数值分析四版绪论

欢迎你学习数值分析数理系王亚红科学计算的重要性•科学计算是工程实践的重要工具•科学计算是继理论与实验后另一科学研究手段课外阅读基础性，实用性，边缘性科学计算的国家战略与发展(1)•1983年一个由美国著名数学家拉克斯(P.Lax)为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出的报告之中，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事。”•1984年美国政府大幅度地增加对科学计算经费的支持,新建成五个国家级超级计算中心（分别在普林斯顿大学、圣地亚哥、伊里诺大学、康奈尔大学、匹兹堡大学），配备当时最高性能的计算机，建立NSF-net新网络。•80年代中期我国将“大规模科学与工程计算”列入国家资助重大项目。大型科学计算被列为国家”八五”重点基础项目.课外阅读•1987年起美国NSF把“科学与工程计算”，“生物工程”“全局性科学”作为三大优先资助的领域.•1990年美国国家研究委员会发表《振兴美国数学：90年代的计划》的报告，建议对由计算引发的数学给予特殊的鼓励和资助.•1991年以美国总统倡议的形式提出了“高性能计算与通信HPCC计划”，这是为了保持和提高美国在计算和网络的所有先进领域中的领导地位而制定的.其发展的关键技术是可扩展的大规模并行计算.•1995年美国为了确保核库存的性能安全性、可靠性和更新需要而实施的“加速战略计算创新ASCI计划”.科学计算的国家战略与发展(2)课外阅读战略计算•这是因为美国克林顿总统在1995年8月11日宣布：“美国决定谋求真正的“零当量”全面禁止试验核武器条约”。•这并不意味着核竞赛的结束，恰恰相反是核武器计划新时代的开始，要求通过逼真的建模和模拟计算来取代传统的反复试验的工程处理方法，这主要依赖于先进的数值计算和模拟能力。•1995年8月22日（即美国总统宣布决定后的11天），能源部DOE就采购世界上最快的一台计算机（速度超过万亿次运算）交付圣地亚哥实验室（96年12月安装）。•1998年7月30-31日，美国DOE/FNS共同联合组织召开了关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。课外阅读

研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用。课外阅读课外阅读应用问题举例今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。《九章算术》1、一个两千年前的例子课外阅读线性方程组的数值方法！课外阅读2、天体力学中的Kepler方程x是行星运动的轨道，它是时间t的函数非线性方程的数值解法!课外阅读全球定位系统：在地球的任何一个位置,至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号.

3.全球定位系统(GlobalPositioningSystem,GPS)课外阅读表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为，则得到下列非线性方程组课外阅读非线性方程组的数值方法!记为其中课外阅读4.已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温.插值法!课外阅读5.用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小（在不同的度量意义下）函数逼近!课外阅读6.人口预测

左侧表格给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743课外阅读曲线拟合!课外阅读7.铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.课外阅读这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.数值积分!课外阅读8.生物化学反应的例子

A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：课外阅读通过建模可以得到如下方程组

A：B：C：

常微分方程的数值方法!课外阅读G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”9.Google搜索引擎课外阅读London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)课外阅读

矩阵特征值问题的数值方法!课外阅读Ch1绪论1.数值分析课程介绍;2.学习要求与参考资料;3.计算方法中的基本概念:误差,误差估计,算法的稳定性;4.数值运算中尽可能避免误差危害的的几个原则.1.计算方法课程介绍随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。理论,实验,计算科学研究的手段数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。在70,80年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。计算方法的计算对象是微积分、线性代数、常(偏)微分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、非线性方程(组)求根、求解线性方程组的直接法和迭代法、矩阵特征值和特征向量的计算、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等问题。

数值分析的特点:面向计算机,根据计算机的特点提供实际可行的有效算法;有可靠的理论分析,分析算法的收敛性,数值稳定性,误差分析等;有好的计算复杂性:时间复杂性好,空间复杂性好;有数值实验.例

