张厚粲 第三章 集中量数

第三章集中量数反应数据集中趋势的统计量叫集中量数。常用的集中量数包括

算术平均数、中位数和众数等等。第一节算数平均数算术平均数（arithmeticaverage

）一般简称为平均数（average）或均数、均值（mean）。一般用Ｍ，或者用表示。算术平均数是最常用的集中量。算术平均数→平均数或均数、均值（一）为分组数据计算平均数的方法一、平均数的计算表示原始分数的总和，N表示个数

由上述公式可得算术平均数的几个重要特点=0如果数据的数目以及每个观测值都很大时么应用公式比较麻烦。要用估计平均数。AM为估计平均数N

数据个数二用估计平均数计算平均数算术平均数是应用最普遍的一种集中量。它是“真值”（truescore）的最佳估计值。真值是反映某种现象的真实水平的分数。由于测量过程中的各种偶然因素的影响，真值往往很难得到。在实际测量中，往往采用“多次测量，取平均数”的方法，用平均数去估计真值。原理推导三、平均数的意义算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些特点：反应灵敏有公式严密确定简明易懂适合代数运算抽样变动影响不大等等，因此是一个最常用的集中量。主要不足：容易受两极端数值的影响一组数据中有模糊不清的数值时无法计算。三、平均数的优缺点三、平均数的优缺点同质性原则：算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。平均数与个体数值相结合的原则：在解释个体特征时，既要看平均数，也要结合个体的数据。平均数与标准差、方差相结合原则：描述一组数据时既要分析其集中趋势，也要分析离散程度。四计算和应用算术平均数的原则第二节中数与众数一中数中数（median）又称为中点数，中位数。是按顺序排列的一组数据中位于中间位置的数。中位数是常用集中量的一种。一般用Md或Mdn表示。（一）未分组数据求中数的方法1.一组数据中无重复数值的情况（1）数据个数为奇数，则Md为位置的那个数（2）数据个数为偶数，则Md为居于中间位置的两个数的平均数，即2.一组数据中有重复数值的情况（1）当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据时求中数的方法相同（2）当重复数值位于数列中间，数据的个数为奇数。（3）当重复数值位于数列中间，数据个数为偶数。次数分布表计算法74.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.51110987654321表3-152名学生数学成绩次数分布表1371221324045485052累积频数145－5224591185322频数f合计50－55－60－65－70－75－80－85－90－95－成绩由下至上累积频数计算公式公式中:Lb为中位数所在组的精确下限

fb为中位数所在组下限以下的累积频数

n为数据总和

fmd为中位数所在组的频数

i为组距表3-252名学生数学成绩中位数计算表1371221324045485052累积频数1455224591185322频数f合计505572.2736065707580859095计算成绩由上至下累积频数计算公式公式中:La为中位数所在组的精确上限

fa为中位数所在组上限以上的累积频数

n为数据总和

fMd

为中位数所在组的频数

i为组距成绩频数f累积频数计算95229028538057587011659605554502451合计5272.273成绩频数f累积频数计算95229024853780512758207011316594060545554495025145152合计52中数总的估计原则首先找出中数所在的位置如果出现特殊情况：如出现重复数据或者数据不清晰等，应根据数据的情况进行具体分析，运用相应的公式计算。(二)中数的特点及应用中数是根据全部数据的个数来确定其位置的，意义简明，对按顺序排列的数据来讲，计算中位数也比较容易。中数不受两端极端数据的影响，但反应不灵敏，也不适合进一步代数运算的要求。一般用于下列情况：一组数据中有极端数据时；一组数据中有个别数据不确切、不清楚时；资料属于等级性质时。二、众数众数（mode）又称为范数、密集数、通常数，用Mo表示，有两种定义：众数也是一种集中量，也可用来表示一组数据的集中趋势。（一）众数的计算方法

观察法寻找粗略众数未分组数据中出现次数最多的数即为众数。次数分布表中，频数最多那一组数据的组中值，即为众数。公式法计算理论众数的近似值

用公式计算的众数称为理论众数。一般在心理与教育统计中常用的公式有皮尔逊的经验公式和金氏插补法公式。皮尔逊经验公式金氏插补法皮尔逊经验公式只有当数据分布呈正态或接近正态时才能使用。当数据分布呈偏态时，一般用金氏插补法计算众数。MoMMd众数的优缺点众数的概念简单易懂，但