什变换和哈达玛变换二维离散沃尔什变换：(5)沃尔什变换和哈达玛变换例：求下列图像的DWT(5)沃尔什变换和哈达玛变换(5)沃尔什变换和哈达玛变换—沃尔什变换本质上将一个函数变换为取值为+1或-1的基向量构成的级数；—类似于频率函数，但又不同于频率函数；—以过零点数目替代频率的概念，称为序率；—沃尔什变换具有能量集中的作用。原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。—计算简单。(5)沃尔什变换和哈达玛变换离散哈达玛变换（Hadamard）—哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换—其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次序不同—哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。…(5)沃尔什变换和哈达玛变换对于二维图像，其变换为

H(m,n)=H(m,x)f(x,y)H(n,y)矩阵H同一维。(5)沃尔什变换和哈达玛变换例：求下列图像的哈达玛变换（6）K-L变换即Karhunen-Loeve

展开，又称为Hotelling变换，或主成分分析。基本思想—寻找随机分布数据所在空间的一组正交基，使得原始数据变换到此正交基组成的空间表示后，数据样本的各个分量间的统计互相关性降低到最低点。此组正交基也称为主成分（主分量）。（6）K-L变换特征值和特征向量：…特征向量是相互正交的（6）K-L变换K-L变换协方差矩阵——…根据iifi是一个样本，（6）K-L变换——求协方差矩阵的特征值和特征向量——

定义变换核矩阵…

T(f－

)T

E{(f－

)(f－

)T}=T

Cf

F的协方差阵（6）K-L变换K-L变换的性质：F的均值为0；F的协方差矩阵为对角阵——数据各分量间无相关性；A-1=AT在变换域中，能量集中在值大的对应的分量上。

特征向量（主成分）

（6）K-L变换图像的K-L变换（例）图像数据压缩——多光谱图像的每个象素对应多个谱带（多通道），例有10001000的24通道多光谱图像，则可以视为一百万个24分量的随机向量的集合。由于不同通道间存在很大相关性，所以经K-L变换后，24个特征值中许多很小——忽略后可用较少的维数表示（降维），经传输后做反变换重构，只产生很小误差。某些应用中，将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换为一维处理。如人脸识别（每个特征向量对应一个“特征脸”）。（7）小波变换小波分析——时-频局部化分析；多尺度（多分辨）分析；（犹如通过观察“镜头”的推拉和平移，聚焦到信号的任意细节）（一）时频分析的概念傅立叶变换是全局域变换，不能提供信号在某个时间段上的频率信息。如希望知道在某些突变时刻附近的频率成分要求局部分析。Gabor变换（短时傅立叶变换/加窗傅立叶变换）基本思想——把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。（7）小波变换定义：采用高斯函数作为窗函数可以推导——Gabor变换以窗口分解了f(t)的频谱，当窗在整个时间轴上移动时，给出完整的频谱。（平方可积）对于（7）小波变换重构公式同样，若在频域加窗（用g(t)的傅立叶变换），则可以认为，其在时域的反变换以窗口分解了f(t)，当窗在整个频域上移动时，给出完整的信号。希望的窗口选择：变化剧烈处—时窗窄（则频窗宽），以提取高频成分；变化缓慢处—时窗宽（则频窗窄），以保证较高的频率分辨率。但Gabor变换时-频窗固定，不能反映信号不同局部的细节变化。（7）小波变换Gabor变换的特点变换核（7）小波变换考虑Gabor变换的变换核具有振荡衰减的性质——希望窗口尺度可调小波函数(wavelet)的提出。小波概念：定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负交替的波动性。小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。（7）小波变换小波变换的定义：设函数f(t)∈L2(R)，则小波变换的定义如下：核函数Ψ(t)中，a＞0为尺度参数（伸缩参数）,b为定位参数（平移参数），该函数称为小波。若a＞1函数Ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函数Ψ(t)具有收缩作用。伸缩参数a对Ψ(t)的影响如下图：f(t)－（7）小波变换图中小波函数为ψ(t)=te。当a=2,b=15时，ψ2,15(t)的波形从原点向右移至t=15，且波形展宽。当a=0.5，b=-10时，ψ1/2,-10(t)的波形从原点向左移至t=-10,且波形收缩。-t2（7）小波变换小波函数满足的条件——(1)紧支撑性（Compactsupport），即在一个很小的区域之外函数均为零，函数具有速降特性。(2)平均值为零，即：而且其高阶矩也为零：…（7）小波变换容许条件：此时称称为一个“基小波”或“母小波”。——把基小波的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。要求（7）小波变换（二）多分辨分析的概念