解n=25时的线性方程组用Cramer法则求解，即

设计算k阶行列式所需的乘法次数为mk,则容易推出于是,利用Cramer法则和Laplace展开定理求解一个n阶线性方程组,所需乘法次数就大于在一个百亿次计算机上，要做n=25时的线性方程组,则至少需要然而,如果改用高斯消去法,所需5830次乘除法,可在不到一秒钟之内完成这一计算任务.因此，在应用或构造算法时，还应考虑如何计算，才能即快又省。

计算方法、硬件对计算能力同等重要。例如：从50年代初到90年代中期，计算机经过几代更新，运算速度从千次/秒到几千亿次/秒，大致上提高了8个数量级（1亿倍），同一时期求解工程中大量出现的椭圆型微分方程的算法提高了12个数量级（1万亿倍）。以三维问题，每个方向上取100个网点的有限元方程的算法，50年代初流行的Gauss消去法大约1018个运算量，而90年代最快速的多重网格迭代法只需106个运算量。2.学习“数值分析”课程的要求注意掌握各种方法的基本原理;注意各种方法的构造方法;重视各种方法的误差分析;做一定量的习题和练习;注意与实际问题相联系.学习参考书1.李红《数值分析学习辅导习题解析》,武汉:华中科技大学出版2.封建湖车明刚《计算方法典型题分析解集》,西安:西北工业大学出版3.林成森《数值计算方法》,北京:科学出版社4.JohnH.Mathews《数值方法》(英文第3版),北京:电子工业出版社3.计算方法中的基本概念误差的来源

现实世界

研究对象测量数据数学模型的建立数值计算方法程序设计测量误差模型误差截断误差(方法误差)舍入误差上机计算求得结果误差的分类

通过对实际问题进行抽象、简化得到的数学模型，与实际现象之间必然存在误差，这种误差称之为模型误差。一般数学问题包含若干参量，他们的值往往通过观测得到，而观测难免不带误差，这种误差称之为观测误差。一般数学问题难以求解，往往要通过近似替代，简化为较易求解的问题，简化引起的误差称之为截断误差。由于实际计算是按有限位数进行的，所以数值解的每一步都可能产生误差，这种误差称之为舍入误差。关于截断误差

模型误差、观测误差、舍入误差我们从字面上不难理解他们的意义，截断误差的意义似乎不是那么直观。举的一个例子，求sinx的值时，我们有，

用计算机求值时，我们不可能计算右端无穷多项，只能截取有限项，若计算到项的话，截断误差便为.在数值分析中，截断误差是我们最要关心的误差，它是评价算法精确性重要的一个方面。

记准确数为，近似数为，绝对误差

绝对误差限

相对误差

相对误差限

数值运算的误差估计计算,如果每个的近似值为则A的近似值为误差限为相对误差限为的绝对值如果很大,就可能很大.例 求积分由可得算法1：

算法2：误差分析的重要性首先给出两种算法的初始值：

两种算法与真实值的比较00.18230.18230.18232210.088500.088390.088392220.057500.058040.058038930.045830.043140.043138740.020850.034310.034306950.095750.028470.02846846-0.31210.024330.024324971.7030.021230.02123268-8.3920.018810.0188369

在上表中，是算法1计算的值，是算法2计算的值，而是真实值的一个近似。从上表我们不难直观的得出结论：随着n的增大，算法1计算出来的值是越来越偏离真实值，我们说，算法1是不稳定的。

定义

对于某个算法，若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则，称该算法是数值稳定的。

例序列满足递推关系若计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?分析差之毫厘失之千里数值不稳定的算法舍入误差的影响

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。4.避免误差危害的若干原则数值运算总是在一个预先设计好的算法中进行的，所谓算法就是一个有限的基本运算序列。这个序列预定了怎样从输入数据去计算出问题的解。由于运算是在计算机上进行的，而计算机的字长有限，因而产生舍入误差。为减小舍入误差的影响，设计算法时应遵循以下一些原则：要避免除数绝对值远远小于被除数的绝对值的除法要避免两相近数相减要防止大数“吃掉”小数注意简化计算步骤，减少运算次数避免相近的两数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做).

例

各有五位有效数字的23.034与22.993相减.23.034-22.993=0.0410.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.

例

当x较大时,计算