Matlab语言及应用10-基于传递函数模型的控制系统设计

第十章基于传递函数模型的控制系统设计主要内容10.1概述10.2根轨迹法10.3Bode图法10.4PID控制10.1概述设计要求：

用性能指标描述，主要包括稳定性动态性能阻尼程度（超调量、振荡次数、阻尼比）、响应速度（上升时间、峰值时间、调整时间）稳态性能：控制精度（稳态误差）控制系统具有良好的性能是指：输出按要求能准确复现给定信号；具有良好的相对稳定性；对扰动信号具有充分的抑制能力。本章内容：介绍基于传递函数模型的单输入单输出、线性、定常、连续、单位负反馈控制系统的设计问题。10.1概述校正方案反馈校正串联校正根轨迹法校正Bode图法校正

性能指标以频域量的形式给出时，用Bode法比较合适时域指标包括期望的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、剪切频率、谐振频率、带宽及反映稳态指标的开环增益、稳态误差或误差系数等。

单位反馈控制系统的性能指标以时域量的形式给出时，用根轨迹校正方法比较方便。时域指标包括期望的闭环主导极点的阻尼比和无阻尼自振频率、超调量、上升时间和调整时间等。10.1概述设计方法10.2根轨迹法实质原则

通过校正装置改变系统的根轨迹，从而将一对闭环主导极点配置到需要的位置上。

若在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减少系统响应的调整时间。10.2根轨迹法原系统的开环传递函数为未校正系统的开环传递函数为：校正装置的传递函数记为：校正后系统的开环传递函数为：数学模型10.2根轨迹法

系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校正装置。一、根轨迹的几何设计方法

根据动态性能指标要求确定闭环主导极点S1的希望位置。计算出需要校正装置提供的补偿相角c确定校正装置的参数采用带惯性的PD控制器采用PD控制器验算性能指标串联超前校正极点位置零点位置

位置的确定方法同理S110.2根轨迹法几何法串联超前校正函数

[ngc,dgc]=rg_lead(ng0,dg0,s1)%带惯性的PD控制器ngc=rg_lead(ng0,dg0,s1)%PD控制器10.2根轨迹法 【调用格式】【说明】ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。s1是满足性能指标的闭环主导极点。ngc,dgc为超前校正装置传递函数的分子、分母系数向量。根据超调量bp、调整时间ts、误差宽度delta，求解闭环主导极点s

s=bpts2s(bp,ts,delta)根据阻尼比kosi、无阻尼自振频率wn，求解闭环主导极点ss=kw2s(kosi,wn)根据闭环极点s，求解阻尼比kosi和无阻尼自振频率wn

[kosi,wn]=s2kw(s)常用设计函数

例10.2.1

设单位负反馈系统的开环传递函数为：系统期望性能指标要求：开环增益；单位阶跃响应的特征量：试确定：带惯性的PD控制器的串联超前校正参数PD控制器的串联超前校正参数10.2根轨迹法二、根轨迹的解析设计方法设串联超前校正装置的传递函数为

确定所求的、需满足的方程：由复数欧拉公式：根据稳态性能和动态特性要求，确定和10.2根轨迹法利用上述方程可分为实部、虚部，确定未知数

例10.2.2

同例10.2.1，试用根轨迹解析法确定超前校正装置。

【调用格式】 [ngc,dgc]=ra_lead(ng0,dg0,s1)【说明】其输入变量和输出变量的定义与rg_lead函数相同。10.2根轨迹法10.2根轨迹法

如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满意，可以通过在前向通道中串联一个滞后校正装置来解决，既增大了开环增益，又使动态响应特性不发生明显变化。一、根轨迹的几何设计方法