多分辨分析（多尺度分析）是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。图像的塔式表示设原始图像为10241024，减小分辨率（间隔采样）512512256256…11。若依次提取图像边缘得到:细边缘较粗边缘更粗边缘…

在不同分辨率下，可以检测到不同尺度的特征。（7）小波变换J级（基）(J-1)级2级1级0级...对原始图像（J级）进行滤波亚采样（间隔采样）得到第（J-1)级近似图像。由（J-1)级近似图像进行过采样（内插）得到对第J级的预测图像（与J级同分辨率）。将J级图像与预测图像的差作为第（J-1)级的误差图像。从（J-1)级开始重复此过程塔式表示。一般截止在（J-P）级。（滤波可以是高斯低通，或直接22邻域平均）由误差图像和最终的（J-P）级近似图像，可以反向重构原始图像。（塔式编码）（7）小波变换（三）多分辨表示1、级数展开将函数展开为k—展开系数；{k(x)}—基函数族；所有k(x)形成一个函数空间，表示为若f(x)V，则f(x)可以表示为（3.7.1）

——（3.7.1）要求：对所有存在满足（7）小波变换2、尺度函数考虑上述基函数族由(x)的平移和伸缩构成：（j,k为整数）其中

k—平移；j—(x)的伸缩。称(x)为尺度（化）函数。若选择合适的(x)，则{j,k(x)}可以展开任意的f(x)L2(R)

——（3.7.2）若固定j=j0,则{Φj0,k(x)}为{Φj,k(x)}的子集。对任意j，其对应的子空间为（j为参量）（7）小波变换要求尺度函数必须满足（Mallat,1989)尺度函数与它的整数平移是正交的；较大尺度的子空间包含在较小尺度的子空间内；只有f(x)=0是包含在所有子空间内的；任何函数可以被表示成任意精度；（j大时形状细窄

x有很小的变化即可分开可“观测”更多的细节）小尺度细刻度某个尺度的子空间对应某个分辨率的表示——小尺度（j大）对应高分辨率，包含了大尺度（低分辨率）的信息。表示为：V-∞…V-1V0V1V2…V∞V-∞表示没有任何可用信息；f(x)=0

可以用最粗糙的V-∞来表示。（7）小波变换根据上述条件，VjVj+1，则应有将（3.7.2）代入，得由则多分辨分析（MRA）方程（膨胀方程）——子空间的展开函数可以由二倍分辨率空间的函数自身复制而来（参考子空间的选择是任意的）。

——（3.7.3）（7）小波变换3、小波函数小波函数ψ(x)——用于把两个相邻的不同尺度的子空间Vj和Vj+1的“差”展开。定义小波函数集{

j,k(x)}为

——（3.7.4）尺度函数空间与小波函数空间的关系——Vj+1=Vj⊕Wj小波函数子空间为（⊕—联合，张量积）（7）小波变换Wj为Vj+1空间中Vj的正交补集。即〈j,k(x),

j,l(x)〉=0（对所有的j,k,l）所有可测、平方可积函数可表示为L2(R)=V0⊕W0⊕W1⊕…

V0W0W1W2

——（3.7.5）（7）小波变换由于小波空间包含在较高分辨率的尺度空间，则任意小波函数可以象膨胀方程一样表示为：（小波函数系数）——尺度函数可用来构造小波函数。[例]—Haar函数

——（3.7.6）（7）小波变换0123012301230123׀׀׀׀׀׀׀׀（7）小波变换由尺度函数构造的小波函数即012301230123׀׀׀׀׀׀׀׀׀（7）小波变换4、一维小波变换小波级数展开根据（3.7.5）,有（j0—任意初始尺度）

——（3.7.7）（7）小波变换[例]将用Haar小波展开取j0=0，则得到V1=V0W0V2=V1W1=V0W0W1…V0（7）小波变换011011011