中考数学二轮复习专题 《第5课时 开放探索问题》导学案(精讲专练)

第5课

开放探索题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适解题途径完成最后的解答由于题型新颖合性强结构独特等此类问题的一般解题思路并无固定模式套路，但是可以从以下几个角度考虑：．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从殊到一般，从而得出规律．．反演推理法（反证法设论成根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略而具体操作时更注重数学思想方法的综合运．三、考点精讲（）放问考一条开型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求例江淮安）在四边形ABCD中AB=DCAD=BC请再添加一个条件，使四边形ABCD是形.你添加的条件是

.(写出一种即分：已知两组边相等，如果其对角线相等可得到△≌△ABC≌ADC△BCD，而得到，∠=∠∠C=∠D=90°使四边形是形．解若四边形ABCD的角线相等，则由DCADBC可．△ABD≌△ABC≌BCD所以四边形ABCD的个内角相等分别等于90°直角，所以四边形ABCD是形，故答案为：对角线相等．评：题属开放型题，考查的是形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考二结开型给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2津）已知一次函数的图象经过点01满足y随的大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分：设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点01可确定出的，再根据随x的增大而增大确定出的号即可．解设次函数的解析式为：y+（k∵一次函数的图象经过点0，∴b=1，∵y随的增大而增大，∴k＞，故答案为y=+1（答案不唯一，可以是形如=kx，k＞的一次函数评：题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=+b（≠0中k＞0y随的大而增大，与轴交于（，b，b在y轴正半轴上．

考三条和论开的题此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考将已知的信息集中分析挖掘问题成的条件或特定条件下的结论方面多度多层次探索条件结论，并进行证明或判断．例32010玉）如图，在平行四边形ABCD中E是AD的点，请添加适当条件后，构造一对全等的三角形，并说明理由．分：先连接，再过D作DF∥BE交BC于F可构造全等三角ABE和．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DEBF，BE∥DF，又可得一个平行四形，那么利用其性质，可得，结合=BC等量减等量差相等，可证AE，利用可三角形全等．解添加的条件是连接BE过D作DF∥交于F构的全等三角形是ABE与CDF理由：∵平行四边形ABCDAE=ED∴在△与中，AB=CD∠=，又∵∥，∥BE，∴四边形BFDE是行四边形，∴DE，又=，∴AD﹣DE=﹣BF，即=CF∴△ABE案不唯一，也可增加其它条件）评：本题利用了平行四边形的性和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考四编开型

．．．．此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．．．．．例年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为树地震灾区捐款元已知班比人均捐款多2班人数比班人数少10%请你根据上述信息，就这两个班级人数或人均捐款提一个用分式方程解决的题，并写出解题过程．分：题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元班款数－班款数=4元1班数=班人数，从而提问解答即可．解解法一：求两个班人均捐款各少元？设班人均捐款元则班人均捐款（x+4元，根据题意得1800xx解得x

经检验x原方程的根∴x答：1班均捐36，2班均捐元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有人则根据题意得1800x90x解得x，检验x=50是方程的根∴90答：1班50人，2班45人评：于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（）究问考五动探型此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例2011临）如图，将三角板放在正方形ABCD上使三角板的直角顶点与方形顶点A重合，三角扳的一边交于点．一边交CB的长于G．

）求证EF=EG；）如图2移动三角板，使顶E始终在正方形ABCD的线AC上，其他条件不变结是否仍然成立？若成立，请给予明：若不成立．请说明理由：（3如图，中的ABCD角一边经过点他条不变，若AB=a、BC=b，

EFEG

的值．分）∠GEB+∠BEF∠DEF+∠BEF可DEF∠GEB，正方形的性质，可利用SAS证FED△GEB问题得证；（2）首先点E分作BC、CD的线，垂足分别为H，利用SAS证FEI，则问题得证；（3）首先过点E分作BC的线垂分为，得EM∥AD，可得△∽△CADCEM∽△CAB两角对应相等的三角形相似GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解）明∵∠GEB∠BEF∠DEF+∠BEF∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，△FED，=EG；（2）立．证明：如图，过点E分别作BC的垂线，垂足分别为，则EH=EI∵∠GEH+∠HEF=90°∠HEF