根据动态指标要求，确定闭环主导极点的希望位置

求取未校正系统根轨迹上的对应于闭环主导极点的开环增益计算期望的开环增益，并求取

确定滞后校正装置的和

令取小于1的正数。并验证否则重新选择。或验算性能指标

10.2根轨迹法10.2根轨迹法【调用格式】 [ngc,dgc,k]=rg_lag(ng0,dg0,KK,s1,a) 【说明】ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量。KK是为了要达到期望的开环增益，原系统开环增益需要提高的倍数。s1是满足性能指标的闭环主导极点，a为调整的幅角余量0~5。ngc,dgc为超前校正装置传递函数的分子、分母系数向量，k为满足动态性能要求的未校正系统的根轨迹增益。例10.2.3

设单位负反馈系统的开环传递函数为：指标要求：（1）开环增益；（2）单位阶跃响应的特征量：，。试确定串联滞后校正装置的参数和二、根轨迹的解析设计方法

采用根轨迹的解析设计方法设计滞后校正装置与超前校正装置的方法相同，设滞后校正装置的传递函数为：例10.2.4

同例10.2.3,试采用解析方法确定串联滞后校正的传递函数。10.2根轨迹法10.3Bode图法基本要求

为了获得比较高的开环增益及满意的相对稳定性，必须改变开环频率特性响应曲线的形状，这主要体现为：在低频区和中频区增益应该足够大，且中频区的对数幅频特性的斜率应为-20dB/dec，并有足够的带宽，以保证适当的相角裕度；而在高频区，要使增益尽可能地衰减下来，以便使高频噪声的影响达到最小。Bode图设计方法的频域指标为。基本思路

在Bode图中的对数频率特性的低频区表征了闭环系统的稳态特性，中频区表征了系统的相对稳定性，而高频区表征了系统的抗干扰特性。在大多数实际情况中，校正问题实质上是在稳态精度和相对稳定性之间取折衷的问题。10.3Bode图法一、Bode图的几何设计方法1．根据稳态指标要求确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其Bode图；2．根据动态指标要求确定超前校正装置的参数；第一种情形：给出了的要求值（1）确定超前校正所应提供的最大超前相角（2）求解的值（确定）串联超前校正如果，说明值选择合理，能够满足相角裕度要求，否则按如下方法重新选择的值：若，则正确，否则重新调整值。（3）由求出的值。

第二种情形：未给出的期望值（1）确定串联超前校正所应提供的最大超前相角（2）根据求出的值；10.3Bode图法（3）根据求出；（4）根据求出的值。3．验算性能指标对于三阶及其以上的高阶系统应该验证幅值裕度，并评价系统抑制干扰的能力。或10.3Bode图法 【调用格式】[ngc,dgc]=fg_lead_pm(ng0,dg0,Pm,w)

%带惯性的PD控制器（wc未知）[ngc,dgc]=fg_lead_pm_wc(ng0,dg0,Pm,wc,w)

%带惯性的PD控制器（wc已知）[ngc,dgc]=fg_lead_pd(ng0,dg0,wc)

%PD控制器

例10.3.1

设被控对象的传递函数其设计要求：，，

rad/s，dB。试设计带有惯性环节的并联超前校正控制器。10.3Bode图法【说明】ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量（满足开环增益要求）。Pm为期望的相角裕度，wc为期望的剪切频率，w为指定的Bode图频率范围。返回值ngc,dgc为超前校正装置传递函数的分子、分母系数向量。10.3Bode图法设计校正装置（）的步骤如下：1、根据，可得到2、利用方程可分为实部、虚部两个方程，求出、值其中由复数欧拉公式：二、Bode图的解析设计方法例10.3.3

设被控对象的传递函数设计要求：

用Bode图解析法设计串联超前校正控制器10.3Bode图法【调用格式】 [ngc,dgc]=fa_lead(ng0,dg0,Pm,wc,w) 【说明】输入变量和输出变量的定义与fg_lead_pm_wc函数相同。10.3Bode图法描述：串联滞后校正的主要作用在不改变系统动态特性的前提下，提高系统的开环放大倍数，使系统的稳态误差减小，并保证一定的相对稳定性。设滞后校正装置的传递函数为一、Bode图的几何设计方法1．根据稳态指标确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其Bode图；2．根据动态指标要求确定滞后校正装置的参数；串联迟后校正第一种情形：给出了的要求值（1）根据求出；（2）为了减少滞后校正对系统的影响，通常取并求出；第二种情形：未给出的要求值若相角裕度不足，找出满足（可加的裕量）的频率点作为校正系统的剪切频率，然后按第一种情形处理。3．验算性能指标10.3Bode图法例10.3.4

