平面问题直角坐标-习题

弹性力学

习题课(二)平面直角坐标解答1.已知

（a）φ＝Ay2(a2-x2)+Bxy+C(x2+y2),

（b）φ＝Ax4+Bx3y+Cx2y2+Dxy2+Ey4

试问它们能否作为平面问题的应力函数？

解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将φ代入相容方程，（ａ）其中必须A=0,才可成为应力函数；（ｂ）必须满足3(A+E)+C=0,才可成为应力函数。2.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，试用应力函数φ＝Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。

解：已经给出了应力函数φ，可按下列步骤求解。（1） 将φ代入相容方程，显然是满足的。(2)将φ代入求出应力分量(3)考察边界条件：主要边界应精确满足式在次要边界条件x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负ｘ面，图中表示了负ｘ面上σx和τxy的正方向，由此得由式(a),(b)解出最后一个次要边界条件（x=l上），在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得3.矩形截面的柱体受到顶部的集中力F和力矩M的作用，如图所示，不计体力，试用应力函数φ＝Ay2+Bxy+Cxy3+Dy3求解其应力分量。

解：应用上述应力函数求解：（1）代入相容方程，满足。（2）求应力分量，在无体力下，得（3）考察边界条件。在主要边界（），在次要边界x=0,再由（a），（b）式解出代入，得应力解答，4.挡土墙的密度为ρ1，厚度为ｂ，水的密度为ρ2，试求应力分量。

解：用半逆解法求解。（1）假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2边界上，σy=0;y=b/2边界上，σy=-ρ2gx,所以可假设在区域内σy为（2）推求应力函数的函数。由σy推求φ的形式，（3）由相容方程求应力函数。将φ代入，得要使上式在任意的ｘ处都成立，必须代入φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。（4）由应力函数求应力分量。注意体力X=ρ1gY=0,求得应力分量为：(5)考察边界条件：在主要边界上，有由上式得到在次要边界条件x=0上，列出三个积分的边界条件：求解各系数，得：代人应力分量的表达式，得应力解答：5.在材料力学中，当矩形截面梁（厚度δ=1）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，见右图，弯应力公式为：（ａ）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力τxy

和挤压应力σy

的公式。（ｂ）当

q为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程？试在σx

中加一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y)，并校核梁的左右边界条件。解：本题应用材料力学的弯应力σx

的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解、应力分量必须满足：（１）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（ａ）不计体力，将代入平衡微分方程第一式，得：两边对ｙ积分，得：再由上下的边界条件代入τyx，得：其中，将τyx代入平衡微分方程的第二式：对ｙ积分，得：由上下的边界条件，得同样得由此得上述解答ｘ及式（ｃ）和式（ｄ）已满足平衡微分方程及y=h/2的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的次要边界条件。（ｂ）若q=常数，则代入相容方程，为了满足相容方程，令此式σx和式(c),(d)一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得：积分得：由x=l