∴∠IEF∠，∴eq\o\ac(△,Rt)FEI≌△，∴EF=；（3解：如图，过点E分作、垂线，垂足分别为MN，则∠，∴EM∥．∴△∽，CEM∽△CAB∴

NECEEM

，∴

NEEM，即，ABABa∵∠+=GEM∠=90°，∴∠∠FEN∵∠=∠=90°，∴△∽△FNE∴

EFEGEM

，∴

EFEG

．评：题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考六结探型此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．例6福省三明市）在矩形ABCD中点在AD，AB，AP．将直角尺的顶点放在处直角尺的两边分别交，BC点E，，接（图①（1）当点与B重时，点F恰与点重（如图②PC的；（2）探究：将直尺从图②中的位置开，绕P顺针旋转，当点和点重时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF中点经过的路线长．

分）勾定理求，利用互余关系证明△∽△DCP利用相似比求PC（2）tan∠的值不变．过作⊥，足为G同1的方法证eq\o\ac(△,明)APB△，相似比PFGF=，利锐角三角函数的定义求值；AP1（3）如图，画出起始位置和终点位置时，线中点，O，接O，线段O即为线段11的中点经过的路线长，也就是BPC的位线．解）在矩形ABCD中∠A=∠=90°，AP，CD=，则PB，∴∠∠APB，又∵∠BPC=90°，∴∠∠DPC，∴∠∠DPC∴△∽，∴

1即CDPCPC

，∴PC=25；（2）tan∠的不变．理由：过F作FG⊥，垂足为，则四边形ABFG是形，∴∠A∠PFG=90°，GF=2，∴∠∠APE，又∵∠EPF=90°，∴∠APE∠GPF=90°，

23n∴∠AEP∠GPF，23n∴△APEGPF，PFGF∴，∴eq\o\ac(△,Rt)，tan=∴PEF的值不变；

PF

=2，（3）线段中点经过的路线长为

．评：题考查了相似三角形的判与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考七规探型规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运.例7四成都）设

S1

11S=1S=122224

,…,

11Sn2(2设

S

SSS

，则S＝(用含n的代数式表示，其中正整数)．分：S

n(22[(22[nn22(2[n([(n

，求

S

，得出一般规律．解∵

S

n(2n[nnn[n(22(2[n(n2[n(

，

22∴

Sn

n(nn(nnn

，∴

S

112

1n(n22n故答案为：

n

2nn评：题考查了二次根式的化简求值．关键是由变，得出一般规律，寻找抵规律．n考八存探型此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8（2011辽宁大连）如图，抛物线y＝+bx经过（－1，0，0（）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点，△与PMB的积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物上是否存在一点R，使△与△RMB的积相等，若存在，直接写出点R的标；若不存在，说明理由．PCMA

O

B

图15分）利用待定系数法求解）想求点标，Q到的离应该等于到MB的离，所以Q点该在经过P点平行于直线上，或者在这条直线关于BM对的直线上，因此，求出这两条直线的解析式其抛物线交点即为所求点出R点标分用其横坐标表示与△的积，利用相等列出方程即可求出R点标．

22112解得，22解）22112解得，22

2

（2∵y4∴P（，）：y，M，）（，：，当PQ∥时设：y1∵P（1，）在直线上∴PQ：1

yy解得，

22∴，3将向平移4个单位得到y

yy3317217yy22∴Q

17

，

317Q，）yPCMAOB

x（3存在，设的坐标为（x，∵P（14M，2∴

x）S

PQR

2x3)3)x

．．．．S

PQR

∵x

解得，x2（舍）1∴当x时，2∴（2，）PERMF

2

AO

G

MB

评：面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四真演山东潍坊）一关的数同时满足两个条件：①象点；②当增大而减小，这个函数解析式_写出一个即可2011山）如图，四边形是行四边形，添加一条件：_______________________可使它成为矩形．ADBC（14题）

