matlab课件第2章 矩阵及其操作

阵列中的每列数据代表一个变量，每一行代表一个观察者，第（i，j）个要素是第i个观察者的第j个变量。对5个人的3个身体指标数据进行记录Data=[72134328120135691567182148247517012];7.基于列的操作规则例子

>>A=[163213;510118;96712;415141]A=163213510118

96712415141>>a3=A(3),a5=A(5)a3=

9a5=

3序号(Index)与下标(Subscript)一一对应，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系可利用sub2ind和ind2sub函数求得。>>sum(Data)ans=37908090174>>mean(Data)ans=758161834800>>max(Data)ans=820201071Data=[72134328120135691567182148247517012];7.基于列的操作规则

基于列操作规则的函数max-最大值min-最小值mean-平均值median-中值std-标准差var-方差sort-升序排列sortrows-按行的升序排列sum-求和prod-求积hist-直方图histc-直方图计数trapz-梯形数值积分cumsum-元素的累积求和cumprod-元素的累积求积cumtrapz-累计梯形数值积分基本操作有限差分

diff-微分和导数

gradient-梯度

del2-离散拉普拉斯算子相关性分析

corrcoef-相关系数

cov-协方差矩阵

subspace-子空间的夹角

滤波和卷积filter-一维数字滤波器

filter2-二维数字滤波器

conv-卷积和多项式乘法

conv2-二维卷积

convn-N维卷积

deconv-反卷积和多项式除法运算

detrend-去除线性趋势基于列操作规则的函数傅里叶变换

fft-离散傅里叶变换

fft2-二维离散傅立叶变换

fftn-N维离散傅里叶变换

ifft-逆离散傅立叶变换

ifft2-二维逆离散傅立叶变换

ifftn-N维离散傅里叶逆变换

fftshift-移零频率分量的频谱中心

ifftshift-逆FFTSHIFT8.矩阵的下标引用通过矩阵下标来存取矩阵元素。1)访问单个元素2)线性引用元素3)访问多个元素1)访问单个元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1A（i，j）i——行号；j——列号。>>A(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)ans=342.线性引用元素对于矩阵A，线性引用元素的格式为A(k)。通常这样的引用用于行向量或列向量，但也可用于二维矩阵。MATLAB按列优先排列的一个长列向量格式（线性引用元素）来存储矩阵元素。A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(6)ans=103.访问多个元素操作符“：”可用来获取矩阵的多个元素。若A是二维矩阵，其主要用法如下：

A(:,:)矩阵A的所有元素

A(i,:)矩阵A第i行的所有元素

A(i,k1:k2)矩阵A第i行的自k1到k2列的所有元素

A(:,j)矩阵A第j列的所有元素

A(k1:k2,j)返回矩阵A第j列的自k1到k2行的所有元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(3,:)ans=???9.逻辑下标x=[2.11.71.61.5NaN1.91.81.55.11.81.42.21.61.8];>>index=isfinite(x)index=1111011111111>>x(index)ans=2.11.71.61.51.91.81.55.11.81.42.21.61.8>>x=x(isfinite(x))x=

2.11.71.61.51.91.81.5

5.11.81.42.21.61.8>>x=x(abs(x-mean(x))<=3*std(x))x=2.11.71.61.51.91.81.51.81.42.21.61.8删除离群点删除异常点find函数寻找满足特定逻辑条件的数组元素的索引>>k=find(isprime(A))'k=259101113>>A(k)ans=

53211713>>A(k)=NaNA=16NaN

NaN

NaN

NaN10NaN896NaN12415141A=163

2

13

510118967 1241514110.矩阵信息的获取1)矩阵的尺寸2)元素的数据类型3)矩阵的数据结构1）矩阵的尺寸矩阵尺寸函数可以得到矩阵的形状和大小信息。2）元素的数据类型查询元素数据类型信息。3）矩阵元素的数据结构判断矩阵是否为某种指定数据结构11.稀疏矩阵1）稀疏矩阵的创建2）稀疏矩阵的查看3）稀疏矩阵的运算规则若一个矩阵只有少数的元素非零，称为稀疏矩阵。稀疏矩阵用非零元素及其对应的下标来表示。用户可以创建双精度、复数和逻辑等类型的稀疏矩阵。

