回归分析与预测

回归分析(fēnxī)与预测变量之间的关系(guānxì)可以分为函数关系(guānxì)和相关关系(guānxì)两类，函数关系(guānxì)表示变量间一一对应的关系(guānxì)，而相关关系(guānxì)则是变量间的某种非确定的依赖关系(guānxì)相关关系虽不确定，但在大量统计资料的基础上，可以找出相关关系变量之间的规律性，并借助相应的函数来表达这种规律性，对应的函数称为回归函数这种用函数的形式来描述与推断现象之间的相关关系，称为回归分析精品资料回归(huíguī)分析回归参数(cānshù)的估计参数的检验方程拟合效果评价变量的个数一元回归分析多元回归分析变量之间的形式线性回归分析非线性回归分析精品资料预测则是人们根据历史的资料和现实，利用已经掌握(zhǎngwò)的知识和手段，对事物的未来值进行事前的推测和判断，为计划或决策提供依据预测(yùcè)点预测区间预测根据回归方程返回自变量对应的因变量的预测值根据回归方程返回对应因变量的预测区间精品资料1.一元线性回归分析(fēnxī)与预测对应存在相关关系的两个变量X和Y，其中X为自变量，Y为因变量，可以(kěyǐ)建立回归方程：其中，

为回归方程常数项，

为回归的系数，为随机误差项精品资料根据(gēnjù)最小二乘法，可以得到和的估计值和其中和分别为变量(biànliàng)和的样本的均值回归的参数方程:精品资料回归参数(cānshù)的显著性检验在样本容量较小时，总体回归参数的显著性检验(jiǎnyàn)通过对回归参数进行t检验(jiǎnyàn)实现给定原假设，对应的t统计量为拟合优度检验拟合优度又称可决系数，可以用来检验回归方程对观测数据的拟合程度，可以度量方程总体回归效果的优劣对应可决系数为精品资料例1应用散点图和趋势线进行回归(huíguī)分析某家电厂商需要研究广告投入(tóurù)的效果，从所有销售额相似的地区中随机选取16个地区，分别统计该地区的销售额和广告费用数据如下表所示，试应用散点图和趋势线确定销售额和广告费用的回归方程，并给出方程的拟合优度精品资料16个地区(dìqū)广告费用和销售额(万元)精品资料例2应用(yìngyòng)LINEST函数进行回归分析某年度12个地区的财政收入和国民(guómín)生产总值量如下表所示，试给出财政收入与国民(guómín)生产总值的回归方程并分析回归效果精品资料某年度(niándù)12个地区财政收入与国民生产总值精品资料例3应用回归函数(hánshù)进行回归分析某年度(niándù)12个地区的财政收入和国民生产总值量如下表所示，试给出财政收入与国民生产总值的回归方程并分析回归效果精品资料某年度12个地区(dìqū)财政收入与国民生产总值精品资料例4应用回归(huíguī)分析工具进行回归(huíguī)分析已有研究表明一种(yīzhǒnɡ)股票的收益率同市场(market)的收益率相关，下表给出了2004年6月间22个交易日中长江电力(代码600900)的收益率和整个市场的收益率数据，试运用回归分析工具得到长江电力收益率同市场收益率的回归方程，并给出回归残差图和线性拟合图精品资料2004年6月22个交易日长江电力(diànlì)的收益率与市场收益率精品资料若为点预测(yùcè)，则对应的预测(yùcè)值为和变量(biànliàng)对应的一元线性回归方程为需要预测当时，对应的

值若为区间预测，则可分为对应的预测值为预测的的均值还是个体值若预测的为均值，真实值为两者之间的标准差为其中，精品资料在给定显著性水平(shuǐpíng)下，对应的的置信区间为若预测的为个体(gètǐ)值，真实值为两者之间的标准差为在给定显著性水平下，对应的的置信区间为精品资料例5一元(yīyuán)线性预测某家电厂商需要(xūyào)知道在一定的广告费用投入下对应的销售额，从所有销售额相似的地区中随机选取12个地区，分别统计该地区的广告费用和销售额数据如下表所示，试预测当投入广告费用为500万元时的销售额，并在0.05的显著性水平下给出预测区间精品资料12个地区(dìqū)销售额和广告费用(万元)精品资料2.多元线性回归(huíguī)分析与预测对于(duìyú)因变量Y和建立多元线性回归方程其中，