设被控对象的传递函数为：其设计要求：，。例10.3.5

设被控对象的传递函数为：其设计要求：，rad/s，。10.3Bode图法 【调用格式】[ngc,dgc]=fg_lag_pm(ng0,dg0,w,Pm)%滞后校正控制器（wc未知）[ngc,dgc]=fg_lag_wc(ng0,dg0,w,wc)%滞后校正控制器（wc已知）【说明】参数定义与fg_lead_pm_wc函数相同。二、Bode图的解析设计方法

采用这种方法设计校正装置（），伯德图解析法滞后校正和超前校正的原理完全相同，可以采用fa_lead求取校正装置的参数。例10.3.6

同例10.3.4，且rad/s,用解析法设计串联迟后校正控制器。10.3Bode图法串联滞后—超前校正串联滞后—超前校正装置的传递函数为：10.3Bode图法采用Bode图法设计串联滞后—超前校正装置的基本步骤根据给定的动态指标，确定串联超前校正部分的参数。根据给定的稳态指标，确定串联滞后校正部分的参数。验算性能指标。如果不满足预期指标，视具体情况适当调整校正环节的参数。10.3Bode图法反馈的作用1、比例负反馈可以减弱为其包围环节的惯性，从而将扩展该环节的带宽；2、负反馈可以减弱参数变化对系统性能的影响；3、负反馈可以消除系统不可变部分中的不希望有的特性；4、负反馈可以削弱非线性影响；5、正反馈可以提高反馈环路的增益。

在位置随动系统中，常常采用速度反馈这种形式来提高系统的控制性能。反馈校正10.3Bode图法设控制系统的方块如下所示，其中为反馈校正环节

当时，内反馈环的传递函数为系统的开环传递函数为设计使上式与系统的期望幅频特性的中频段特性相一致设，为反馈增益，为微分的阶次。

为放大环节，为积分环节，开环传递函数可构造为：10.3Bode图法10.3Bode图法1、根据给定期望闭环的时域指标求取期望的频域指标2、根据开环期望频率特性的频域指标，确定系统的中频段参数3、由于期望对数幅频特性穿越0dB线，可得中频段增益4、取中频段的倒特性，即可求取校正环节的传递函数。反馈校正装置的设计步骤10.3Bode图法例10.3.8

火炮系统方框图下所示。试设计反馈校正环节，以满足下列要求：

10.4PID控制描述设连续PID控制器的传递函数为：

PID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又较易于整定，因此它在工业过程控制中有着最广泛的应用。大多数PID控制器是现场调节的，可以根据控制原理和控制效果对PID控制器进行精确而细致的现场调节。典型PID控制系统结构图10.4PID控制1、比例控制结论：比例系数增大，闭环系统的灵敏度增加，稳态误差减小，系统振荡增强；比例系数超过某个值时，闭环系统可能变得不稳定。例10.4.1设被控对象的数学模型为分析比例、微分、积分控制对系统的影响。2、积分控制结论：可以提高系统的型别，使系统由有差变为无差；积分作用太强会导致闭环系统不稳定。比例、积分、微分控制作的分析3、微分控制

结论：微分具有预报作用，会使系统的超调量减小，响应时间变快。4、不完全微分控制

结论：解决了完全微分的物理实现性问题；当N=10的时候，不完全微分近似于完全微分作用；不完全微分解决了完全微分作用对阶跃信号第一拍的输出为无穷大，以后各拍微分作用的输出为零的问题；10.4PID控制5、微分先行控制

结论：具有和完全微分相同的作用，改善了完全微分的不足：解决了完全微分控制对阶跃性误差信号（主要有阶跃给定引起）在第一拍会输出很大的控制量而在第一拍后微分作用都为零的问题。10.4