11.稀疏矩阵1）稀疏矩阵的创建函数sparse可用于创建稀疏矩阵

S=sparse(i,j,s,m,n)i,j——稀疏矩阵非零元素的行和列下标s——相应的非零元素的值m,n——是矩阵的行数和列数函数sparse从满矩阵转化为稀疏矩阵；函数full从稀疏矩阵转化为满矩阵。其它用于创建特殊稀疏矩阵的函数2）稀疏矩阵的查看MATLAB提供一些函数用于查看稀疏矩阵的信息，如下表所示。MATLAB自带一个的稀疏矩阵west0479。2）稀疏矩阵的查看3）稀疏矩阵的运算规则绝大多数适用于满阵的各种命令和函数都可以用于稀疏矩阵的运算，并且遵循如下约定：把矩阵变为标量或者定长向量的函数总是给出满矩阵；对于标量或者定长向量变换到矩阵的函数，如函数zeros、ones、eye、rand等总是给出满矩阵；从矩阵到矩阵的变换函数将以原矩阵的形式出现；在参与矩阵扩展的子矩阵（如[AB;CD]）中，只要有一个是稀疏矩阵，那么所得的结果也是稀疏矩阵；在矩阵引用中，将仍以原矩阵形式给出结果。

第2章矩阵及其操作2.1数据类型2.2变量及其操作2.3矩阵基础2.4矩阵运算2.5矩阵的基本操作2.6矩阵分析2.7矩阵分解2.8矩阵相似变换2.9常用函数2.4矩阵运算矩阵的运算包括算术运算、点运算、关系运算、逻辑运算。1.算术运算

基本算术运算：＋(加)－(减)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)2.4矩阵运算矩阵的运算包括算术运算、点运算、关系运算、逻辑运算。1.算术运算

基本算术运算：＋(加)－(减)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)加减法运算语法：A+B语法：A-B>>A+A'ans=32811178201723111714261723262>>A-A'ans=0-2-79205-77-50-2-9720注意：矩阵A和B矩阵的维数须相同。语法：A*B

>>A*A'ans=438236332150236310278332332278310236150332236438注意：矩阵A和B矩阵的维数有要求，两矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则A*B为m×p矩阵。矩阵乘法矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如：若a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.15]。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\b和b/A运算可以实现。A\b等效于A的逆左乘b矩阵，也就是A-1*b，而b/A等效于A矩阵的逆右乘b矩阵，也就是b*A-1。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\b≠b/A。矩阵与标量的运算>>B=A-8.5B=7.5-5.5-6.54.5-3.51.52.5-0.50.5-2.5-1.53.5-4.56.55.5-7.5>>C=A*2C=3264261020221618121424830282A=163213510118967 12415141矩阵的乘方语法：A^n>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A^2ans=341285261269261301309285285309301261269261285341要求：A为方阵，n为标量，不一定为整数。2.点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*./.\.^两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维数相同。点乘>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A.*Aans=256941692510012164813649144162251961A=163213510118967 12415141点乘方>>pows=[nn.^22.^n]pows=001112244398416165253263664749128864256981512>>n=(0:9)'n=01234567893.关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：<(小于)<=(小于或等于)>(大于)>=(大于或等于)==(等于)～=(不等于)3.关系运算关系运算符的运算法则：当两个标量进行比较时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。当两个维数相同的矩阵进行比较时，对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行比较，最终的关系运算结果是一个维数与所比较的矩阵维数相同的由0或1组成矩阵。当一个矩阵和一个标量进行比较时，则对矩阵的每一个元素与标量按标量关系运算规则逐个进行比较，最终的关系运算的结果是一个维数与矩阵相同的由0或1组成矩阵。4.逻辑运算MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)and|(或)or～(非)not(异或）xor逻辑运算的运算法则：非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么：

a&ba,b都为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|ba,b中只要有一个非零，运算结果为1。