为常数项，

分别为自变量的回归系数，为随机误差项精品资料根据(gēnjù)一组样本，可以得到样本的回归方程:将回归系数写成矩阵的形式(xíngshì)，则根据最小二乘法有:其中精品资料多元回归分析的拟合优度主要(zhǔyào)采用可决系数和调整可决系数度量可决系数(xìshù)为回归平方和和总平方和的比值:由于与自变量的数目有关，对于多元线性回归采用调整来度量拟合优度其中，N为观测次数，n为自变量的个数精品资料回归方程的显著(xiǎnzhù)性检验，是检验可决系数是否显著(xiǎnzhù)，对应的F统计量值为回归系数的显著性检验是检验每个自变量是否(shìfǒu)对因变量有显著影响，采用t检验，对应的t统计量为其中，j=1,…,n，给定显著性水平下可以通过t检验自变量是否对有着显著的影响精品资料例6运用LINEST函数(hánshù)进行多元线性回归分析某公司为了研究某种产品的销售额与广告费用和促销费用的关系，从销售额相近的销售点中随机抽取了12个销售点的样本，对应(duìyìng)12个点的销售额和广告费用、促销费用如下表所示，试给出销售额与广告费用和促销费用的回归方程，并在0.05的显著性水平下对方程进行总体的显著性和回归系数的显著性进行检验精品资料12个销售点的销售额及广告和促销(cùxiāo)费用(万元)精品资料例7运用回归分析(fēnxī)工具进行多元线性回归分析(fēnxī)某研究人员试图研究社会零售商品总额的影响因素，选取4个可能的影响因素:人均可支配收入、国内生产总值、固定投资总额和财政收入，对应15年间的统计结果如下(rúxià)表所示，试给出零售商品总额的决定方程，并在0.05的显著性水平下判断方程总体的显著性和哪些因素显著，并给出自变量的残差图精品资料15年的统计数据精品资料对于(duìyú)因变量Y和自变量多元线性回归方程则一组自变量，对应(duìyìng)的因变量的点预测值为精品资料区间(qūjiān)预测值分为均值的预测区间(qūjiān)和个体值的预测区间(qūjiān)若将理解为的预测值，则在给定(ɡěidìnɡ)显著性水平下，的置信区间为其中，；N为观察次数；n为自变量个数若将理解为个体值的预测值，则在给定显著性水平下，的置信区间为精品资料例8多元(duōyuán)线性预测某地区10年间的零售商品总额、国民(guómín)生产总值和人口数如下表所示，若已知明年该省的国民(guómín)生产总值为60亿元，人口数为3950万，试给出明年零售商品总额的点预测值精品资料10年间(niánjiān)零售商品总额、国民生产总值和人口数精品资料3.一元(yīyuán)非线性回归分析与预测如果(rúguǒ)自变量X和因变量Y的回归方程为则称此回归方程为指数回归方程对于指数回归，主要有两种方法:(1)绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:(2)通过两边取对数将其线性化化为一元线性回归问题:运用一元线性回归得到回归参数和精品资料例9指数回归(huíguī)分析某超市自开业12年来销售额如下表所示，试运用(yùnyòng)两种指数回归方法给出销售额与年度t的回归方程12年的销售额精品资料例10指数回归(huíguī)与预测某超市(chāoshì)自开业12年来销售额如下表所示，试运用LOGEST函数给出销售额与年度的回归方程，并采用GROWTH函数预测第13年的销售额12年的销售额精品资料如果(rúguǒ)自变量X和因变量Y的回归方程为则称此回归方程为对数(duìshù)回归方程对于对数回归，主要有两种方法:(1)绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:(2)将作为新的自变量直接同进行一元线性回归，得到样本回归方程令，即可得到相应的预测值:

精品资料例11对数(duìshù)回归分析某研究人员希望研究房地产行业上市公司2003年中股东总股利与销售收入之间的关系，选取有分红(fēnhóng)的上市公司总共13家，对应总股利和销售收入如下表所示，试采用对数回归给出总股利与销售收入的回归方程13家公司的股利和销售收入(百万元)精品资料如果(rúguǒ)自变量X和因变量Y的回归方程为则称此回归方程为幂函数回归方程对于幂函数回归(huíguī)，主要有两种方法:(1)绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:令，即可得到相应的点预测值:

(2)通过两边取对数化为一元线性回归，得到样本回归方程:精品资料例12幂函数回归(huíguī)分析生产函数一般可以看作幂函数，某研究人员(rényuán)统计了采掘行业20家上市公司2003年的固定资产投资和净利润如下表所示，试给出净利润和固定资产投资的回归方程精品资料20家公司的净利润和固定资产(gùdìngzīchǎn)投资(百万元)精品资料如果(rúguǒ)自变量X和因变量Y的回归方程为则称此回归方程为多项式回归方程对于多项式回归，主要(zhǔyào)有两种方法:(1)绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:通过多元线性回归可得到回归方程的参数(2)令将样本回归方程化为多元线性回归令，即可得到多项式回归方程给出相应的点预测值:

精品资料例13多项式回归(huíguī)分析某研究人员统计了房地产行业2003年主营业务收入和净利润的关系，从中随即抽取(chōuqǔ)20家上市公司，统计后的主营业务收入和净利润如下表所示，试采用多项式回归方程给出净利润与主营业务收入的关系精品资料20家公司的净利润和固定资产(gùdìngzīchǎn)投资(百万元)精品资料已有研究认为单个股票的收益率同整个市场的收益率存在关系(guānxì)，已知深发展(代码000001)和整个市场2003年1月至2004年6月18个月的收益率如下表所示，试:(1)给出单个股票的收益率Y同市场组合收益率X的回归方程(2)当市场组合收益率为5%时，给出深发展收益率的点预测和区间预测练习(liànxí)1精品资料两种股票(gǔpiào)的价格精品资料某研究人员需要分析我国固定资产投资状况的影响因素，选取可能5个影响因素：国内生产总值、商品(shāngpǐn)房屋销售额、财政支出、社会消费品零售总额、进出口总额，统计1987~200