数列的极限函数的极限

第二章极限与连续纵观微积分的发展史，微积分发展初期进展非常缓慢，究其原因，是因为没有形成系统的理论基础，而理论基础的核心是极限。极限的思想源远流长，庄子在《天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的“割圆术”中说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。2第一节极限的概念这都是极限思想的体现，古今中外一些学者虽曾有意无意地引用了一些极限方法，并隐约地体会到这种方法的重要性，但至到17世纪，数学家们还是觉得极限概念十分模糊。18世纪，法国数学家、哲学家达朗贝尔首次把极限理论作为分析的基础，并给出了比较反映其实质的极限定义，19世纪，法国数学家柯西出版了他的《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》等具有划时代意义的著作，给出了比较严密的极限定义，从而将微积分建立在坚实的基础上，带动了微积分的飞速发展。3

什么是极限？我们知道，微积分的研究对象是函数，函数有两个变量，极限就是研究函数当它的自变量有一个无限变化时，其因变量(函数值)的变化趋势。4一、数列的极限1、割圆术：利用圆内接正多边形来推算圆的面积(一)概念的引入思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的面积随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽通过上面演示观察得:

若正多边形边数n无限增大，则

正多边形周长无限接近于圆的周长。2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——出自庄子《天下篇》(二)数列的极限的有关知识1.定义:

按一定顺序排列的一列数称为数列,记作．数列中的每一个数叫数列的项,第n项称为数列的一般项或通项.数列也可称作整标函数.

因为数列可看成是定义在正整数集合上的函数.当自变量

n按正整数1,2,3,…依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数:称为一个无穷数列,简称数列.在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看一个动点在数轴上依次取值.注意：

例1xn0242nx1x2……x•••••••••••••••………xnx2x1x0x3…••••••••••01–1x所有的奇数项所有的偶数项x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项1xnx3x2x1x0………••••••••••…(三)、数列极限的直观描述

2.上面数列(2),(4)收敛于0;数列(5)收敛于1;数列(1),(3)发散.3、举例例1

判断下列数列极限

2、

3、

4、解：1、

2、

3、不存在

不存在4、问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗显然不能问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就说数列是发散的.(四)、数列极限的ε—N定义

通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：，如果对任意给定的正数ε，总存在一时，

恒成立，则称常数为数列的极限，定义:对于数列或称数列收敛于.记为

否则，称数列发散。个正整数N，使当注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|un－a|＜ε定量地刻画了un与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：(ⅰ)正数ε，(ⅱ)正数N，(ⅲ)不等式|un－a|＜ε（n

＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了un逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|un－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。④

用定义验证un以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n

＞N时，不等式|un－a|＜ε成立。⑤定义中的不等式|un－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立这就表明数列un中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例2

利用定义证明

证明：要使，只须

故：任给，总存在，当时，恒成立，因此

注意数列极限的定义未给出求极限的方法,只能验证某个数是不是某数列的极限.二、函数的极限数列极限是一般函数极限的特殊情况.数列作为定义在正整数集上的函数，其自变量是离散的，而不是连续的.其自变量的变化过程只有一种，即趋于无穷大，记作但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化过程可以是连续的，并出现了多种可能性.

由于数列实际上可以看成是定义在为正整数集上的一个函数,所以可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.1.

x→∞时函数ƒ(x)的极限定义：对函数ƒ(x),

当x取正值且无限增大时(即x→+∞

),ƒ(x)无限接近于常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→+∞时的极限.记为注：函数y=ƒ(x)当x→+∞

时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递增的(数列极限是函数极限的特殊情形).例如不存在

定义：对函数ƒ(x),

当x取负值而绝对值无限增大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近于常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→－∞时的极限.记为例如不存在发现问题没有?当x+时,函数趋于/2;当x-时,函数趋于-/2;那?例

定义：对函数ƒ(x),

当x绝对值无限增大时(即x→∞),

ƒ(x)无限接近于常数A,则称A是函数ƒ(x)当x→∞时的极限.记为充要条件：例不存在2

.x→x0

时函数ƒ(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x→1时,函数ƒ(x)无限接近于2.••oxy11(1,2)首先,考察函数y=ƒ(x)=

(如右图)(1)定义：设函数在的附近有定义，如果当无限接近于但不等于时，无限接近于一个确定的常数，则称当时函数以为极限.记作注意：例：观察并求出下列极限1o1-1=1=0=0=1=1=-1中所讨论的x→x0

即x可从x0

的左右如(2).函数ƒ(x)的左、右极限则只能考察x从0的右侧趋于0时的极限.因而必须引进左、右极限的概念.两侧趋于x0

.但有时可考察x

仅从x0

的左侧趋于x0或右侧趋于x0时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限.

的左侧有定义，如果当从左侧无限接近于时的左极限为。记为①定义：设函数在但不等于时，无限接近于一个确定的常数，则称当时函数以为极限.也称在②定义：设函数在的右侧有定义，如果当从的右侧无限接近于但不等于时无限接近于一个确定的常数，则称当时函数以为极限．也称在时的右极限为．记为(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：③左极限和右极限统称为单侧极限.定理

函数y=ƒ(x)当x→x0

时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A.即左右极限存在但不相等,证例例解？如何求分段点左右两边表达式相同不需分左右极限例

已知

求

解：1、

2、

即所以

不存在3、④

讨论分段函数在分段点的极限的步骤:注意：有时不需分左右极限求解四、函数极限的几个重要性质为了叙述方便,将ƒ(x)在x→∞或x→x0时的极限A统一记为1.唯一性

若存在,则极限值A唯一.limƒ(x)=A2.有界性若,则在的某空心领域内有界下面性质以时极限为例，其它极限有类似结