时．y随的泰州“根弹簧原长10cm在弹性限度内最可挂质量为kg的体，挂物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，

，则弹簧的总长度y（cm与所挂物体质量x（kg之间的函数关系式为y（0≤5王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个件，你认为该条件可以是：（需写出1个

2011广西百色）已知矩形的角线相交于点ON分是OD上异于O、D的．（1）请你在下列条件DM，②OMON③MN是的位，MNAB中选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件四边形ABNM为腰梯形，你添加条件是．（2）添加条件后，请证明四边形是等梯形．第部练习分贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二四象限：﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出的号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：湖南张家界）eq\o\ac(△,在)ABC中，=8AC=6在△中，，DF=3要使△与△相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可分析：解答：解：则需添加的一个条件是BC：1．∵在△ABC中=8=6，在△中，DE=4，DF，∴ABDE：1，：：，∵BC：：．∴△ABC∽．故答案为江苏连云港中考题关的程x－＋＝0有数根m的可以为___________任意给出一个符合条件的值即可)

2011广东湛江）如图，点，CF，E在直线上，1=，=，1（填是或不是）∠2的顶角，要使△DEF还需添加一个条件，可以是_______（需写出个）2011福省漳州市，19,8分如图，∠，请在不增加辅助线的情况下添加一个适当的条件，使△ABCADE并证明．（1）添加的条件是；（2）证明：2010浙杭州中考题）给出下列命题：命题．点(是直线＝与曲线＝

1x

的一个交点命题．点(是直线＝2x与曲线＝

8x

的一个交点;命题．点(是直线＝3x与曲线＝…．

27x

的一个交点;（1请观察上面命题，猜想出命题

(

是正整数)（2证明你猜想的命题是正确的．2011德州●观察计算

当，时

a+b+与ab的小关系是＞ab．22当，时

a+b+与ab的小关系是=22

ab

．●探证明如图所示，ABC为O的接三角形，为径，过C作CD⊥AB于D设AD=a，=．（1）分别用a示线段，CD（2）探求与表式之间存在的关系（用含ab的式子表示●归结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出

a+ba+与的大小关系：≥ab．22●实应用要制作面积为平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．浙绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中点E在上点D在的延长线上，且ED=，如图．试确定线段与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情•探结论当点E为AB中点时图定段AE与DB小关系你直接写出结论=DB（填＞，“＜或=

2222（2）特例启发，解答題目解：题目中AEDB的小关系是AE=DB（填＞，＜或=由下：如图，过点E作EF，交AC于你成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中点E在线AB上点D在线上且．的边长为1AE，求长（请你直接写出结果★真题练参考答★析本的数没有指定是什么具体的函数可从一次函数反比例函数二函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是=

x

，y－x，=－等题答案不唯一）故答案为：y=

x

，y－+3=－+5等．析有个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加＝90°；由角相等的平行四边形是矩形．想到添加AC．【答案】∠ABC（或＝等）．解：根据弹簧的总长度（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式为yx（x）以得到：当x=1时弹簧总长为，当x=2时弹簧总长为cm…∴每增加千克重物弹簧伸长cm，故答案为：每增加1千重物弹簧伸长0.5cm．

22．解）择=CN22（2）证明：=，ADM=∠，=∴△AND，∴AM，由OD=OC知OM=，∴

OMONODOC∴∥∥AB且MN∴四边形ABNM是腰梯形．★练习分参考答★析】设此正例函数的解析式为=kx≠0∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜，∴符合条件的正比例函数解析式可以为=﹣x（答案不唯一【答案】故答案为：y=﹣x（答案不唯一．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道两组个对应边的比为2：，所以第三组也满足这个例即可