～a当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。xor(a,b)当a和b有1个零，一个非零是，运算结果为1；否则，为零。4.逻辑运算4.逻辑运算若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。5.运算优先级运算符的优先级决定表达式求值顺序;具有相同优先级的运算符从左到右依次进行运算;不同优先级的运算符采用先进行优先高的运算。

运算符的优先等级表括号的优先级最高，因此可以用它来改变默认的优先级。2.5矩阵的基本操作矩阵的求和>>sum(A)ans=34343434矩阵的转置>>A'ans=16594310615211714138121A=163213510118967 124151412.5矩阵的基本操作矩阵的行列式>>det(A)ans=0A=163213510118967 12415141矩阵的特征值>>eig(A)ans=3408000-80/view/111348.html/view/1196645.htm命令窗口输入和输出控制格式函数format控制数值的显示格式。x=[4/31.2345e-6];>>formatshort;xx=1.33330.0000formatshorte;xx=1.3333e+0001.2345e-006>>formatshortg;xx=1.33331.2345e-006>>formatlong;xx=1.333333333333330.00000123450000其它支持的格式：>>helpformat2.6矩阵分析1．向量间的距离

2．矩阵的秩

3．矩阵的行列式

4．矩阵的迹

5．矩阵的化零矩阵

6．矩阵的正交空间

7．矩阵的简化梯形形式

8．矩阵空间之间的角度部分矩阵分析函数1．向量间的距离2．矩阵的秩矩阵A中线性无关的列向量个数称为列秩，线性无关的行向量个数称为行秩。可以证明列秩与行秩是相等的。3．矩阵的行列式4．矩阵的迹矩阵的迹定义为矩阵对角元素之和。5．矩阵的化零矩阵对于非满秩矩阵A，若存在矩阵Z使得AZ

=

0且ZTZ

=

I，则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵。

在MATLAB中用函数null()来计算矩阵的化零矩阵。6．矩阵的正交空间

矩阵A的正交空间Q满足QTQ

=

I，且矩阵Q与A具有相同的列基底。7．矩阵的简化梯形形式

矩阵A的简化梯形形式为，其中Ir为r阶单位矩阵。8．矩阵空间之间的角度

矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。2.7矩阵分解1．Cholesky分解

2．LU分解

3．QR分解

4．奇异值分解

5．Schur分解

矩阵分解是把一个矩阵分解成比较简单或者对它性质比较熟悉的若干矩阵的乘积的形式。矩阵分解函数表1．Cholesky分解

Cholesky分解是把对称正定矩阵A表示为上三角矩阵R的转置与其本身的乘积，即A

=

RTR。

/view/686970.htm1．Cholesky分解

对于稀疏矩阵，MATLAB中用函数cholinc()计算不完全Cholesky分解R=full(cholinc(sparse(X),DROPTOL))，其中DROPTOL为不完全Cholesky分解的丢失容限；

R=full(cholinc(sparse(X),‘0’))，完全Cholesky分解。

2．LU分解

高斯消去法又称LU分解:将任意一个方阵A分解为一个交换下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

LU分解在MATLAB中用函数lu()来实现

[L,U]=lu(X)，X为一个方阵，L为交换下三角矩阵，U为上三角矩阵；

[L,U,P]=lu(X)，X为一个方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩阵，满足关系P*X=L*U或X=P-1*L*U。2．LU分解

对于稀疏矩阵

[LU]=luinc(X,DROPTOL)，其中X、L和U

的含义与函数lu()中的变量相同，DROPTOL为不完全LU分解的丢失容限。当DROPTOL设为0

时，退化为完全LU分解。

[L,U]=luinc(X,‘0’)，0级不完全LU分解。

[L,U,P]=luinc(X,'0')，0级不完全LU分解。3．QR分解QR分解就是将m×n的矩阵A分解为m×n的矩阵Q和n×n的上三角矩阵R的乘积，且Q‘*Q=I，即A