微分方程建模

《数学建模》北京建筑工程学院院级选修课第六章微分方程建模§6.1引例两个简单的例子§6.2人口模型

Malthus模型

和Logistic模型

§6.3最优捕鱼策略模型

1996年全国大学生数学建模竞赛A题

§6.1引例在高等数学里我们已经学过微分方程的内容，微分方程能够帮助我们获得两个变量之间的函数关系，也即是一个变量随另一个变量变化的规律，这正是在许多实际问题中经常要解决的问题。微分方程的方法是比较经典的，曾经在自然科学、工程技术领域里经常应用。现在已经渗透到社会科学、经济科学、商业预测等领域，在这些领域也得到广泛的应用。例1.速度问题：质量为1g（克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在t=10s时，速度等于50cm/s，外力为4g.cm/s2。问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？分析：求解此问题其实就是要求，以时间t为自变量的速度函数v(t)。解：设自变量时间为t，质点运动的速度函数为v＝v(t)。a：质点运动的加速度。m：质点的质量。F：外力为。下面我们来求此速度函数。为了方便，记：根据牛顿定律知：由题意知：,其中k为比例常数。将t=10,v=50,F=4代入上式，有：解得：k=20。即：我们知道速度随时间的变化率就是加速度a，从而可得：其中m=1,k=20是已知的，t为时间是自变量，速度v是时间t的函数。所以（*）式是一个微分方程，容易求得通解：（*）代入m=1,k=20,t=10,v=50,得C=500。当t=60时，可求出原题的答案：(cm/s)得到特解：说明：此题求解的关键在于明确牛顿定律，明确速度的变化率为加速度，深入理解导数的意义，这样可以得到速度函数v(t)的微分方程。此题求解过程中运用了一些符号，进行了符号推算，这是基本功，应该多加练习提高。在数学推理时，一般开始时使用一些符号，有了最后的结果时才代入数值。例2.物体冷却问题：如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降到30℃需多长时间？分析：此题要用到水冷却时所遵循的规律，也即是牛顿冷却定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。解：设水冷却的时间为t，水的温度为T（随冷却时间t而变化，是t的函数）。根据牛顿冷却定律知，物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。记：空气温度为m，则：水与空气的温度差为(T-m)水在空气中的冷却速度为dT/dt由牛顿冷却定律得到：其中k为比例常数。m也是常数，所以这是以为t自变量T为函数的微分方程。容易求得通解：C为任意常数。由题中给出的条件，t=0时，T=100℃，及m=20℃，代入通解中得：C=80。再将t=20时T=60℃，及C=80代入通解得：所以得到水的冷却规律：由T=30℃求t，即是解方程：解得t=60(分)。故，需60分钟时间水温才降到30℃。说明：此题求解需要知道物理知识牛顿物体冷却定律。要对导数有较为深入的理解。有了这两点才能建立起来微分方程。§6.2人口模型一个物种的群体数量的变化总是按整数增加或减少的，因此用一个微分方程建立一个物种的增长模型似乎是不可能的。但是，如果一个给定的群体很大，而且突然增加的只是单一的个体，那么，这种变化与给定的群体规模相比是非常微小的，于是我们假设，大规模群体数量随时间变化是连续的甚至是可微分的函数。一：Malthus模型设表示一种给定物种在时刻的总数，就等于。

r表示该物种的净增长率(即随时间的增长数量与当前数量的比)，假设这个物种群体是孤立的，没有外来和流走的情况，这样r就是该物种出生率与死亡率之差。那么总数的变化率当我们假设r是常数时，即它不随时间或种群总数而变，就得到下面的一阶线性微分方程：（是常数）此方程被称为物种群体增长的Malthus模型。的总数是，则满足：如果所给物种在时刻解得：1从得出的解可以看到，物种群体总数的增长如果满足Malthus模型，其增长规律是随时间指数地增长的，所以Malthus模型也称为指数模型。2Malthus模型在物种发展初期，没有什么限制的时候是准确的，但是不论何种物种按指数增长到一定程度后，会受到各种条件的限制，不会按指数无限地增长下去。说明：Malthus模型是很简单的，但是它与某种条件下的实际情况是非常一致的。我们以地球上的人口总数为例来看一看，据估计1961年地球上的人口总数为3,060,000,000，人口总数以2%/年的速度增长。这样t0=1961,p0=3.06*109,r=0.02,故：用过去的人口总数来验证这个公式，发现在1700～1961年间的人口总数与公式计算的结果是非常惊人的一致。二：Logistic模型Malthus模型是不全面的，是有缺陷的。Malthus模型没有考虑物种总量增长到一定规模后就会受到自然资源和环境条件的限制，这时就不会按指数增长了。荷兰生物数学家Verhulst考虑到这一问题，并给出了下面的Logistic模型（以人口为例）。设时刻t的人口总数为p(t),

常数Pm表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数量，人口的净，（r为常数），即净增增长率为的增加而减少，当时，长率随着净增长率趋于零，即人口数量接近或等于Pm时，就不再增长了。

这样就得到人口数量的微分方程：给出初始条件容易求得解：这个模型称为Logistic模型。在Logistic模型里，我们容易看出，时，。当作为对Logistic模型的一种验证，由Pearl和Reed给出的关于美国的人口增长的模型，他们得到的方程如下：

下表是美国人口的实际数据与按上式计算的结果的比较（表中人数的单位：千人）。1790—1950年美国人口与计算的比较年实际数计算的数误差误差百分比17903929392900.0180053085336280.5181072407228-12-0.21820963897571191.2183012866131092431.9184017069175064372.61850231922319200.018603144530412-1031-3.3187038558393728142.118805015650177210.018906294862769-179-0.3190075995768708751.21910919729197200.0192010571110755918481.719301227751231243490.3194013166913665349843.81950150697149053-1644-1.1§6.3最优捕鱼策略模型一．问题这是1996年全国大学生数学建模竞赛A题，原题如下：为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理，简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，2龄鱼，...，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1.建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7,10.1，3.29(量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。条)，如果仍用固定努二．模型假设鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。根据题给条件，我们可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1,2,3.4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例很小，可假设全部死亡。持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。三．问题分析1.符号说明：在t时刻i龄鱼的条数，i=1,2,3,4.:4龄鱼捕捞强度系数：每年产卵量：每年初i龄鱼的数量，i=1,2,3,4.2．对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（1/年），我们理解为平均死亡率，是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数。鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。各龄鱼的变化满足：3．对捕捞强度系数的理解

单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即是捕捞强度系数k，它是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，一方面捕捞强度系数k决定了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化规律为：

另一方面决定了t时刻捕捞的3，4龄鱼数量为：和。4．对成活率的理解只有3，4龄鱼在每年的8月一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为：题目中已经说明了成活率为：所以每年初的1龄鱼的数量为：四．模型建立与求解1．问题1的模型可持续捕获要求每年年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量。如何得到最高年收获量，我们可以得到以下的优化模型：用Mathematica软件编程，可求得一元函数total(k)，并画出total(k)函数的图形如下：然后求出:k=17.3629时，最高年收获量为total=3.887075517793442*1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：

1.19599376181805*10^115.373946380883635*10^10

2.414669760543935*10^108.39551912331377*10^72．问题2的模型某渔业公司承包期为5年，已知初始时各年龄组的鱼群的数量，这样在一定捕捞强度系数k下，五年的总收获量就是k的一元函数total(k)，求