沪教版高一数学基本不等式及其应用教学计划：第二单元

第10页沪教版高一数学根本不等式及其应用教学方案：第二单元为了方便老师的教学,查字典数学网为大家整理了沪教版高一数学根本不等式及其应用教学方案,希望能给老师一个参考。一、教学内容分析本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的根底上展开的,要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时根本不等式的引入与学习是必要的。根本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以根本不等式应重点研究。从教学设计理念上来看,教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用,不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习,更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动,引导学生主体参与、探究本质、经历过程。从知识应用价值上来看,根本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜测、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用;另外它在如“求周长一定,面积最大;面积一定,周长最小〞等实际问题的计算中也经常涉及到。从学生能力的培养来看,根本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。二、学情分析学生在初中阶段,学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念,高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解,学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容,变换灵活,应用广泛,条件有限制,考察了学生数形结合、类比转化等数学思想;对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高,在实际问题的解决中应用广泛。因此,必须从根本不等式的代数结构和几何意义两方面入手,才能让学生深刻理解它的本质。另外,在用根本不等式解决最值时,学生往往容易无视根本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生初步领会根本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用,并在第二课时重点学习与掌握。三、教学目标设计1.理解并掌握两个根本不等式,并能运用它们解决一些简单问题,如本节课导入环节中的实际问题;2.思考生活中实际问题的解决方案,感受根本不等式的知识产生过程,并在练习中逐步体会根本不等式应用的特点及优势;3.经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养分析问题、解决问题的能力,体会数形结合、类比代换等学习思想;4.学会用数学的眼光看世界,用数学思维认知世界,养成善于思考的良好习惯;四、教学重点及难点1.教学重点：两个根本不等式的知识发生过程和证明;根本不等式的应用;2.教学难点：根本不等式的应用,包括解决实际问题,求最值;3.几点说明：整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用〞的流程,从问题出发,应用数形结合理解不等式,并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件,尤其是对等号成立时充要条件的理解;在根本不等式的应用时,通过例1可逐步引导学生从根本不等式出发进行求证,然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考,接下来再通过具有根本不等式结构特点的例题进行练习,逐步引导学生运用根本不等式解决实际问题及求最值。五、教学方法与手段本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用〞的教学设计思路：1.提出问题、启发诱导,以学生为主体,以根本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学生探究思索;2.讲练结合,同时采用变式教学,稳固应用,加深理解;3.以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段,直观演示,不仅启发思考,也加深学生对根本不等式的理解。六、教学过程设计1.问题提出问题：班级要用班费为秋游做准备,其中有一项要准备塑料绳子,把树干围成矩形作为活动的场所,由于班费有限,如何用最短的绳子围成最大的面积呢?设计意图：引导学生在已学知识的根底上,针对该问题进行思考与讨论,不仅提高对于根本不等式学习的兴趣,更培养它们分析问题的能力;2.根本不等式1的引入问题：在客观世界中,有些不等关系是永远成立的,引发学生试举一些恒成立的不等关系.根据学生答复,针对()进行提问,既然,那么可以用代替不等式中的吗?得到：进一步变形可得：思考：l不等式恒成立,和应该满足什么条件;l不等式的等号成立时,和应该满足什么条件;设计意图：l基于学生所熟知的“平方数为非负数〞恒成立的不等关系,引出;l引发学生思考和所满足的条件,帮助学生对于根本不等式1中关键条件的理解;3.根本不等式1对于任意实数和,有,当且仅当时等号成立.〔1〕根本不等式1的辨析l;l当且仅当时等号成立;思考：“当且仅当〞的含义是?l当a=b时,取等号,即;l仅当a=b时,取等号,即。设计意图：对应问题引入中的两个思考,再次强调根本不等式1中“当且仅当〞的含义。〔2〕根本不等式1的几何解释abl：四个全等的直角三角形构成正方形,直角边分别为a、b,当a≠b时,构成的正方形如左图所示,当a=b时,构成的正方形如右图所示.l那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的大小关系是?设计意图：给出根本不等式1的几何解释,帮助学生加深对根本不等式1的理解,尤其是对“当且仅当〞的理解。4.根本不等式2的引入问题：当a>0,b>0时,在不等式中,以、分别代替a、b,得到什么?得到：设计意图：类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了两个根本不等式的来源及本质是相同的,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,有助于今后的学习。5.根本不等式2对于任意正数、,有,当且仅当时等号成立.把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此根本不等式2也可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.〔1〕根本不等式2的辨析l;l当且仅当时等号成立;思考：“当且仅当〞的含义是?l当a=b时,取等号,即;l仅当a=b时,取等号,即。〔2〕根本不等式2的证明证明：法1.因为、为正数,所以、均存在.由根本不等式1,得,当且仅当时等号成立.即,当且仅当时等号成立.法2.因为,所以.当时,.当时,.所以,当且仅当时,的等号成立.〔3〕根本不等式2的扩充思考：当、为零时,根本不等式2是否成立?根本不等式2的扩充：对于任意非负数、,有,当且仅当时等号成立.〔4〕根本不等式2的几何解释l：AB是半圆O的直径,过圆周上任意一点D做AB的垂线,令AC=a、CB=b,那么DO=_____________,DC=_______________;l得到：____________________________________;设计意图：给出根本不等式2的几何解释,帮助学生加深对根本不等式2的理解,尤其是对“当且仅当〞的理解.6.根本不等式的应用例1：,求证：,并指出等号成立的条件.证明：方法多种,可进行作差或者由刚学的根本不等式1入手,进行求证,同时也可以运用根本不等式求最值的方法;其中一种方法示范板书为：因为,所以、同号,并有,.所以,.当且仅当,即时等号成立.思考：假设,那么代数式的取值范围是什么?设计意图：考察学生运用根本不等式时,要特别注意等号取到时的条件是否满足。例2：假设的最小值为________,此时练习2：的最小值为________,此时设计意图：帮助学生辨识根本不等式的结构特点,以及求最值的简单运用。例3.在周长保持不变的条件下,何时矩形的面积最大?猜测：由几何画板演示得出.解：设矩形的长、宽分别为、(、)且(定值),那么同样周长的正方形的边长为.矩形面积,正方形面积由根本不等式2,得,又由不等式的性质得,即.由题意,(定值),所以(定值).当且仅当,即矩形为正方形时,矩形的面积最大.思考：例3中的,为什么要为定值呢?如果不是定值,面积有最大值吗?设计意图：l通过例2和例3,先让学生通过根本不等式的运用,体验并思考“当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值;当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值〞,这样在第二课时给出该结论效